Legge di Biot-Savart
Ciao ragazzi mi rivolgo a voi per un chiarimento sulla legge di biot-savart per il calcolo dei campi magnetici.
Come ben tutti sanno per una distribuzione localizzata di correnti ovvero sia quando si abbia a che fare una densità limitata si ha:
$\vec B(\vec x)=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{A}\vec J(vec x') \wedge \frac {\vec x-\vec x'}{|\vec x-\vec x'|^{3}}d\sigma$
dove $sigma$ è una misura (cioè a seconda dei casi in cui $\vecJ$ è una densità lineare superficiale o di volume l'integrale si intende di linea di superficie o di volume).
In analisi me la cavavo molto bene con gli integrali quindi di certo non mi sono spaventato quando ho tentato di risolvere quelli di questo tipo. Il dubbio è nato nella risoluzione di un esercizio come avviene di solito.
Consideriamo una sfera nello spazio con densità di carica di volume $\rho$ uniforme e costante. La sfera possiede una velocità angolare $\vec\omega=\omega\vece_{z}$ e ha raggio R. Calcolare il campo magnetico sull'asse z.
Definiamo per bene le cose :
$\vecx=(x,y,z)$
$\vecx'=(x',y',z')$
$\vecx-\vecx'=(x-x',y-y',z-z')$
$\vecJ(\vecx')=\rho\vecv=\rho\vec\omega\wedge\vecx'=\omega\rho(y'\vece_{y}-x'\vece_{x})$
$(\vecJ(\vecx')\wedge(\vecx-\vecx'))_{z}=-\omega\rho(x'(x-x')+y'(y-y'))$ (considero solo la componente z perchè è quella che mi interessa)
Ovviamente l'integrazione va fatta sul volume della sfera quindi $d\sigma=d^{3}x'$
Ora quello che avevo pensato di fare è passare alle coordinate sferiche ponendo
$x-x'=\rcos(\theta)sin(\phi)$
$y-y'=\rsin(\theta)sin(\phi)$
$z-z'=rcos(\phi)$
Nella mia mente questa sostituzione è lecita perchè le variabili $(x,y,x)$ non sono sotto integrazione e per questo le posso trattare come costanti. Andando avanti:
$d^{3}x'=r^{2}sin(\phi)drd\thetad\phi$
$B_{z}(\vecx)=-\frac{\mu_{0}\omega\rho}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi}d\phi\int_{0}^{R}sin(\phi)[(y-rsin(\theta)sin(\phi))sin(\theta)sin(\phi)+(x-rcos(\theta)sin(\phi))cos(\theta)sin(\phi)]=\frac{\mu_{0}\omega\rhoR^{2}}{3}$
risultato che evidentemente non dipende da z cosa che intuitivamente mi viene da dire che è scorretta perchè essendo la sfera costituita da tante spire di raggio variabile, visto che sull'asse di una spira il campo dipende da z anche in questo caso devo avere una dipendenza dalla stessa variabile.
In definitiva chiedo: è giusta la scrittura dell'integrale? è lecita la sostituzione che ho fatto?
grazie a chiunque saprà rispondere
Come ben tutti sanno per una distribuzione localizzata di correnti ovvero sia quando si abbia a che fare una densità limitata si ha:
$\vec B(\vec x)=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{A}\vec J(vec x') \wedge \frac {\vec x-\vec x'}{|\vec x-\vec x'|^{3}}d\sigma$
dove $sigma$ è una misura (cioè a seconda dei casi in cui $\vecJ$ è una densità lineare superficiale o di volume l'integrale si intende di linea di superficie o di volume).
In analisi me la cavavo molto bene con gli integrali quindi di certo non mi sono spaventato quando ho tentato di risolvere quelli di questo tipo. Il dubbio è nato nella risoluzione di un esercizio come avviene di solito.
Consideriamo una sfera nello spazio con densità di carica di volume $\rho$ uniforme e costante. La sfera possiede una velocità angolare $\vec\omega=\omega\vece_{z}$ e ha raggio R. Calcolare il campo magnetico sull'asse z.
Definiamo per bene le cose :
$\vecx=(x,y,z)$
$\vecx'=(x',y',z')$
$\vecx-\vecx'=(x-x',y-y',z-z')$
$\vecJ(\vecx')=\rho\vecv=\rho\vec\omega\wedge\vecx'=\omega\rho(y'\vece_{y}-x'\vece_{x})$
$(\vecJ(\vecx')\wedge(\vecx-\vecx'))_{z}=-\omega\rho(x'(x-x')+y'(y-y'))$ (considero solo la componente z perchè è quella che mi interessa)
Ovviamente l'integrazione va fatta sul volume della sfera quindi $d\sigma=d^{3}x'$
Ora quello che avevo pensato di fare è passare alle coordinate sferiche ponendo
$x-x'=\rcos(\theta)sin(\phi)$
$y-y'=\rsin(\theta)sin(\phi)$
$z-z'=rcos(\phi)$
Nella mia mente questa sostituzione è lecita perchè le variabili $(x,y,x)$ non sono sotto integrazione e per questo le posso trattare come costanti. Andando avanti:
$d^{3}x'=r^{2}sin(\phi)drd\thetad\phi$
$B_{z}(\vecx)=-\frac{\mu_{0}\omega\rho}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi}d\phi\int_{0}^{R}sin(\phi)[(y-rsin(\theta)sin(\phi))sin(\theta)sin(\phi)+(x-rcos(\theta)sin(\phi))cos(\theta)sin(\phi)]=\frac{\mu_{0}\omega\rhoR^{2}}{3}$
risultato che evidentemente non dipende da z cosa che intuitivamente mi viene da dire che è scorretta perchè essendo la sfera costituita da tante spire di raggio variabile, visto che sull'asse di una spira il campo dipende da z anche in questo caso devo avere una dipendenza dalla stessa variabile.
In definitiva chiedo: è giusta la scrittura dell'integrale? è lecita la sostituzione che ho fatto?
grazie a chiunque saprà rispondere
Risposte
Ti viene chiesto di calcolare il campo magnetico sull'asse \(z\) per cui direi che puoi direttamente scrivere \( \boldsymbol{x} = (0, 0, z). \) Non mi è invece chiara la ragione per cui stai calcolando solo la componente lungo \(z\) nell'integrale. Non è quello che ti ha chiesto. Un altro errore è poi legato alla velocità. Tu hai una velocità angolare, non un vettore velocità. Non puoi usare tale "vettore" per calcolarti \(J(\boldsymbol{x'})\) direttamente.. In effetti la velocità nel punto \(\boldsymbol{x'}\) non è diretta nella direzione \(z\) ma è piuttosto perpendicolare ad essa. Riguardo all'uso delle coordinate cilindriche suppongo possano andare bene, ma prima devi risolvere gli altri problemi.
Innanzitutto ti ringrazio per la risposta. Allora ti spiego come ho ragionato. Calcolo solo la componente z perchè lungo l'asse z esiste solamente quella componente. Infatti essendo la sfera una sovrapposizione continua di tante spire infinitesime, cosi come il campo lungo l'asse di una spira ha solo quella componente allo stesso modo anche quello della sfera rotante ha solamente una componente, che è quella lungo z. Lo si riesce a vedere anche direttamente integrando immagino. Comunque non capisco perchè il calcolo della densità di corrente così è sbagliato. Di fatto la definizione è $\vecJ(\vecx')=\rho\vecv'$ si vede come la velocità lineare del generico punto $\vecx'$ sia ortogonale a $\omega\vece_{z}$ essendo combinazione lineare di $\vece_{x}$ e $\vece_{y}$. Quello che mi puzza è che quando vado a fare la sostituzione perdo completamente la dipendenza dalla variabile $z$ quando invece mi aspettavo una dipendenza proprio da questa.
Avevo letto male il calcolo che avevi fatto per \(\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x'}),\) ma è comunque sbagliato. Tu hai
\[ \rho\,\bigl((\omega\,\boldsymbol{k}) \wedge (x'\,\boldsymbol{i} + y'\,\boldsymbol{j} + z'\,\boldsymbol{k})\bigr) = \rho\,\omega\,\bigl(x'\,(\boldsymbol{k} \wedge \boldsymbol{i}) + y'\,(\boldsymbol{k} \wedge \boldsymbol{j})\bigr) = \rho\,\omega\,(x'\,\boldsymbol{j} - y'\,\boldsymbol{i}). \]
Hai insomma scambiato \(x'\) e \(y'\) nella tua formula.
Riguardo al resto hai che la componente lungo \(z\) dovrebbe effettivamente essere l'unica a rimanere, ma credo valga la pena fare il calcolo per intero (nel senso di trovare tutte le componenti). Anche solo per assicurarsi di non aver fatto errori. Usando il fatto che \( \boldsymbol{x} \) è sull'asse \(z\) e quindi ha solo la componente \(z\) hai che \( \boldsymbol{x} - \boldsymbol{x'} = (-x', -y', z - z') \). Il prodotto vettoriale con il vettore \(\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x'})\) sarà quindi
\[ \rho\,\omega\,(x'\,\boldsymbol{j} - y'\,\boldsymbol{i}) \wedge \bigl( -x'\,\boldsymbol{i} - y'\,\boldsymbol{j} + (z - z')\,\boldsymbol{k} \bigr) = \rho\,\omega\,\bigl( x'\,(z - z')\,\boldsymbol{i} + y'\,(z - z')\,\boldsymbol{j} + (x'^2 + y'^2)\,\boldsymbol{k} \bigr). \]
A questo punto possiamo in effetti osservare che le componenti nel piano \(xy\) si cancellano a vicenda se prendiamo punti speculari rispetto all'asse \(z\) per cui direi che andiamo avanti con la sola componente \(z\) come hai fatto anche tu.
Anche se la variabile \(z\) non è più presente in questo vettore non vuole comunque dire che sia sparita dalla funzione integranda. C'è infatti ancora il denominatore \( |\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x'}|^3 \) che non può essere rimosso dall'integrale. Vediamo che questo denominatore è uguale a \( ( x'^2 + y'^2 + (z - z')^2 )^{3/2} \) e quindi continua a contenere la variabile \(z\).. Nel tuo integrale tale denominatore mi sembra sparito.
\[ \rho\,\bigl((\omega\,\boldsymbol{k}) \wedge (x'\,\boldsymbol{i} + y'\,\boldsymbol{j} + z'\,\boldsymbol{k})\bigr) = \rho\,\omega\,\bigl(x'\,(\boldsymbol{k} \wedge \boldsymbol{i}) + y'\,(\boldsymbol{k} \wedge \boldsymbol{j})\bigr) = \rho\,\omega\,(x'\,\boldsymbol{j} - y'\,\boldsymbol{i}). \]
Hai insomma scambiato \(x'\) e \(y'\) nella tua formula.
Riguardo al resto hai che la componente lungo \(z\) dovrebbe effettivamente essere l'unica a rimanere, ma credo valga la pena fare il calcolo per intero (nel senso di trovare tutte le componenti). Anche solo per assicurarsi di non aver fatto errori. Usando il fatto che \( \boldsymbol{x} \) è sull'asse \(z\) e quindi ha solo la componente \(z\) hai che \( \boldsymbol{x} - \boldsymbol{x'} = (-x', -y', z - z') \). Il prodotto vettoriale con il vettore \(\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x'})\) sarà quindi
\[ \rho\,\omega\,(x'\,\boldsymbol{j} - y'\,\boldsymbol{i}) \wedge \bigl( -x'\,\boldsymbol{i} - y'\,\boldsymbol{j} + (z - z')\,\boldsymbol{k} \bigr) = \rho\,\omega\,\bigl( x'\,(z - z')\,\boldsymbol{i} + y'\,(z - z')\,\boldsymbol{j} + (x'^2 + y'^2)\,\boldsymbol{k} \bigr). \]
A questo punto possiamo in effetti osservare che le componenti nel piano \(xy\) si cancellano a vicenda se prendiamo punti speculari rispetto all'asse \(z\) per cui direi che andiamo avanti con la sola componente \(z\) come hai fatto anche tu.
Anche se la variabile \(z\) non è più presente in questo vettore non vuole comunque dire che sia sparita dalla funzione integranda. C'è infatti ancora il denominatore \( |\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x'}|^3 \) che non può essere rimosso dall'integrale. Vediamo che questo denominatore è uguale a \( ( x'^2 + y'^2 + (z - z')^2 )^{3/2} \) e quindi continua a contenere la variabile \(z\).. Nel tuo integrale tale denominatore mi sembra sparito.
Un'altra cosa che dovresti verificare sono gli estremi di integrazione. La sfera non è centrata nel punto \(\boldsymbol{x}\) in cui stai calcolando il tuo campo magnetico..
è corretto e mi trovo in tutto quello che hai scritto. Il denominatore nel mio integrale non è scomparso ma ho già semplificato i vari termini. Dato che sopravvive solo l'integrale
$B_{z}(0,0,z)=\frac{\mu_{0}\omega\rho}{4pi}\int_{V}\frac{x'^{2}+y'^{2}}{(x'^{2}+y'^{2}+(z-z')^{2})^{3/2}}=\frac{\mu_{0}\omega\rho}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi}d\phi\int_{0}^{R}rsin^{3}(\phi)=\frac{\mu_{0}\omega\rhoR^{2}}{3}$
dove sono passato in coordinate sferiche, spero si capisca. Inolte la sfera è sfera è centrata nell'origine epperò potrebbe essere proprio questo il problema: gli estremi di integrazione. Sei d'accordo con me? é l'unica 'fonte' da cui è recuperabile una dipendenza da z. Infatti non è detto che $\phi$ varia in $[0,\pi]$
$B_{z}(0,0,z)=\frac{\mu_{0}\omega\rho}{4pi}\int_{V}\frac{x'^{2}+y'^{2}}{(x'^{2}+y'^{2}+(z-z')^{2})^{3/2}}=\frac{\mu_{0}\omega\rho}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi}d\phi\int_{0}^{R}rsin^{3}(\phi)=\frac{\mu_{0}\omega\rhoR^{2}}{3}$
dove sono passato in coordinate sferiche, spero si capisca. Inolte la sfera è sfera è centrata nell'origine epperò potrebbe essere proprio questo il problema: gli estremi di integrazione. Sei d'accordo con me? é l'unica 'fonte' da cui è recuperabile una dipendenza da z. Infatti non è detto che $\phi$ varia in $[0,\pi]$
Giusto una considerazione: come può $B$ non essere funzione di $z$ ?
Direi poi che la determinazione del campo dovrà essere distinta per $z > R$ e per $z < R$.
Considerando il caso più semplice di $z > R$, che il campo risulti direttamente proporzionale a $\omega$, e a $\rho$ non c'è ombra di dubbio e a una potenza di $R$ nemmeno, ma io attenderei una proporzionalità inversa rispetto ad una qualche potenza di $z$, il cui grado [nota]Che dovrà ovviamente risultare inferiore di due unità rispetto a quello della potenza di $R$, per rispettare la coerenza dimensionale.[/nota] per ragioni energetiche escluderei possa essere inferiore a tre.
Direi poi che la determinazione del campo dovrà essere distinta per $z > R$ e per $z < R$.
Considerando il caso più semplice di $z > R$, che il campo risulti direttamente proporzionale a $\omega$, e a $\rho$ non c'è ombra di dubbio e a una potenza di $R$ nemmeno, ma io attenderei una proporzionalità inversa rispetto ad una qualche potenza di $z$, il cui grado [nota]Che dovrà ovviamente risultare inferiore di due unità rispetto a quello della potenza di $R$, per rispettare la coerenza dimensionale.[/nota] per ragioni energetiche escluderei possa essere inferiore a tre.
Ciao renzoDF è proprio auesto il dubbio! Anche io mi aspettavo una dipendenza dello stesso tipo ma da calcolo non mi viene fuori! Sapresti consigliarmi come procedere o dirmi dove sbaglio?
La tua trasformazione in coordinate sferiche è centrata in \( \boldsymbol{x}, \) ma la sfera è centrata in zero. Il risultato non dipende da \(z\) perché stai di fatto considerando sempre e solo la configurazione in cui il punto sia al centro della sfera. La trasformazione corretta avrebbe dovuto essere:
\[
\begin{cases}
x' = r\,\cos\theta\,\sin\phi \\
y' = r\,\sin\theta\,\sin\phi \\
z' = r\,\cos\phi \\
\end{cases}
\]
In questo caso la formula non si semplifica più così bene come prima perché il denominatore non è più una potenza di \(r\).
Personalmente avrei usato coordinate cilindriche e non sferiche per cui
\[
\begin{cases}
x' = r\,\cos\theta \\
y' = r\,\sin\theta \\
z' = z'
\end{cases}
\]
e l'integrale diventava:
\[
\frac{\mu_0\,\omega\rho}{2}\,\int_{-R}^{R}\,\int_0^\sqrt{R^2 - z'^2} \frac{r^3}{(r^2 + (z - z')^2)^{3/2}} \mathrm{d}r\,\mathrm{d}z'.
\]
Dove ho già calcolato l'integrale su \(\theta.\)
\[
\begin{cases}
x' = r\,\cos\theta\,\sin\phi \\
y' = r\,\sin\theta\,\sin\phi \\
z' = r\,\cos\phi \\
\end{cases}
\]
In questo caso la formula non si semplifica più così bene come prima perché il denominatore non è più una potenza di \(r\).
Personalmente avrei usato coordinate cilindriche e non sferiche per cui
\[
\begin{cases}
x' = r\,\cos\theta \\
y' = r\,\sin\theta \\
z' = z'
\end{cases}
\]
e l'integrale diventava:
\[
\frac{\mu_0\,\omega\rho}{2}\,\int_{-R}^{R}\,\int_0^\sqrt{R^2 - z'^2} \frac{r^3}{(r^2 + (z - z')^2)^{3/2}} \mathrm{d}r\,\mathrm{d}z'.
\]
Dove ho già calcolato l'integrale su \(\theta.\)
"alicetritone94":
... Sapresti consigliarmi come procedere ...
Direi che dovendo risolvere avrei o tagliato la sfera a fette infinitesime di spessore $dz$ (per poi poter andare a usare il campo magnetico prodotto da un disco carico in rotazione) o, meglio ancora, considerando la sfera come unione di infiniti gusci sferici di spessore $dr$ ( per una ragione analoga alla precedente) [nota]Passando dal potenziale vettore magnetico per un guscio sferico carico e rotante è infatti poi facile ricavarsi il campo magnetico relativo e di conseguenza quello complessivo di tutta la sfera via integrazione in r, da 0 a R.[/nota]
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