Lavoro per immergere una sfera in acqua
Presa una sfera indeformabile di massa trascurabile, questa galleggia perfettamente sull'acqua. Il raggio è R, bisogna calcolare il lavoro per immergerla completamente.
Io avevo pensato di calcolarmi la spinta di archimede che si instaura quando questa inizia ad immergersi, essendo una forza uguale ed opposta a quella necessaria.
Per cui
$L = S_A . \Delta x = \rho_a \g (4/3 \pi R^3)\ \Delta x$
Ora a me verrebbe da dire che lo spazio percorso sarebbe quello del centro di massa della sfera, che percorre una distanza $2R$ però così mi viene il doppio del risultato, e non capisco perchè quindi percorra $R$
Grazie mille
Io avevo pensato di calcolarmi la spinta di archimede che si instaura quando questa inizia ad immergersi, essendo una forza uguale ed opposta a quella necessaria.
Per cui
$L = S_A . \Delta x = \rho_a \g (4/3 \pi R^3)\ \Delta x$
Ora a me verrebbe da dire che lo spazio percorso sarebbe quello del centro di massa della sfera, che percorre una distanza $2R$ però così mi viene il doppio del risultato, e non capisco perchè quindi percorra $R$
Grazie mille
Risposte
credo che il secondo es di questo link assomigli al tuo problema
http://www2.ing.unipi.it/g.triggiani/fi ... 3-1112.jpg
http://www2.ing.unipi.it/g.triggiani/fi ... 3-1112.jpg
\[
dW=F\cdot ds \Rightarrow W=\int F\cdot ds
\]
Nel tuo caso
\[
\begin{split}
F&=(0,0,F) \\
s&=(0,0,z) \\
W&=\int F\cdot ds=\int F\ dz
\end{split}
\]
Se è chiaro cosa intendo nelle formule. Puoi portare fuori la \(F\) se la forza è costante.
\[
W=\int F\ dz=F(z_{b}-z_{a})=Fs
\]
La tua forza è costante? Se no prova a vedere di sostituire in \(F=F( V(z)) \) l'espressione del volume della sfera meno l'espressione del volume della calotta sferica che hai già portato fuori. Integrando in coordinate polari dovresti ottenere in funzione dell'altezza della calotta wiki
\[V_{calotta}=\pi h^{2}(R-h/3)\]
E \(h\) va espresso inoltre in termini di \(z\) e di \(R\).
dW=F\cdot ds \Rightarrow W=\int F\cdot ds
\]
Nel tuo caso
\[
\begin{split}
F&=(0,0,F) \\
s&=(0,0,z) \\
W&=\int F\cdot ds=\int F\ dz
\end{split}
\]
Se è chiaro cosa intendo nelle formule. Puoi portare fuori la \(F\) se la forza è costante.
\[
W=\int F\ dz=F(z_{b}-z_{a})=Fs
\]
La tua forza è costante? Se no prova a vedere di sostituire in \(F=F( V(z)) \) l'espressione del volume della sfera meno l'espressione del volume della calotta sferica che hai già portato fuori. Integrando in coordinate polari dovresti ottenere in funzione dell'altezza della calotta wiki
\[V_{calotta}=\pi h^{2}(R-h/3)\]
E \(h\) va espresso inoltre in termini di \(z\) e di \(R\).
grazie 
Provo a dare una risposta alternativa con un'idea un po' particolare. Spero non sia sbagliata.
Intanto credo che sia necessario supporre che la distesa d'acqua sia infinitamente estesa, altrimenti potrebbe non essere trascurabile l'effetto dell'innalzamento dell'acqua durante l'immersione della sfera.
Bisogna anche supporre che la sfera venga immersa molto lentamente e che gli effetti dell'aria siano trascurabili.
All'inizio abbiamo la sfera appoggiata sull'acqua. Alla fine c'è la sfera completamente immersa che va ad occupare dello spazio che inizialmente era occupato dall'acqua. Quindi possiamo dire che il lavoro necessario per immergere la sfera sia lo stesso che sarebbe necessario per sollevare quella porzione d'acqua fino in superficie.
Mettiamoci in un riferimento cartesiano centrato nel centro della sfera (immersa) e con l'asse $z$ verticale.
Per fare il calcolo immaginiamo di tagliare la sfera in tanti piccoli cilindretti orizzontali di quota $z$ e spessore $dz$.
Il volume $dV$ del cilindretto sarà dunque $dV=\pi r^2(z)dz$, dove $r(z)$ è il raggio della base del cilindretto (dipende da $z$).
Chiaro che vale $r(z)=\sqrt{R^2-z^2}$. Chiamando $dm$ la massa del cilindretto, il lavoro necessario per sollevarlo, tenendo conto che la sua distanza dalla superficie è $R-z$, risulta $dL=g(R-z)dm=g(R-z)\rho dV=g\pi\rho(R-z)(R^2-z^2)dz$ dove $\rho$ è la densità dell'acqua.
Integrando su tutta la sfera si ottiene
\[ L =g\pi\rho\int_{-R}^R(R-z)(R^2-z^2)dz=\frac 4 3 g\pi\rho R^4\]
Intanto credo che sia necessario supporre che la distesa d'acqua sia infinitamente estesa, altrimenti potrebbe non essere trascurabile l'effetto dell'innalzamento dell'acqua durante l'immersione della sfera.
Bisogna anche supporre che la sfera venga immersa molto lentamente e che gli effetti dell'aria siano trascurabili.
All'inizio abbiamo la sfera appoggiata sull'acqua. Alla fine c'è la sfera completamente immersa che va ad occupare dello spazio che inizialmente era occupato dall'acqua. Quindi possiamo dire che il lavoro necessario per immergere la sfera sia lo stesso che sarebbe necessario per sollevare quella porzione d'acqua fino in superficie.
Mettiamoci in un riferimento cartesiano centrato nel centro della sfera (immersa) e con l'asse $z$ verticale.
Per fare il calcolo immaginiamo di tagliare la sfera in tanti piccoli cilindretti orizzontali di quota $z$ e spessore $dz$.
Il volume $dV$ del cilindretto sarà dunque $dV=\pi r^2(z)dz$, dove $r(z)$ è il raggio della base del cilindretto (dipende da $z$).
Chiaro che vale $r(z)=\sqrt{R^2-z^2}$. Chiamando $dm$ la massa del cilindretto, il lavoro necessario per sollevarlo, tenendo conto che la sua distanza dalla superficie è $R-z$, risulta $dL=g(R-z)dm=g(R-z)\rho dV=g\pi\rho(R-z)(R^2-z^2)dz$ dove $\rho$ è la densità dell'acqua.
Integrando su tutta la sfera si ottiene
\[ L =g\pi\rho\int_{-R}^R(R-z)(R^2-z^2)dz=\frac 4 3 g\pi\rho R^4\]
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