Lavoro, potenziale. Esercizio.
Un punto materiale $P$ è soggetto ad una forza $F = (y^2 - x^2)i + 3xyj$. Trovare il lavoro fatto dalla forza quando il punto $P$ si muove dall'origine degli assi $O -= (0,0)$ al punto $A-= (2,4)$ lungo ciascuno dei seguenti cammini:
(1) lungo l'asse $x$ da $(0,0)$ ad $(2,0)$ e poi parallelamente all'asse $y$ fino a $(2,4)$;
(2) lungo l'asse $y$ da $(0,0)$ a $(0,4)$ e poi parallelamente all'asse $x$ fino a $(2,4)$;
(3) lungo la linea retta che passa da $O$ e da $A$;
(4) lungo la parabola $y=x^2$;
La forza è conservativa ?
E' il primo esercizio della serie e mi chiedo come si può impostare una soluzione?
Vi chiedo gentilmente se è possibile un aiuto.
(1) lungo l'asse $x$ da $(0,0)$ ad $(2,0)$ e poi parallelamente all'asse $y$ fino a $(2,4)$;
(2) lungo l'asse $y$ da $(0,0)$ a $(0,4)$ e poi parallelamente all'asse $x$ fino a $(2,4)$;
(3) lungo la linea retta che passa da $O$ e da $A$;
(4) lungo la parabola $y=x^2$;
La forza è conservativa ?
E' il primo esercizio della serie e mi chiedo come si può impostare una soluzione?
Vi chiedo gentilmente se è possibile un aiuto.
Risposte
vediamo ad esempio il 3)
prima di tutto,bisogna parametrizzare il segmento $OA$
$ { ( x=t ),( y=2t),( 0leqtleq2 ):} $
$L= int_(O)^(A) f_x dx +f_ydy=int_(0)^(2) (4t^2-t^2) dt+(3t\cdot 2t)2dt=int_(0)^(2) 15t^2 dt $
prima di tutto,bisogna parametrizzare il segmento $OA$
$ { ( x=t ),( y=2t),( 0leqtleq2 ):} $
$L= int_(O)^(A) f_x dx +f_ydy=int_(0)^(2) (4t^2-t^2) dt+(3t\cdot 2t)2dt=int_(0)^(2) 15t^2 dt $
Ciao quantunquemente, sei arrivato ad un Lavoro, ma penso che quello che hai fatto per arrivare a impostare quell'integrale sia quanto segue:
la funzione della traccia è scritta così $F(x,y) = (y^2 - x^2)i + 3xyj$, la retta va da $O=(0,0)$ ad $A=(2,4)$, quindi si ha
$F(0,0) =0 $
$F(2,4) = -12i + 24j$
vedendo quello che hai fatto tu, non riesco a capire il perchè hai eguagliato a zero la $F(2,4)$ ? Hai fatto in questo modo
$-12i + 24j =0 $ cioè $12x = 24y-> x=2y$
da cui si capisce che hai ovviamente considerato come parametro la $x=t$ e quindi viene fuori il sistema che giustamente scrivi.
Ma sulla base di cosa hai eguagliato la $F(2,4)$ a zero?
Altra cosa che non sto capendo è sulla base di cosa scrivi l'intervallo $0 <= t <= 2$
la funzione della traccia è scritta così $F(x,y) = (y^2 - x^2)i + 3xyj$, la retta va da $O=(0,0)$ ad $A=(2,4)$, quindi si ha
$F(0,0) =0 $
$F(2,4) = -12i + 24j$
vedendo quello che hai fatto tu, non riesco a capire il perchè hai eguagliato a zero la $F(2,4)$ ? Hai fatto in questo modo
$-12i + 24j =0 $ cioè $12x = 24y-> x=2y$
da cui si capisce che hai ovviamente considerato come parametro la $x=t$ e quindi viene fuori il sistema che giustamente scrivi.
Ma sulla base di cosa hai eguagliato la $F(2,4)$ a zero?
Altra cosa che non sto capendo è sulla base di cosa scrivi l'intervallo $0 <= t <= 2$
non ho uguagliato $F(2,4)$ a zero
la parametrizzazione che ho scritto deriva dal fatto che il segmento $OA$ si trova sulla retta $y=2x$
avendo posto posto $x=t$ ,siccome $x$ varia in $[0,2]$ sul segmento $OA$,lo stesso fa $t$
la parametrizzazione che ho scritto deriva dal fatto che il segmento $OA$ si trova sulla retta $y=2x$
avendo posto posto $x=t$ ,siccome $x$ varia in $[0,2]$ sul segmento $OA$,lo stesso fa $t$
oppure potresti immediatamente calcolare il rotore del campo $\bar F$ e verificare che non è sempre nullo quindi la forza non può essere conservativa e quindi ti tocca fare 3 integrali di linea ^^
"quantunquemente":
non ho uguagliato $F(2,4)$ a zero .......
Hai ragione, non avevo fatto queste considerazioni!
Perdonami per il frainteso!
"fhabbio":
oppure potresti immediatamente calcolare il rotore del campo $\bar F$ e verificare che non è sempre nullo quindi la forza non può essere conservativa e quindi ti tocca fare 3 integrali di linea ^^
Scusami, ma cosa intendi per rotore?
IO so che per verificare che un campo sia conservativo, deve valere che $f_(xy) = f_(yx)$ in termini di derivate miste!
Se si ha quell'uguaglianza, allora il campo è conservativo!
Intendi questo per rotore?
mmm non è proprio così.
il rotore è un operatore vettoriale e (in due dimensioni) vale
$rot(\bar F)=((\partial F_y)/(\partial x)-(\partial F_x)/(\partial y))*\hat k$
se il rotore di un campo vettoriale vale $0$ allora il campo non è detto che sia conservativo!
E' una condizione necessaria ma non sufficiente.
Infatti il dominio in cui è definito il campo deve essere anche semplicemente connesso.
Se vale ciò, allora $\bar F$ è conservativo e puoi fare tante cose belle.
Ma mi sembra che non hai sufficiente pratica con l'analisi tra definizioni e parametrizzazioni, giusto?
Mi sembra strano affrontare questi problemi senza avere certe nozioni di base.
Nel frattempo prova fare un po' di esercizio in più.
il rotore è un operatore vettoriale e (in due dimensioni) vale
$rot(\bar F)=((\partial F_y)/(\partial x)-(\partial F_x)/(\partial y))*\hat k$
se il rotore di un campo vettoriale vale $0$ allora il campo non è detto che sia conservativo!
E' una condizione necessaria ma non sufficiente.
Infatti il dominio in cui è definito il campo deve essere anche semplicemente connesso.
Se vale ciò, allora $\bar F$ è conservativo e puoi fare tante cose belle.
Ma mi sembra che non hai sufficiente pratica con l'analisi tra definizioni e parametrizzazioni, giusto?
Mi sembra strano affrontare questi problemi senza avere certe nozioni di base.
Nel frattempo prova fare un po' di esercizio in più.
E Per il punto (1) cone deco fare? Avete per favore qualche consiglio?
sempre lo stesso :devi parametrizzare i vari tratti ed applicare la definizione di lavoro
Punto (1)
La funzione è $F(x,y) = (y^2 - x^2)i + 3xyj$, la retta va da $O=(0,0)$ ad $A=(2,4)$, il punto (1) vuole che dobbiamo trovare in primis il lavoro fatto lungo l'asse $x$ da $(0,0) $ ad $(2,0)$.
Quindi lungo l'asse delle $x$:
$ { ( x=t ),( y=0),( 0leqtleq2 ):} $
Quindi lungo l'asse delle $y$:
$ { ( x=0 ),( y=s),( 0leqsleq4 ):} $
per questo lavoro lungo l'asse delle $y$ ho considerato che la $x=0$ in quanto è costantemente $x=2$, quindi non penso sia sbagliato, vero?
Il lavoro è dato dalla somma dei lavori nei tratti lungo la $x$ e lungo la $y$ quindi:
$L = int_(O)^(A) f_x dx +f_ydy = int_(0)^(2)f_x dx + int_(0)^(4)f_y dy = int_(0)^(2) -4t^2dt + int_(0)^(4)16s^2 ds $
$L = int_(0)^(2) -4t^2dt + int_(0)^(4)16s^2 ds $
Ho fatto bene?
La funzione è $F(x,y) = (y^2 - x^2)i + 3xyj$, la retta va da $O=(0,0)$ ad $A=(2,4)$, il punto (1) vuole che dobbiamo trovare in primis il lavoro fatto lungo l'asse $x$ da $(0,0) $ ad $(2,0)$.
Quindi lungo l'asse delle $x$:
$ { ( x=t ),( y=0),( 0leqtleq2 ):} $
Quindi lungo l'asse delle $y$:
$ { ( x=0 ),( y=s),( 0leqsleq4 ):} $
per questo lavoro lungo l'asse delle $y$ ho considerato che la $x=0$ in quanto è costantemente $x=2$, quindi non penso sia sbagliato, vero?
Il lavoro è dato dalla somma dei lavori nei tratti lungo la $x$ e lungo la $y$ quindi:
$L = int_(O)^(A) f_x dx +f_ydy = int_(0)^(2)f_x dx + int_(0)^(4)f_y dy = int_(0)^(2) -4t^2dt + int_(0)^(4)16s^2 ds $
$L = int_(0)^(2) -4t^2dt + int_(0)^(4)16s^2 ds $
Ho fatto bene?
Mi correggano i pro se dovessi cadere in errore, premetto sempre che sono uno studente come te 
Il lavoro è la circuitazione del campo $\bar F$ ed esso vale
$L=int_gamma \bar F*\hat t*dl$ dove $gamma$ è il "percorso" che va da $O$ ad $A$
si dimostra che se un campo è conservativo allora esiste un potenziale $U$ tale che $nabla U=-\bar F$ ed il lavoro calcolato lunga una qualsiasi curva che congiunge due punti $A$ e $B$ equivale ad $L=U(B)-U(A)$ ma non è il nostro caso perchè abbiamo visto che non è un campo conservativo (perchè il rotore non è nullo)
ora andiamo a vedere come si calcola il lavoro lungo una curva $gamma$.
Consideriamo per esempio il punto 3 che è un caso più generale.
Dobbiamo parametrizzare la retta che congiunge $O(0,0)$ ed $A(2,4)$.
Nel caso in cui la tua curva è del tipo $y=f(x)$ allora è facile da parametrizzare infatti ti basta porre la $x=t$ e il resto vien da sè.
Vediamo il caso specifico. La retta ha equazione $y=2x$
$ gamma(t)={ ( x=t ),( y=2t):} $
con $( 0leqtleq2 )$
e si capisce perché la $t$ varia da $0$ a $2$ basta guardare le coordinate dei punti in questo caso; vedrai di conseguenza variare anche la coordinata $y$
Apro una parentesi a proposito delle curve.
Una curva $gamma(t)=(x(t),y(t))$ (lo stesso vale nello spazio) la puoi immaginare come la traiettoria tracciata da un corpo puntiforme che si muove nel piano.
Nell'istante di tempo $t=t_0$ il corpo si trova nel punto $P_0$ di coordinate $x(t_0), y(t_0)$
Nell'istante $t_1$ il corpo si trova nel punto $P_1$ di coordinate $x(t_1), y(t_1)$
e così via.
Torniamo al nostro problema.
Dobbiamo calcolare il lavoro
$L=int_gamma \bar F*\hat t*dl$
$\hat t$ è un vettore tangente alla curva in ogni punto
$L=int_gamma \bar F(gamma(t))*gamma'(t)*dt$ abbiamo tutto, quindi
$L=int_0^2 (4t^2-t^2,6t)*(1,2)dt=int_0^2 (4t^2-t^2+12t) dt =int_0^2 15t^2dt$
che si risolve normalmente.
_________________________________________________________
_________________________________________________________
Vediamo il primo punto ora che è un caso "particolare" in cui $gamma$ va spezzata in due tratti poiché andando da $O$ ad $A$ non si ha un'unica curva regolare del piano del tipo $y=f(x)$.
"particolare" tra virgolette perché come vedrai è molto semplice.
i due tratti sono
$ gamma_1(t)={ ( x=t ),( y=0):} $
con $( 0leqtleq2 )$
$ gamma_2(s)={ ( x=2 ),( y=s):} $
con $( 0leqsleq4 )$
la $x$ non è $0$ come hai detto nel tuo ultimo post.
E' costante, sì, e vale $2$
Riguardando la considerazione fatta sulle curve si capisce perché $gamma_2$ è parametrizzata in tal modo,
isn't it?:smt023
$L=int_(gamma_1) \bar F(gamma_1(t))*gamma_1'(t)*dt+int_(gamma_2) \bar F(gamma_2(s))*gamma_2'(s)*ds$
sostituendo (occhio alle derivate)
$L=int_0^2 (-t^2,0)*(1,0)*dt+int_0^4(s^2-4,6s)*(0,1)*ds=int_0^2 (-t^2)dt+int_0^4 6s*ds$
sarà compito dello studente svolgere il calcolo di questi integrali
_________________________________________________________
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il punto due è uguale al precedente.
Ti faccio osservare che se il lavoro calcolato lungo curve diverse congiungenti due punti ti viene uguale non significa che il campo sia conservativo!
Vale il contrario: se un campo è conservativo allora il lavoro lungo lungo curve diverse congiungenti due punti è uguale
Anyway...
Se hai problemi scrivi.
Ripassa comunque
Le curve e le parametrizzazioni
I campi vettoriali, i campi conservativi e il calcolo del potenziale
Il lavoro è la circuitazione del campo $\bar F$ ed esso vale
$L=int_gamma \bar F*\hat t*dl$ dove $gamma$ è il "percorso" che va da $O$ ad $A$
si dimostra che se un campo è conservativo allora esiste un potenziale $U$ tale che $nabla U=-\bar F$ ed il lavoro calcolato lunga una qualsiasi curva che congiunge due punti $A$ e $B$ equivale ad $L=U(B)-U(A)$ ma non è il nostro caso perchè abbiamo visto che non è un campo conservativo (perchè il rotore non è nullo)
ora andiamo a vedere come si calcola il lavoro lungo una curva $gamma$.
Consideriamo per esempio il punto 3 che è un caso più generale.
Dobbiamo parametrizzare la retta che congiunge $O(0,0)$ ed $A(2,4)$.
Nel caso in cui la tua curva è del tipo $y=f(x)$ allora è facile da parametrizzare infatti ti basta porre la $x=t$ e il resto vien da sè.
Vediamo il caso specifico. La retta ha equazione $y=2x$
$ gamma(t)={ ( x=t ),( y=2t):} $
con $( 0leqtleq2 )$
e si capisce perché la $t$ varia da $0$ a $2$ basta guardare le coordinate dei punti in questo caso; vedrai di conseguenza variare anche la coordinata $y$
Apro una parentesi a proposito delle curve.
Una curva $gamma(t)=(x(t),y(t))$ (lo stesso vale nello spazio) la puoi immaginare come la traiettoria tracciata da un corpo puntiforme che si muove nel piano.
Nell'istante di tempo $t=t_0$ il corpo si trova nel punto $P_0$ di coordinate $x(t_0), y(t_0)$
Nell'istante $t_1$ il corpo si trova nel punto $P_1$ di coordinate $x(t_1), y(t_1)$
e così via.
Torniamo al nostro problema.
Dobbiamo calcolare il lavoro
$L=int_gamma \bar F*\hat t*dl$
$\hat t$ è un vettore tangente alla curva in ogni punto
$L=int_gamma \bar F(gamma(t))*gamma'(t)*dt$ abbiamo tutto, quindi
$L=int_0^2 (4t^2-t^2,6t)*(1,2)dt=int_0^2 (4t^2-t^2+12t) dt =int_0^2 15t^2dt$
che si risolve normalmente.
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Vediamo il primo punto ora che è un caso "particolare" in cui $gamma$ va spezzata in due tratti poiché andando da $O$ ad $A$ non si ha un'unica curva regolare del piano del tipo $y=f(x)$.
"particolare" tra virgolette perché come vedrai è molto semplice.
i due tratti sono
$ gamma_1(t)={ ( x=t ),( y=0):} $
con $( 0leqtleq2 )$
$ gamma_2(s)={ ( x=2 ),( y=s):} $
con $( 0leqsleq4 )$
la $x$ non è $0$ come hai detto nel tuo ultimo post.
E' costante, sì, e vale $2$
Riguardando la considerazione fatta sulle curve si capisce perché $gamma_2$ è parametrizzata in tal modo,
isn't it?:smt023
$L=int_(gamma_1) \bar F(gamma_1(t))*gamma_1'(t)*dt+int_(gamma_2) \bar F(gamma_2(s))*gamma_2'(s)*ds$
sostituendo (occhio alle derivate)
$L=int_0^2 (-t^2,0)*(1,0)*dt+int_0^4(s^2-4,6s)*(0,1)*ds=int_0^2 (-t^2)dt+int_0^4 6s*ds$
sarà compito dello studente svolgere il calcolo di questi integrali
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il punto due è uguale al precedente.
Ti faccio osservare che se il lavoro calcolato lungo curve diverse congiungenti due punti ti viene uguale non significa che il campo sia conservativo!
Vale il contrario: se un campo è conservativo allora il lavoro lungo lungo curve diverse congiungenti due punti è uguale
Anyway...
Se hai problemi scrivi.
Ripassa comunque
Le curve e le parametrizzazioni
I campi vettoriali, i campi conservativi e il calcolo del potenziale
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