Legge del moto del pendolo composto. Problema
Salve a tutti ho un problema con il pendolo composto. Sul mio libro di fisica si ottiene la legge del moto con il metodo diciamo 'classico' ovvero scrivendo l'equazione cardinale dei momenti delle forze applicate al corpo rigido al fine di ottenere:
$ddot theta + \frac{Mgd}{I} theta = 0 $
e la soluzione:
$ theta(t) = theta_0 sin(\omega t+\phi) $ con la pulsazione $ \omega = sqrt(\frac{Mgd}{I}) $.
Poi leggo "Notiamo che ogni qualvolta si abbia a che fare con un sistema ad un solo grado di libertà - cosicchè la soluzione della legge del moto possa essere ricavata a partire da un'unica equazione dinamica scalare - la cinematica del moto può essere trovata anche a partire dal teorema dell'energia cinetica."
Mi spiegate come? Cioè il libro dice solo di procedere come per il pendolo semplice ma avendo l'unica accortezza di sostituire all'energia cinetica $ K = \frac{1}{2} m v^2 $ quella del centro di massa $ K = \frac{1}{2} m v_c^2+\frac{1}{2} I \omega^2 $
$ddot theta + \frac{Mgd}{I} theta = 0 $
e la soluzione:
$ theta(t) = theta_0 sin(\omega t+\phi) $ con la pulsazione $ \omega = sqrt(\frac{Mgd}{I}) $.
Poi leggo "Notiamo che ogni qualvolta si abbia a che fare con un sistema ad un solo grado di libertà - cosicchè la soluzione della legge del moto possa essere ricavata a partire da un'unica equazione dinamica scalare - la cinematica del moto può essere trovata anche a partire dal teorema dell'energia cinetica."
Mi spiegate come? Cioè il libro dice solo di procedere come per il pendolo semplice ma avendo l'unica accortezza di sostituire all'energia cinetica $ K = \frac{1}{2} m v^2 $ quella del centro di massa $ K = \frac{1}{2} m v_c^2+\frac{1}{2} I \omega^2 $
Risposte
$E_K=1/2mv_(cm)^2+1/2Iω^2$
Chiamado $l$ la distanza del centro di massa dal punto fisso attorno al quale il pendolo oscilla di ha che l'energia potenziale è:
$E_P=mg(l-lcos\theta)$
$E_K=1/2m(l\omega)^2+1/2Iω^2$
Se il pendolo parte da fermo $\omega_0=0$, da una determinata altezza $h=l-lcos\phi$, se agiscono solo forze conservative, si ha:
$mg(l-lcos\phi)=1/2m(l\omega)^2+1/2Iω^2+mg(l-lcos\theta)$
La velocità angolare iniziale, e l'angolo iniziale $\phi$ sono fissati dalle condizioni iniziali. Quello che ti rimane è una relazione tra l'angolo $\theta$ e la sua derivata prima, cioè un'equazione differenziale del primo ordine.
Devi notare diverse cose importanti. Prima di tutto, questa relazione non è soggetta ad alcuna approssimazione, quindi vale sia per piccole che per grandi oscillazioni. Poi, una relazione del genere la puoi impostare per qualsiasi problema ad un solo grado di libertà. E più in generale, considerando anche altre relazioni come la conservazione del momento angolare, può essere applicata anche a problemi bi- e tri- dimensionali. Il moto dei pianeti si deriva proprio da una relazione come questa.
A prma vista potrebbe sembrarti un'inutile complicazione, ma ci sono alcuni problemi fisici in cui è decisamente più comodo considerare un'equazione differenziale del primo ordine, rispetto ad una del secondo, soprattutto perchè non tutti i problemi i fisica hanno una soluzione analitica, e la conservazione dell'energia meccanica diventa fondamentale per risolverli.
Poi ovviamente se l'energia non si conserva, non pui semplicemente imporre l'energia finale uguale a quella iniziale, ma devi anche considerare il lavoro delle forze non conservative.
Chiamado $l$ la distanza del centro di massa dal punto fisso attorno al quale il pendolo oscilla di ha che l'energia potenziale è:
$E_P=mg(l-lcos\theta)$
$E_K=1/2m(l\omega)^2+1/2Iω^2$
Se il pendolo parte da fermo $\omega_0=0$, da una determinata altezza $h=l-lcos\phi$, se agiscono solo forze conservative, si ha:
$mg(l-lcos\phi)=1/2m(l\omega)^2+1/2Iω^2+mg(l-lcos\theta)$
La velocità angolare iniziale, e l'angolo iniziale $\phi$ sono fissati dalle condizioni iniziali. Quello che ti rimane è una relazione tra l'angolo $\theta$ e la sua derivata prima, cioè un'equazione differenziale del primo ordine.
Devi notare diverse cose importanti. Prima di tutto, questa relazione non è soggetta ad alcuna approssimazione, quindi vale sia per piccole che per grandi oscillazioni. Poi, una relazione del genere la puoi impostare per qualsiasi problema ad un solo grado di libertà. E più in generale, considerando anche altre relazioni come la conservazione del momento angolare, può essere applicata anche a problemi bi- e tri- dimensionali. Il moto dei pianeti si deriva proprio da una relazione come questa.
A prma vista potrebbe sembrarti un'inutile complicazione, ma ci sono alcuni problemi fisici in cui è decisamente più comodo considerare un'equazione differenziale del primo ordine, rispetto ad una del secondo, soprattutto perchè non tutti i problemi i fisica hanno una soluzione analitica, e la conservazione dell'energia meccanica diventa fondamentale per risolverli.
Poi ovviamente se l'energia non si conserva, non pui semplicemente imporre l'energia finale uguale a quella iniziale, ma devi anche considerare il lavoro delle forze non conservative.
Grazie mille Flamber, ora è tutto chiaro. Effettivamente avevo dei dubbi poichè ottenevo un equazione differenziale lineare del primo ordine a coeff. costanti invece che una del secondo. Avevo trovato una soluzione simile alla tua già che ci sono la posto.
Dunque comincio col dire che la geometria del corpo rigido fa sì che la distanza tra il centro di massa e l'asse di rotazione $\hat a$ sia $d = l/2 $ dove $l$ è la lunghezza del corpo rigido e chiamo $b$ la sua larghezza (si tratta di una lamina sottile). Ora il raggio vettore che definisce la posizione del c.d.m. cambia direzione istante per istante e ha coordinate $\{(x(\theta) = \frac{l}{2} sin \theta),(y(\theta) = \frac{l}{2} cos \theta):}$ che utilizzo per trovare la velocità del c.d.m.:
$v_c^2 = (\frac{dx(\theta)}{dt})^2 + (\frac{dy(\theta)}{dt})^2 = \frac{\omega^2 l^2}{4} (cos^2 \theta + sin^2 \theta) = \frac{\omega^2 l^2}{4} $
Ora sostituisco nell'espressione dell'energia cinetica:
$K = \frac{1}{2} M \frac{\omega^2 l^2}{4} + \frac{1}{2} I_a \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{M l^2}{4} + I_a) \omega^2 = \frac{1}{2} I' \omega^2 $. Dove $ I' = I_a + M d^2$ è lo stesso momento d'inerzia che si otterrebbe applicando Huygens-Steiner.
Applico il principio di conservazione dell'energia:
$U_0 + K_0 = U_1 + K_1$ ovvero
$Mg\frac{l}{2} (1-cos \theta_0) + 0 = Mg\frac{l}{2}(1-cos \theta) + \frac{1}{2}I' \dot theta^2$
da cui $\dot theta^2 + \frac{Mgl}{I'}(cos \theta - cos \theta_0) = 0$
Tramite lo sviluppo in serie di Taylor della funzione coseno introduco l'approssimazione (troncando al secondo termine):
$cos x ~= 1 - \frac{x^2}{2}$ e se $\theta_0$ << 1 rad ho che $\theta_0$ è trascurabile rispetto a $\theta$. In tal caso ottengo:
$\dot theta - sqrt(\frac{Mgl}{2I'}) \theta = 0$, risolvibile a variabili separabili mi da:
$\theta = \theta_0 e^(sqrt(\frac{Mgl}{2I'}) t)$. Non so quanto possa essere giusto perchè ho fatto tutto da solo ma è ragionevole. Grazie ancora
.
Dunque comincio col dire che la geometria del corpo rigido fa sì che la distanza tra il centro di massa e l'asse di rotazione $\hat a$ sia $d = l/2 $ dove $l$ è la lunghezza del corpo rigido e chiamo $b$ la sua larghezza (si tratta di una lamina sottile). Ora il raggio vettore che definisce la posizione del c.d.m. cambia direzione istante per istante e ha coordinate $\{(x(\theta) = \frac{l}{2} sin \theta),(y(\theta) = \frac{l}{2} cos \theta):}$ che utilizzo per trovare la velocità del c.d.m.:
$v_c^2 = (\frac{dx(\theta)}{dt})^2 + (\frac{dy(\theta)}{dt})^2 = \frac{\omega^2 l^2}{4} (cos^2 \theta + sin^2 \theta) = \frac{\omega^2 l^2}{4} $
Ora sostituisco nell'espressione dell'energia cinetica:
$K = \frac{1}{2} M \frac{\omega^2 l^2}{4} + \frac{1}{2} I_a \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{M l^2}{4} + I_a) \omega^2 = \frac{1}{2} I' \omega^2 $. Dove $ I' = I_a + M d^2$ è lo stesso momento d'inerzia che si otterrebbe applicando Huygens-Steiner.
Applico il principio di conservazione dell'energia:
$U_0 + K_0 = U_1 + K_1$ ovvero
$Mg\frac{l}{2} (1-cos \theta_0) + 0 = Mg\frac{l}{2}(1-cos \theta) + \frac{1}{2}I' \dot theta^2$
da cui $\dot theta^2 + \frac{Mgl}{I'}(cos \theta - cos \theta_0) = 0$
Tramite lo sviluppo in serie di Taylor della funzione coseno introduco l'approssimazione (troncando al secondo termine):
$cos x ~= 1 - \frac{x^2}{2}$ e se $\theta_0$ << 1 rad ho che $\theta_0$ è trascurabile rispetto a $\theta$. In tal caso ottengo:
$\dot theta - sqrt(\frac{Mgl}{2I'}) \theta = 0$, risolvibile a variabili separabili mi da:
$\theta = \theta_0 e^(sqrt(\frac{Mgl}{2I'}) t)$. Non so quanto possa essere giusto perchè ho fatto tutto da solo ma è ragionevole. Grazie ancora
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