L'azione in Relatività Generale

[startrekking3]

Buongiorno a tutti! Come si fa a definire l'azione in Relatività Generale? Grazie

[yoshiharu]

"startrekking3":Buongiorno a tutti! Come si fa a definire l'azione in Relatività Generale?

Intendo la domanda nella sua forma piu' semplice:
l'azione per la gravita' e' la azione di Einstein-Hilbert
[tex]\int d^n\,x \sqrt{-g} \ R + S_M[/tex]

($S_M$ e' l'azione della materia),
che e' individuata dalla proprieta' di produrre le equazioni di Einstein, quando fai la variazione rispetto alla metrica, tenendo come connessione affine quella di Levi-Civita.
C'e' da citare il formalismo a la Palatini, che permette una importante estensione, ma questo non fa parte della risposta alla forma piu' semplice della domanda
E' la risposta che ti serviva?

[startrekking3]

Si, ma mi chiedo soprattutto come si riesca a giungere a questo risultato.

[yoshiharu]

"startrekking3":Si, ma mi chiedo soprattutto come si riesca a giungere a questo risultato.

Beh, la parte col determinante della metrica e' semplicemente la forma di volume standard, rimane la densita' di lagrangiana, cioe' lo scalare di Ricci. Hai anzitutto che da principi generali questo termine deve essere scalare, per la covarianza. Deve essere fatto con il tensore di curvatura, perche' deve essere "geometrico", per cosi' dire; ovviamente puoi pensare ad una serie di termini con tutte le contrazioni possibili del tensore di Riemann, ma queste introdurrebbero termini di ordine superiore al secondo nell'equazione alle derivate parziali che ne risulta. Per esempio tali termini potrebbero venire da un tentativo di quantizzazione, come controtermini. Per fortuna la teoria quantistica della gravita' pare (con ogni probabilita') non si faccia cosi'
A parte gli scherzi, nella teoria classica, se prendi la richiesta di covarianza, e quella che le equazioni di Euler-Lagrange siano del secondo ordine, hai (piu' o meno) l'azione di Einstein-Hilbert. In effetti e' un po' quello che succede tutte le volte che si deve trovare l'azione di un sistema: l'azione e' quella che riproduce le equazioni del moto

Per l'esatta successione storica di eventi (i.e. pubblicazioni) che hanno portato a questa azione, puoi provare a pescare da qualche parte l'articolo originale di Hilbert, e quelli di Einstein. Peraltro e' sicuramente una buona lettura; dipende pero' dal tuo grado di conoscenza di queste cose: inoltre essendo letteratura di molti anni fa, potrebbe avere un "sapore" un pochino "duretto" per uno che per es. si sia formato su libri del dopo Hawking & Ellis....
Vabbe', fai una prova

[startrekking3]

Grazie! Comunque, ho provato a leggere gli scritti di Einstein sulla RG e ho notato che per noi del 21esimo secolo risulta strana anche la notazione. In effetti una volta avevano un modo di calcolare che ora risulta un po' "duretto"