Legame Temperatura Assoluta ed Energia Cinetica

[Martinaina1]

Salve a tutti,
vorrei chiedervi alcune cose riguardo il significato di Temperatura Assoluta (nel caso di un gas perfetto) e vorrei ben capire il legame che esiste tra Temperatura ed Energia cinetica delle molecole del gas.
Sul mio libro ho letto che la Temperatura è legata al moto di agitazione delle molecole.
Poi c'è scritto che la Pressione esercitata da un gas sulle pareti di un recipiente è direttamente proporzionale all'energia cinetica media con cui le molecole urtano elasticamente le stesse pareti del recipiente.
Quindi nel libro è specificato il legame tra Pressione ed energia cinetica (senza nessuna formula), Pressione e Temperatura ( questo in base a quanto dice la 2°legge di Gay-Lussac) e infine Energia cinetica e Temperatura(assoluta).
La cosa che non capisco è come si è arrivati a questa formula [ Kmedia= 3/2 k*T] dove Kmedia è l'energia cinetica media delle molecole, k(minuscolo) è la costante di Boltzmann e T la temperatura.

Qualcuno sa spiegarmi come ricavare questa formula e perché?

Grazie.

[Martinaina1]

"TeM":[quote="Martinaina"]La cosa che non capisco è come si è arrivati a questa formula [ Kmedia= 3/2 k*T] dove Kmedia è l'energia cinetica media delle molecole, k(minuscolo) è la costante di Boltzmann e T la temperatura.

Qualcuno sa spiegarmi come ricavare questa formula e perché?

Consideriamo un gas monoatomico per il quale si fissano le seguenti condizioni semplificatrici:

1) il gas consiste di un gran numero di molecole eguali immaginate come sferette molto piccole rispetto
alla loro distanza. Il volume occupato dalle molecole stesse è una frazione assai piccola e trascurabile
rispetto al volume del recipiente in cui il gas è contenuto;

2) le molecole sono in movimento in ogni direzione; tutte le direzioni sono egualmente probabili;

3) non si hanno forze di attrazione e repulsione fra le molecole. Gli urti fra una molecola e l'altra
come pure gli urti delle molecole contro le pareti del recipiente sono perfettamente elastici;

4) valgono le leggi della meccanica classica per ogni singola molecola.

Consideriamo ora un recipiente di volume \(V\) contenente un numero \(N\) di molecole. La pressione del gas sulle pareti del recipiente è dovuta alla somma degli urti disordinati delle singole molecole. Una molecola di massa \(m'\) nell'urto contro la parete subisce una variazione dell sua quantità di moto pari a \(2\,m'\,w_n\), se \(w_n\) è la componente della velocità \(w\) della molecola in direzione normale alla parete. La forza esercitata sulla parete è data dalla variazione della quantità di moto di tutte le molecole che colpiscono la parete nell'unità di tempo. Si tratta di calcolare quante sono queste molecole.

Supposto per un istante che tutte le molecole abbiano la stessa velocità \(w\) e la stessa componente \(w_n\) perpendicolare alla parete, consideriamo un parallelepipedo di base \(dA\) a di altezza \(w_n\,d\tau\). Il numero di molecole contenute nel parallelepipedo è \[ \frac{N}{V}dA\,w_n\,d\tau \; . \] Metà di queste molecole nel tempo \(d\tau\) si avvicinano alla parete e la colpiscono, metà se ne allontanano. La variazione complessiva della quantità di moto nel tempo \(d\tau\) è \[ 2\,m'\,w_n\frac{1}{2}\frac{N}{V}dA\,w_n\,d\tau \; . \] La forza sulla parete è pertanto \[ dF = \frac{N}{V}m'\,dA\,w_n^2 \] e la pressione \[ p = \frac{N}{V}m'\,w_n^2 \; . \] Dobbiamo tener conto ora che le molecole hanno diverse velocità: detta pertanto \(\bar{w_n^2}\) la media quadratica delle singole componenti in direzione normale, tale che sia \[ N\,\bar{w_n^2} = \sum_{i=1}^N \left(w_n^2\right)_i \] si ottiene \[ p = \frac{N}{V}m'\,\bar{w_n^2} \; . \] Dato che il moto delle molecole è tridimensionale e le velocità sono distribuite isoentropicamente, la velocità quadratica media normale è \[ \bar{w_n^2} = \frac{1}{3}\bar{w^2} \] ove \(\bar{w^2}\) è il valore quadratico medio del modulo della velocità di tutte le molecole. In definitiva si ottiene: \[ p\,V=\frac{1}{3}N\,m'\,\bar{w^2} \; . \] Confrontando ora questa equazione con l'equazione si stato del gaso ideale (\(p\,V=n\,\bar{R}\,T\)) si deduce una relazione fra l'energia cinetica media di traslazione delle molecole e la temperatura del gas ideale. Si ha \[ \frac{2}{3}N\frac{m'\,\bar{w^2}}{2}=n\,\bar{R}\,T \] essendo \(n\) il numero di moli.

Il rapporto \(N/n\), numero di molecole per mole, si chiama numero di Avogadro \(N_A\) e vale \[ N_A := \frac{N}{n} = 6,0225\cdot 10^{26}\frac{molecole}{kmol} \; ; \] quindi si può scrivere \[ \frac{1}{2}m'\,\bar{w^2} = \frac{3}{2}\frac{\bar{R}}{N_A}T = \frac{3}{2}k\,T \] ove \(k\) è la costante di Boltzmann \[ k := \frac{\bar{R}}{N_A} = \frac{8314,3}{6,0225\cdot 10^{26}} = 1,38\cdot 10^{-23} \frac{J}{K} \; . \] Da quest'ultima equazione si deduce che \[ \bar{E}_{kin} = \frac{3}{2}k\,T \] ossia che l'energia cinetica media ad una data temperatura è la medesima per ogni gas. Così le molecole dei gas più pesanti hanno velocità media più bassa di quelle dei gasi più leggeri.

Tratto da Termodinamica applicata - Alberto Cavallini, Lino Mattarolo - cleup editore - ed. 1992 - (pagg. 75-78).[/quote]
Perfetto !