Lavoro rotazionale e forze quali tensione delle funi e forza di attrito statico
Ho un dubbio riguardante la definizione di lavoro rotazionale, che è la seguente
$W=\int M_z d\theta $
Dove $M_z$ è la componente assiale del lavoro.
Anzitutto come si può scrivere tale integrale in termini vettoriali? E' corretto indicarlo come
$W=\int \vec{M} \cdot d \vec{\theta} $ ?
Il mio dubbio è sull'utilizzo di $d \vec{\theta}$ come vettore, che, al pari di $\omega$, sarebbe diretto lungo l'asse di rotazione.
Il dubbio principale però riguarda il fatto che, a guardare tale definizione, sembrerebbe che qualsiasi momento che abbia componente assiale non nulla e che produca una rotazione faccia lavoro (rotazionale).
Tuttavia si consideri un usuale problema di moto di puro rotolamento, per esempio un disco che rotola giù da un piano inclinato e si prenda come polo per il calcolo dei momenti il centro di massa del disco. La forza di attrito statico ha momento assiale ed è la causa della rotazione del disco (se non ci fosse attrito questo striscerebbe). Però l'attrito statico è un classico esempio di una forza che non compie lavoro perché non causa uno spostamento.
Una situazione analoga si ha ad esempio con corpi rigidi assimilabili a yo-yo, cioè carrucole che cadendo svolgono un filo (sul quale rotolano senza strisciare). In tal caso la tensione della fune esercita un momento e causa la rotazione dello yo-yo, tuttavia mi sembra molto strano che possa compiere lavoro.
Tali forze compiono lavoro rotazionale ? Probabilmente sto interpretando male la definizione ma non vedo dove sia l'errore. Ringrazio in anticipo per i suggerimenti.
$W=\int M_z d\theta $
Dove $M_z$ è la componente assiale del lavoro.
Anzitutto come si può scrivere tale integrale in termini vettoriali? E' corretto indicarlo come
$W=\int \vec{M} \cdot d \vec{\theta} $ ?
Il mio dubbio è sull'utilizzo di $d \vec{\theta}$ come vettore, che, al pari di $\omega$, sarebbe diretto lungo l'asse di rotazione.
Il dubbio principale però riguarda il fatto che, a guardare tale definizione, sembrerebbe che qualsiasi momento che abbia componente assiale non nulla e che produca una rotazione faccia lavoro (rotazionale).
Tuttavia si consideri un usuale problema di moto di puro rotolamento, per esempio un disco che rotola giù da un piano inclinato e si prenda come polo per il calcolo dei momenti il centro di massa del disco. La forza di attrito statico ha momento assiale ed è la causa della rotazione del disco (se non ci fosse attrito questo striscerebbe). Però l'attrito statico è un classico esempio di una forza che non compie lavoro perché non causa uno spostamento.
Una situazione analoga si ha ad esempio con corpi rigidi assimilabili a yo-yo, cioè carrucole che cadendo svolgono un filo (sul quale rotolano senza strisciare). In tal caso la tensione della fune esercita un momento e causa la rotazione dello yo-yo, tuttavia mi sembra molto strano che possa compiere lavoro.
Tali forze compiono lavoro rotazionale ? Probabilmente sto interpretando male la definizione ma non vedo dove sia l'errore. Ringrazio in anticipo per i suggerimenti.
Risposte
Provo a risponderti e per farlo mi limito al caso del cilindro che rotola lungo un piano inclinato.
Nella valutazione lavoro-energia è necessario per prima cosa identificare il sistema fisico sul quale applicare le considerazioni, e soprattutto il sistema di riferimento.
Il sistema di riferimento è essenziale, visto che la velocità, su cui si basa la definizione di energia cinetica, dipende strettamente dal sistema di riferimento.
Nel caso del piano inclinato, il sistema di riferimento è un sistema inerziale solidale con il piano.
In questo sistema si muove un corpo, il cilindro che rotola, sul quale agiscono alcune forse:
-la forza peso: essa è una forza che fa lavoro perché è applicata a un punto, il centro di massa, che si muove nel sistema di riferimento.
-la reazione del piano inclinato nelle sue due componenti, normale e tangenziale: questa è costituita da una forza perpendicolare al piano che compensa parzialmente la forza peso, e una componente tangenziale che si oppone al moto del cilindro. Queste due forze sono applicate a un punto del corpo, il centro istantaneo di rotazione, che ha velocità zero. Pertanto anche la potenza (forza per velocità) di queste due forze è sempre nulla, dunque il lavoro fatto da esse è nullo
In questo sistema di riferimento, dunque non c'è altro.
Se cambiamo però il sistema di riferimento può cambiare la visione del bilancio energetico.
Prendiamo dunque a riferimento un sistema centrato sul CM del cilindro, che si muove con velocità traslazionale uguale a quella del cilindro.
Se ci mettiamo in questo sistema, notiamo le seguenti forze:
-la forza peso, come quella di prima
-la reazione normale del piano, come quella di prima
-la reazione tangenziale del piano, come prima
-una forza apparente diretta in senso inverso al moto assoluto e avente componente tangenziale $f=-ma$, dovuta al fatto che il cilindro accelera.
Le forze citate si compensano tutte, tant'è vero che il cilindro sta fermo nel sistema di riferimento scelto, dunque fanno lavoro zero in quel sistema, tant'è che l'energia cinetica traslazionale resta nulla.
Rimane però il fatto che la componente di reazione del piano tangenziale, applicata dal piano inclinato al bordo del disco che ruota a velocità angolare non nulla e crescente nel tempo, fornisce un momento meccanico costante rispetto al centro del disco. Questo momento dunque, essendo applicato a un oggetto che ruota a velocità diversa da zero, fornisce energia cinetica rotazionale al disco, che è la stessa che avevamo calcolato nel caso del sistema di riferimento fisso. Con la differenza che in questo sistema accelerato, essa rimane l'unica energia cinetica di tutto il sistema.
Nella valutazione lavoro-energia è necessario per prima cosa identificare il sistema fisico sul quale applicare le considerazioni, e soprattutto il sistema di riferimento.
Il sistema di riferimento è essenziale, visto che la velocità, su cui si basa la definizione di energia cinetica, dipende strettamente dal sistema di riferimento.
Nel caso del piano inclinato, il sistema di riferimento è un sistema inerziale solidale con il piano.
In questo sistema si muove un corpo, il cilindro che rotola, sul quale agiscono alcune forse:
-la forza peso: essa è una forza che fa lavoro perché è applicata a un punto, il centro di massa, che si muove nel sistema di riferimento.
-la reazione del piano inclinato nelle sue due componenti, normale e tangenziale: questa è costituita da una forza perpendicolare al piano che compensa parzialmente la forza peso, e una componente tangenziale che si oppone al moto del cilindro. Queste due forze sono applicate a un punto del corpo, il centro istantaneo di rotazione, che ha velocità zero. Pertanto anche la potenza (forza per velocità) di queste due forze è sempre nulla, dunque il lavoro fatto da esse è nullo
In questo sistema di riferimento, dunque non c'è altro.
Se cambiamo però il sistema di riferimento può cambiare la visione del bilancio energetico.
Prendiamo dunque a riferimento un sistema centrato sul CM del cilindro, che si muove con velocità traslazionale uguale a quella del cilindro.
Se ci mettiamo in questo sistema, notiamo le seguenti forze:
-la forza peso, come quella di prima
-la reazione normale del piano, come quella di prima
-la reazione tangenziale del piano, come prima
-una forza apparente diretta in senso inverso al moto assoluto e avente componente tangenziale $f=-ma$, dovuta al fatto che il cilindro accelera.
Le forze citate si compensano tutte, tant'è vero che il cilindro sta fermo nel sistema di riferimento scelto, dunque fanno lavoro zero in quel sistema, tant'è che l'energia cinetica traslazionale resta nulla.
Rimane però il fatto che la componente di reazione del piano tangenziale, applicata dal piano inclinato al bordo del disco che ruota a velocità angolare non nulla e crescente nel tempo, fornisce un momento meccanico costante rispetto al centro del disco. Questo momento dunque, essendo applicato a un oggetto che ruota a velocità diversa da zero, fornisce energia cinetica rotazionale al disco, che è la stessa che avevamo calcolato nel caso del sistema di riferimento fisso. Con la differenza che in questo sistema accelerato, essa rimane l'unica energia cinetica di tutto il sistema.
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