Lavoro e potenziale per carica dentro guscio sferico

[incomplete1993]

Ciao a tutti nuovamente, sto impazzendo per quest'esercizio, che forse è banale ma non lo sto capendo del tutto credo:

Una carica elettrica puntiforme $q = 1.76 nC$ si trova al centro di un guscio sferico conduttore scarico di
raggio interno $r_i = 1.33 mm$ e raggio esterno $r_e = 2.57 mm$.
Il guscio sferico è provvisto di un forellino di dimensioni trascurabili che non modifica il campo elettrico ma consente il passaggio della carica q.
Calcolare il lavoro, in joule, che si deve fare per trasportare lentamente la carica q dal centro del guscio sferico all’infinito attraverso il forellino.

Ho provato a risolverlo calcolandomi l'energia elettrostatica del sistema, ovvero: $U=\int 1/2*ε_0*E(r)^2dV$, dato che il lavoro che mi interessa sarebbe l'energia opposta utilizzata per disgregarlo (o sbaglio?)

Il problema è che andando a integrare il campo elettrico in tutto lo spazio, che per $r>r_e$ e per $r Cosa sbaglio? Probabilmente non ho inteso bene il problema concettualmente..

edit:
tra le varie cose che ho pensato, e che poi però dai calcoli non mi torna, c'è che il lavoro compiuto sulla carica non dovrebbe limitarsi a quando questa è interna al conduttore (ovvero per $r_i

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Risposte

Lampo1089

4 feb 2022, 20:15

E' normale che l'integrale sia infinito, è il solito contributo dato dall'autoenergia di una carica puntiforme.
(edit: ciò non significa che il tuo risultato sia corretto )

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incomplete1993

4 feb 2022, 21:40

"Lampo1089":E' normale che l'integrale sia infinito, è il solito contributo dato dall'autoenergia di una carica puntiforme.
(edit: ciò non significa che il tuo risultato sia corretto )

ahaha che non fosse corretto l'avevo capito.
Cmq quello che principalmente non capisco è che il movimento della carica q non dovrebbe influenzare il comportamento delle cariche nel guscio sferico, essendo conduttore? e di conseguenza i campi elettrici e i potenziali?

L'idea che ho, dividendo tutto in tre zone, è:
I) per $r Ad agni modo, per muovere la singola carica puntiforme non mi sembra ci siano forze esterne da contrastare, quindi $L_1=0$?
II) per $r_i in tal caso non avrei che $L_2=q*(V(r_e)-V(r_i))$
III) per $r>r_e$: In questo caso per induzione si genera una carica -q sulla superficie esterna, e +q su quella interna, quindi nel complesso il guscio sferico non genera campo elettrico e nessuna forza esterna agisce sulla carica puntiforme? $L_3=0$

Non sono per niente convinto anche perchè il risultato non mi torna... ma non capisco cosa mi sfugge... BOOOOOOOH

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RenzoDF

5 feb 2022, 10:10

"incomplete1993":... Ho provato a risolverlo calcolandomi l'energia elettrostatica del sistema, ovvero: $U=\int 1/2*ε_0*E(r)^2dV$

Direi che ti conviene usare quella relazione per determinare direttamente la differenza fra l'energia associata al campo della carica puntiforme, in assenza e in presenza del guscio conduttore .

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incomplete1993

5 feb 2022, 14:08

"RenzoDF":[quote="incomplete1993"]... Ho provato a risolverlo calcolandomi l'energia elettrostatica del sistema, ovvero: $U=\int 1/2*ε_0*E(r)^2dV$

Direi che ti conviene usare quella relazione per determinare direttamente la differenza fra l'energia associata al campo della carica puntiforme, in assenza e in presenza del guscio conduttore . [/quote]

Cioè? in assenza del conduttore non sarebbe nulla l'energia della carica? (vedendola come il lavoro sprecato per muoverla da un punto infinito a un punto qualsiasi? non essendoci nessuna forza su di essa?)

Ad ogni modo, prendendo spunto da questo tuo suggerimento ho pensato che: essendo il lavoro che ci interessa l'opposto di quello che servirebbe per portare la carica puntiforme da infinito al centro del guscio, quando questa è fuori dal guscio, per induzione avremo una carica -q sul guscio esterno e carica opposta su quello interno. Andando quindi a calcolarmi l'energia elettrostatica di tale sistema:
$U=\int_(r_i)^oo 1/2*ε_0*E(r_i)^2dV - \int_(r_e)^oo 1/2*ε_0*E(r_e)^2dV$ mi ritrovo col risultato corretto dell'esercizio, però concettualmente non mi è ancora del tutto chiaro..

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RenzoDF

5 feb 2022, 14:12

Non hai letto bene la mia risposta.

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RenzoDF

5 feb 2022, 15:53

Soprassedendo per ora (e per mia "convenienza" ) sul discorso dell'autoenergia delle cariche puntiformi, quello che cercavo di suggerirti è che la differenza fra presenza e assenza del guscio sta nel fatto che il campo viene a cambiare, annullandosi, nel solo volume $V_g$ occupato dal guscio conduttore, di conseguenza con la sua presenza l'energia sarà inferiore della quantità

$\DeltaU= \int_(V_g) 1/2 ε_0 E(r)^2\ \text{d}V$

PS:

"incomplete1993":... in assenza del conduttore non sarebbe nulla l'energia della carica? (vedendola come il lavoro sprecato per muoverla da un punto infinito a un punto qualsiasi? non essendoci nessuna forza su di essa?)...

Certo, ma in questo caso non consideri la sua autoenergia (infinita, necessaria per la sua creazione), mentre non la trascuri andando ad integrare su tutto lo spazio la densità di energia, che ti porta di conseguenza ad ottenere un valore infinito.

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[Lampo1089]

E' normale che l'integrale sia infinito, è il solito contributo dato dall'autoenergia di una carica puntiforme.
(edit: ciò non significa che il tuo risultato sia corretto )

[incomplete1993]

"Lampo1089":E' normale che l'integrale sia infinito, è il solito contributo dato dall'autoenergia di una carica puntiforme.
(edit: ciò non significa che il tuo risultato sia corretto )

ahaha che non fosse corretto l'avevo capito.
Cmq quello che principalmente non capisco è che il movimento della carica q non dovrebbe influenzare il comportamento delle cariche nel guscio sferico, essendo conduttore? e di conseguenza i campi elettrici e i potenziali?

L'idea che ho, dividendo tutto in tre zone, è:
I) per $r Ad agni modo, per muovere la singola carica puntiforme non mi sembra ci siano forze esterne da contrastare, quindi $L_1=0$?
II) per $r_i in tal caso non avrei che $L_2=q*(V(r_e)-V(r_i))$
III) per $r>r_e$: In questo caso per induzione si genera una carica -q sulla superficie esterna, e +q su quella interna, quindi nel complesso il guscio sferico non genera campo elettrico e nessuna forza esterna agisce sulla carica puntiforme? $L_3=0$

Non sono per niente convinto anche perchè il risultato non mi torna... ma non capisco cosa mi sfugge... BOOOOOOOH

[RenzoDF]

"incomplete1993":... Ho provato a risolverlo calcolandomi l'energia elettrostatica del sistema, ovvero: $U=\int 1/2*ε_0*E(r)^2dV$

Direi che ti conviene usare quella relazione per determinare direttamente la differenza fra l'energia associata al campo della carica puntiforme, in assenza e in presenza del guscio conduttore .

[incomplete1993]

"RenzoDF":[quote="incomplete1993"]... Ho provato a risolverlo calcolandomi l'energia elettrostatica del sistema, ovvero: $U=\int 1/2*ε_0*E(r)^2dV$

Direi che ti conviene usare quella relazione per determinare direttamente la differenza fra l'energia associata al campo della carica puntiforme, in assenza e in presenza del guscio conduttore . [/quote]

Cioè? in assenza del conduttore non sarebbe nulla l'energia della carica? (vedendola come il lavoro sprecato per muoverla da un punto infinito a un punto qualsiasi? non essendoci nessuna forza su di essa?)

Ad ogni modo, prendendo spunto da questo tuo suggerimento ho pensato che: essendo il lavoro che ci interessa l'opposto di quello che servirebbe per portare la carica puntiforme da infinito al centro del guscio, quando questa è fuori dal guscio, per induzione avremo una carica -q sul guscio esterno e carica opposta su quello interno. Andando quindi a calcolarmi l'energia elettrostatica di tale sistema:
$U=\int_(r_i)^oo 1/2*ε_0*E(r_i)^2dV - \int_(r_e)^oo 1/2*ε_0*E(r_e)^2dV$ mi ritrovo col risultato corretto dell'esercizio, però concettualmente non mi è ancora del tutto chiaro..

[RenzoDF]

Non hai letto bene la mia risposta.

[RenzoDF]

Soprassedendo per ora (e per mia "convenienza" ) sul discorso dell'autoenergia delle cariche puntiformi, quello che cercavo di suggerirti è che la differenza fra presenza e assenza del guscio sta nel fatto che il campo viene a cambiare, annullandosi, nel solo volume $V_g$ occupato dal guscio conduttore, di conseguenza con la sua presenza l'energia sarà inferiore della quantità

$\DeltaU= \int_(V_g) 1/2 ε_0 E(r)^2\ \text{d}V$

PS:

"incomplete1993":... in assenza del conduttore non sarebbe nulla l'energia della carica? (vedendola come il lavoro sprecato per muoverla da un punto infinito a un punto qualsiasi? non essendoci nessuna forza su di essa?)...

Certo, ma in questo caso non consideri la sua autoenergia (infinita, necessaria per la sua creazione), mentre non la trascuri andando ad integrare su tutto lo spazio la densità di energia, che ti porta di conseguenza ad ottenere un valore infinito.