Legge delle Maglie
E' possibile applicare tale legge ad un circuito elettrico in cui vi sono due f.e.m indotte?
Risposte
La legge di kirchhoff delle tensioni è un caso particolare della legge di Faraday, e vale solo quando il campo elettrico è conservativo, se ci sono f.e.m. indotte da una variazione di flusso del campo magnetico dice che il campo elettrico indotto è non conservativo, poichè la circuitazione è pari a [tex]$-\frac{d \Phi_B}{dt}$[/tex].
In teoria anche in presenza di induttanze non vale la legge di kirchhoff, ma si ammette come tale una versione modificata che considera una caduta di tensione sull'induttanza pari a [tex]$L\frac{d I_L}{dt}$[/tex], che altro non è che [tex]$\frac{d\Phi_B}{dt}$[/tex] nell'induttanza.
In teoria anche in presenza di induttanze non vale la legge di kirchhoff, ma si ammette come tale una versione modificata che considera una caduta di tensione sull'induttanza pari a [tex]$L\frac{d I_L}{dt}$[/tex], che altro non è che [tex]$\frac{d\Phi_B}{dt}$[/tex] nell'induttanza.
Come posso allora trovare le correnti su ciascun ramo del circuito (formato da due maglie)?
Ma come è fatto il circuito? Come vengono indotte le fem?
Due rotaie metalliche parallele di resistenza trascurabile sono distanti 10,0 cm e sono connesse fra di loro da un resistore di 5,00 ohm. Il circuito contiene anche due lastre metalliche che hanno resistanza 10,0 ohm e 15,0 ohm rispettivamente, e scivolano lungo le rotaie una in direzione opposta all'altra con velocità costanti di 4,00 m/s e 2,00 m/s rispettivamente. Un campo magnetico uniforme di intensita 0,010 T è applicato perpendicolarmente al piano delle rotaie ed entrante.
Credo tu possa applicare la sovrapposizione degli effetti, studiando due casi in ciascuno dei quali una delle due sbarre è ferma.
Come faccio a determinare la corrente nel resistore?....potresti dirmi i passaggi?
Io procederei così, considero le due piste parallele disposte orizzontalmente, chiuse dalla resistenza [tex]$R$[/tex] sulla destra, fisso un punto [tex]$x_0$[/tex] alla sinistra di [tex]$R$[/tex] che considero come riferimento.
Indico con [tex]$1$[/tex] la sbarra che si muove verso [tex]$R$[/tex] con velocità in modulo [tex]$v_1$[/tex] e con [tex]$2$[/tex] la sbarra che si muove nel verso opposto con velocità [tex]$v_2$[/tex], il verso che si allontana da [tex]$R$[/tex] lo considero quello positivo.
A questo punto applico la sovrapposizione degli effetti e considero ad esempio [tex]$1$[/tex] ferma e considero solo il movimento di [tex]$2$[/tex]. L'area complessiva della spira formata dalle due maglie è [tex]$A_1=d (v_2 t + x_0)$[/tex], quindi il flusso del campo magnetico è [tex]$\Phi_1 = B d (v_2 t + x_0)$[/tex], da cui [tex]$\frac{d\Phi_1}{dt} = B d v_2$[/tex]
La fem indotta deve opporsi alla variazione di flusso, questo deriva dalla legge di Lenz, dunque la fem poterà ad una corrette che circola in senso antiorario, in modo da generare un campo magnetico che si opponga a quello esistente per compensare la variazione di area della spira. Si avrà una fem sulla sbarra diretta verso il basso [tex]$fem_1 = - Bd v_2$[/tex], la corrente su [tex]$R$[/tex] sarà quindi [tex]$i_1 = \frac{fem_1}{R} = -\frac{Bd v_2}{R}$[/tex]
A questo punto mi sta sorgendo un dubbio circa la sbarra [tex]$1$[/tex] se la sbarra [tex]$2$[/tex] è ferma o in movimento nel suo verso, la [tex]$1$[/tex] che si trova già a sinistra della [tex]$2$[/tex] non dà contributi perchè semplicemente cambia l'area delle due maglie ma non l'area di tutta la spira dunque non dovrebbe dare alcun contributo.
Se consideriamo [tex]$x_0$[/tex] il punto a sinistra di [tex]$R$[/tex] dove stà ferma [tex]$2$[/tex] allora la maglia delimitata da [tex]$2$[/tex] e[tex]$1$[/tex] avrà la sua area che cresce e dunque un flusso del campo pari a [tex]$Bd v_1 t$[/tex], l'altra maglia invece verà la sua area diminire ed il flusso associato sarà [tex]$Bd (x_0 -v_1 t)$[/tex] le due fem indotte sono quindi opposte tra loro e della stessa intensità ([tex]$Bd v_1$[/tex]).
Quindi direi che è solo una delle due sbarre che contribuisce, in particolare è quella che si allontana da [tex]$R$[/tex], nello schema che ho descritto la [tex]$2$[/tex].
Spero di non aver fatto considerazioni errate... io comunque avrei proceduto così.
Indico con [tex]$1$[/tex] la sbarra che si muove verso [tex]$R$[/tex] con velocità in modulo [tex]$v_1$[/tex] e con [tex]$2$[/tex] la sbarra che si muove nel verso opposto con velocità [tex]$v_2$[/tex], il verso che si allontana da [tex]$R$[/tex] lo considero quello positivo.
A questo punto applico la sovrapposizione degli effetti e considero ad esempio [tex]$1$[/tex] ferma e considero solo il movimento di [tex]$2$[/tex]. L'area complessiva della spira formata dalle due maglie è [tex]$A_1=d (v_2 t + x_0)$[/tex], quindi il flusso del campo magnetico è [tex]$\Phi_1 = B d (v_2 t + x_0)$[/tex], da cui [tex]$\frac{d\Phi_1}{dt} = B d v_2$[/tex]
La fem indotta deve opporsi alla variazione di flusso, questo deriva dalla legge di Lenz, dunque la fem poterà ad una corrette che circola in senso antiorario, in modo da generare un campo magnetico che si opponga a quello esistente per compensare la variazione di area della spira. Si avrà una fem sulla sbarra diretta verso il basso [tex]$fem_1 = - Bd v_2$[/tex], la corrente su [tex]$R$[/tex] sarà quindi [tex]$i_1 = \frac{fem_1}{R} = -\frac{Bd v_2}{R}$[/tex]
A questo punto mi sta sorgendo un dubbio circa la sbarra [tex]$1$[/tex] se la sbarra [tex]$2$[/tex] è ferma o in movimento nel suo verso, la [tex]$1$[/tex] che si trova già a sinistra della [tex]$2$[/tex] non dà contributi perchè semplicemente cambia l'area delle due maglie ma non l'area di tutta la spira dunque non dovrebbe dare alcun contributo.
Se consideriamo [tex]$x_0$[/tex] il punto a sinistra di [tex]$R$[/tex] dove stà ferma [tex]$2$[/tex] allora la maglia delimitata da [tex]$2$[/tex] e[tex]$1$[/tex] avrà la sua area che cresce e dunque un flusso del campo pari a [tex]$Bd v_1 t$[/tex], l'altra maglia invece verà la sua area diminire ed il flusso associato sarà [tex]$Bd (x_0 -v_1 t)$[/tex] le due fem indotte sono quindi opposte tra loro e della stessa intensità ([tex]$Bd v_1$[/tex]).
Quindi direi che è solo una delle due sbarre che contribuisce, in particolare è quella che si allontana da [tex]$R$[/tex], nello schema che ho descritto la [tex]$2$[/tex].
Spero di non aver fatto considerazioni errate... io comunque avrei proceduto così.
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