Lavoro per immergere un pallone in acqua
Ho un problema che non riesco a risolvere tratto dal mencuccini-silvestrini sulla meccanica dei fluidi (pag 343):
Un pallone sferico indeformabile impermeabile e di massa trascurabile galleggia in un lago. Sapendo che la densità dell'acqua è $\rho = 1g/(cm^3)$ e che il raggio del pallone è R= 15 cm, calcolare il lavoro meccanico che occorre fare per immergerlo completamente nell'acqua.
Allora io ho provato a pensare che la forza di repulsione che spinge la palla a galleggiare è data dalla spinta di archimede del liquido spostato ossia
la variazione infinitesima di spinta che indico con $vecdA = \rho(R^2-z^2)\pi g dz vecu_z$ dove z è l'asse ortogonale al piano dell'acqua.
Ora il lavoro sarebbe la forza dA per lo spostamento dz integrato tra R e -R cioè per immergere tutto il pallone....... mi dite secondo voi dove sbaglio?
forse nel ragionamento o forse nella costruzione della spinta infinitesima...
grazie
Un pallone sferico indeformabile impermeabile e di massa trascurabile galleggia in un lago. Sapendo che la densità dell'acqua è $\rho = 1g/(cm^3)$ e che il raggio del pallone è R= 15 cm, calcolare il lavoro meccanico che occorre fare per immergerlo completamente nell'acqua.
Allora io ho provato a pensare che la forza di repulsione che spinge la palla a galleggiare è data dalla spinta di archimede del liquido spostato ossia
la variazione infinitesima di spinta che indico con $vecdA = \rho(R^2-z^2)\pi g dz vecu_z$ dove z è l'asse ortogonale al piano dell'acqua.
Ora il lavoro sarebbe la forza dA per lo spostamento dz integrato tra R e -R cioè per immergere tutto il pallone....... mi dite secondo voi dove sbaglio?
forse nel ragionamento o forse nella costruzione della spinta infinitesima...
grazie
Risposte
L'integrale che fai non l'ho capito, io farei diversamente.. Ad ogni modo questo problema credo si possa risolvere senza fare integrali, ma solo considerazioni energetiche sull'acqua del lago.... Prova a vedere se questo suggerimento ti fa venire in mente qualcosa 
il lavoro in questo caso non dipende dal percorso, ma solo dalla posizione iniziale e finale.....
Bello questo esercizio, semplice ma può sconcertare.
Ok alle considerazioni energetiche direi che il lago possiamo affermare non si alza (come scritto sul suggerimento)..... in prima approssimazione. Ne ho visto uno simile risolto con l'espressione dell'energia potenziale ma si trattava di un cubo .... penso che per risolverlo (anche se l'eercizio l'ho lasciato un'attimo da parte) occorra fare almeno 2 precisazioni:
1) Immergere il pallone si intende penso fino al pelo dell'acqua
2) Prendendo spunto dall'esercizio del cubo immerso occorre pensare alla quantità di acqua spostata nella forma geometrica sferica del pallone e riferita al centro di spinta. In pratica la variazione di energia potrebbe prendere in riferimento la distanza tra il pelo de''acqua e il centro di spinta del volume d'acqua sferico rimosso... che ne dite? si accettano consigli nel merito
Per inciso il lavoro dovrebbe venire un 20J circa...
1) Immergere il pallone si intende penso fino al pelo dell'acqua
2) Prendendo spunto dall'esercizio del cubo immerso occorre pensare alla quantità di acqua spostata nella forma geometrica sferica del pallone e riferita al centro di spinta. In pratica la variazione di energia potrebbe prendere in riferimento la distanza tra il pelo de''acqua e il centro di spinta del volume d'acqua sferico rimosso... che ne dite? si accettano consigli nel merito
Per inciso il lavoro dovrebbe venire un 20J circa...
Infatti...
Quando immergi il pallone alla fine questo occuperà il volume precedentemente occupato dall'acqua. Quindi poiché la massa del pallone è trascurabile l'energia da spendere è uguale alla variazione di energia potenziale di quell'acqua. Quindi bisogna chiedersi quell'acqua che fine fa?
Quando immergi il pallone alla fine questo occuperà il volume precedentemente occupato dall'acqua. Quindi poiché la massa del pallone è trascurabile l'energia da spendere è uguale alla variazione di energia potenziale di quell'acqua. Quindi bisogna chiedersi quell'acqua che fine fa?
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