Lavoro per separare piani carichi
Buonasera ragazzi, volevo qualche delucidazione sul seguente esercizio (scusate ma non so di preciso come utilizzare LaTeX nei post):
Due piani paralleli di superficie A, sono separati da una distanza l. Essi sono carichi
e le loro densità di carica superficiali valgono σ e −σ. Calcolare il lavoro necessario per
allontanare i piani uno dall’altro di una distanza x.
Ho provato a svolgere l'integrale del lavoro ma non sono sicuro sia giusto, io l'ho impostato così (scusate ma non so usare il LaTex per le formule):
\int F\cdot ds dove F=q^2/(4\pi \varepsilon r^2) ; inoltre q la esprimo come \sigma \cdot Area; mi rimane quindi, portando fuori tutte le costanti, l'integrale tra l ed l+x di 1/r^2 \cdot ds.
Ha senso?
Due piani paralleli di superficie A, sono separati da una distanza l. Essi sono carichi
e le loro densità di carica superficiali valgono σ e −σ. Calcolare il lavoro necessario per
allontanare i piani uno dall’altro di una distanza x.
Ho provato a svolgere l'integrale del lavoro ma non sono sicuro sia giusto, io l'ho impostato così (scusate ma non so usare il LaTex per le formule):
\int F\cdot ds dove F=q^2/(4\pi \varepsilon r^2) ; inoltre q la esprimo come \sigma \cdot Area; mi rimane quindi, portando fuori tutte le costanti, l'integrale tra l ed l+x di 1/r^2 \cdot ds.
Ha senso?
Risposte
Si tratta sostanzialmente di un condensatore a facce piane e parallele. Il campo elettrico generato da una delle armature è pari a:
$$ \overrightarrow E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat u_x$$
Dunque, la forza esercitata da un'armatura sull'altra è:
$$ \overrightarrow F = Q \overrightarrow E = -\frac{\sigma^2 A}{2\varepsilon_0} \hat u_x $$
Dunque:
$$ \mathcal{L} = \int_{l}^{l + x} \overrightarrow F \cdot \hat u_x \ \text{d}{x'} = -\frac{\sigma^2 A}{2\varepsilon_0} x $$
Si può arrivare al risultato anche in questo altro modo. Per una variazione $\text{d}x$ di distanza tra le armature, si ha:
$$ \text{d}C = \frac{\varepsilon_0 A}{\text{d}x} $$
Essendo:
$$ \text{d}U = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{\text{d}C}$$
Otteniamo:
$$ \mathcal{L} = - \Delta U = -\int_{l}^{l + x} \frac{1}{2} \frac{ \sigma^2 A^2}{\varepsilon_0 A} \text{d} x' = -\frac{\sigma^2 A}{2\varepsilon_0} x$$
$$ \overrightarrow E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat u_x$$
Dunque, la forza esercitata da un'armatura sull'altra è:
$$ \overrightarrow F = Q \overrightarrow E = -\frac{\sigma^2 A}{2\varepsilon_0} \hat u_x $$
Dunque:
$$ \mathcal{L} = \int_{l}^{l + x} \overrightarrow F \cdot \hat u_x \ \text{d}{x'} = -\frac{\sigma^2 A}{2\varepsilon_0} x $$
Si può arrivare al risultato anche in questo altro modo. Per una variazione $\text{d}x$ di distanza tra le armature, si ha:
$$ \text{d}C = \frac{\varepsilon_0 A}{\text{d}x} $$
Essendo:
$$ \text{d}U = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{\text{d}C}$$
Otteniamo:
$$ \mathcal{L} = - \Delta U = -\int_{l}^{l + x} \frac{1}{2} \frac{ \sigma^2 A^2}{\varepsilon_0 A} \text{d} x' = -\frac{\sigma^2 A}{2\varepsilon_0} x$$
Mi chiedo che motivo c'è di scomodare gli integrali quando c'è una forza costante, visto che il campo elettrico fra i due piani non dipende dalla distanza
"mgrau":
Mi chiedo che motivo c'è di scomodare gli integrali quando c'è una forza costante, visto che il campo elettrico fra i due piani non dipende dalla distanza
Beh, male non fa essere un po' più generali. C'è una bella differenza tra il dire che il lavoro è forza per spostamento e dire che è l'integrale lungo lo spostamento della forza scalar l'elemento di spostamento. Se lo spostamento non mantenesse parallele le armature, ma, ad esempio, una delle due ruotasse di certo angolo oltre che traslare, la questione sarebbe ben diversa, non credi? Poi, in questo caso c'è il vuoto (si suppone) tra le due armature, ma se ci fosse stato un dielettrico di costante dielettrica relativa che cambia con la distanza la faccenda si sarebbe complicata ulteriormente, la forza sarebbe stata variabile e il calcolo del lavoro non sarebbe stato un semplice forza per spostamento. Meglio restare sul generale; poi vabbè, ognuno è libero di pensarla come vuole.
"mgrau":
Mi chiedo che motivo c'è di scomodare gli integrali quando c'è una forza costante, visto che il campo elettrico fra i due piani non dipende dalla distanza
Ok, che soluzione proporresti quindi?
[quote="Berationalgetreal"][/quote]
Ti ringrazio, non avevo pensato al considerare il sistema come un condensatore
Il campo elettrico lo hai trovato.
La carica su un piano è $\sigma A$
La forza è il campo per la carica.
Il lavoro, in questo caso, è forza per spostamento (e chiedo scusa se è troppo banale)
La carica su un piano è $\sigma A$
La forza è il campo per la carica.
Il lavoro, in questo caso, è forza per spostamento (e chiedo scusa se è troppo banale)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo