Legge del moto: metodo generale
Mi sono accorto che, sostanzialmente, almeno per le conoscenze che può avere uno studente di Fisica del primo anno (quale io sono), data la legge delle forze che agiscono su un corpo, si può ricavare la legge oraria solo se la forza è in una delle forme:
- $\vec F=vec F(vec v)$, perchè si ottiene una equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili (ovviamente da risolvere scomponendo negli scalari) $int_{vec v_0}^{vec v}1/ {vec F (vec v)} d vec v= 1/m int_{t_0}^{t}dt$;
- $\vec F=vec F(t)$, con equazione $m int_{vec v_0}^{vec v} d vec v = int_{t_0}^{t} vec F(t)dt$;
- $ vec F = vec k$, con equazione $m int_{vec v_0}^{vec v} d vec v = vec k int_{t_0}^{t} dt$.
Nel caso in cui sia $vec F=vec F(vec r)$, dove $vec r $ è il vettore posizione, si ottengono 3 equazioni (se il moto è in 3 dimensioni), nella forma (la scrivo solo per la direzione di $x$, ma è lo stesso per $y$ e $z$, ovviamente): $m int_{x_0}^{x} dv_x = int_{t_0}^{t} F_x (x,y,z) dt$; questa equazione differenziale non si può risolvere, giusto? O se sì, come si fa?
Grazie in anticipo : )
- $\vec F=vec F(vec v)$, perchè si ottiene una equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili (ovviamente da risolvere scomponendo negli scalari) $int_{vec v_0}^{vec v}1/ {vec F (vec v)} d vec v= 1/m int_{t_0}^{t}dt$;
- $\vec F=vec F(t)$, con equazione $m int_{vec v_0}^{vec v} d vec v = int_{t_0}^{t} vec F(t)dt$;
- $ vec F = vec k$, con equazione $m int_{vec v_0}^{vec v} d vec v = vec k int_{t_0}^{t} dt$.
Nel caso in cui sia $vec F=vec F(vec r)$, dove $vec r $ è il vettore posizione, si ottengono 3 equazioni (se il moto è in 3 dimensioni), nella forma (la scrivo solo per la direzione di $x$, ma è lo stesso per $y$ e $z$, ovviamente): $m int_{x_0}^{x} dv_x = int_{t_0}^{t} F_x (x,y,z) dt$; questa equazione differenziale non si può risolvere, giusto? O se sì, come si fa?
Grazie in anticipo : )
Risposte
Te lo scrivo solo nel caso monodimensionale, poi magari gli sviluppi nel caso generale li fai tu che sei più fresco di studi di me. 
Se la forza è una funzione dello spazio probabilmente si può scrivere una funzione potenziale del quale la forza è il -gradiente. Il potenziale dunque si ottiene per integrazione dalla formula vettoriale della forza.
Da qui si ha l'energia cinetica come differenza di energia potenziale, e quindi:
[tex]\begin{array}{l}
U\left( {{x_0}} \right) - U\left( x \right) = \frac{1}{2}m\left( {{v^2} - {v_0}^2} \right) \\
v = \sqrt {\frac{2}{m}\left[ {U\left( {{x_0}} \right) - U\left( x \right)} \right] + {v_0}^2} \\
\int_{{t_0}}^t {dt} = t - {t_0} = \int_{{x_0}}^x {\frac{{dx}}{{\sqrt {\frac{2}{m}\left[ {U\left( {{x_0}} \right) - U\left( x \right)} \right] + {v_0}^2} }}} \\
\end{array}[/tex]
Se la forza è una funzione dello spazio probabilmente si può scrivere una funzione potenziale del quale la forza è il -gradiente. Il potenziale dunque si ottiene per integrazione dalla formula vettoriale della forza.
Da qui si ha l'energia cinetica come differenza di energia potenziale, e quindi:
[tex]\begin{array}{l}
U\left( {{x_0}} \right) - U\left( x \right) = \frac{1}{2}m\left( {{v^2} - {v_0}^2} \right) \\
v = \sqrt {\frac{2}{m}\left[ {U\left( {{x_0}} \right) - U\left( x \right)} \right] + {v_0}^2} \\
\int_{{t_0}}^t {dt} = t - {t_0} = \int_{{x_0}}^x {\frac{{dx}}{{\sqrt {\frac{2}{m}\left[ {U\left( {{x_0}} \right) - U\left( x \right)} \right] + {v_0}^2} }}} \\
\end{array}[/tex]
Sì hai ragione, però l'energia potenziale si può definire solo se la forza è conservativa : )
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo