Lavoro di un corpo in rotazione

[ceciant]

Ciao a tutti! Ho questo problema:

Calcolare il lavoro fatto da forze esterne per mantenere un corpo esteso rigido in rotazione
attorno ad un asse fisso.

Io ho pensato di risolverlo così: innanzitutto ho supposto esistano delle forze di attrito tra l'asse e il corpo che ne provocano la decelerazione, e ho supposto che il problema mi chiedesse di calcolare il lavoro fatto da altre forze esterne per bilanciare questo attrito e mantenere il corpo a velocità costante. E' esatto?
Poi ho pensato di usare la formula

W= \int M d\phi

ma quali sono gli estremi entro i quali devo integrare? o scelgo io arbitrariamente di calcolarmi il lavoro ad esempio per un giro del corpo, quindi scegliendo come estremi 0 e 2\pi ? E comunque, anche risolto il problema degli estremi, diciamo che ho un momento esterno costante (per scelta mia).. a questo punto avrei
W= M 2\pi

dove M - M(forza d'attrito) = I \alpha che con \alpha = 0 (siccome voglio che il corpo si mantenga a velocità costante) diventa
M = M(forza d'attrito) (sempre supponendo che le forze di attrito siano costanti)

ma se non conosco il momento delle forze di attrito non so come andare avanti..

Grazie per l'aiuto!

[Sk_Anonymous]

Calcolare il lavoro fatto da forze esterne per mantenere un corpo esteso rigido in rotazione
attorno ad un asse fisso.

Se questo è il testo, è monco e sibillino.

L'asse di rotazione è un asse centrale di inerzia? E chi ti dice che tra l'asse e i suoi supporti ci sia attrito?

Se (ipotesi teorica!) l'asse di rotazione è un asse centrale di inerzia ( o "asse libero" di rotazione : conosci il concetto? ) , e se non ci sono forze di attrito nei supporti dell'asse, il lavoro che cerchi è nullo.. Una volta messo in rotazione un corpo rigido attorno a un asse centrale di inerzia, senza attrito nei supporti, esso permane in tale stato. Questo è comunque solo teorico.
Prendi la bici, mettila sottosopra col manubrio poggiato a terra, sicché la ruota anteriore sia libera. Dà un colpo alla ruota anteriore per metterla in rotazione : in teoria non dovrebbe fermarsi più. In pratica, l'attrito nel perno e l'attrito con l'aria dopo un po' la fanno fermare.

Ma se l'asse di rotazione non è asse centrale di inerzia, a maggior ragione non si può prescindere da quello che succede nei supporti.

Pensa per esempio a un disco sottile (come una moneta), avente un asse di rotazione materiale, saldato al disco e perpendicolare al suo piano, che supponiamo orizzontale per liberarci del peso (il supporto inferiore dell'asse reagisce al peso, e supponiamo che in tale supporto non vi sia attrito) , ma che non passi per il CM del disco. Questo asse è principale di inerzia per il punto del disco in cui lo attraversa, ma non è centrale di inerzia. L'asse di rotazione dista $d$ dal CM, quindi nel sistema rotante c'è una forza centrifuga $m\omega^2*d$ , che ha momento nullo rispetto all'asse di rotazione. La forza centrifuga non compie lavoro nella rotazione, essendo perpendicolare allo spostamento del CM.
Quindi "in teoria" non ci sarebbe lavoro di forze esterne neanche qui.
Ma in pratica, la forza centrifuga viene ad essere equilibrata da due forze, una per ogni supporto, che premono l'asse sui supporti, e se si tratta di un sistema "reale" si sviluppano forze di attrito anche notevoli (dipende da $\omega$ ovviamente) le quali producono lavoro resitente : il rotore perde energia cinetica e si ferma.

Ancora peggio siamo messi, nel caso che l'asse non sia neanche "principale di inerzia" . Questo è per esempio il caso in cui, nel disco di prima, l'asse sia montato non perfettamente a $90°$ rispetto al piano del disco, passi o non passi per il CM.

E tutto ciò senza tirare in ballo l'elasticità dell'albero , cioè considerandolo come perfettamente rigido. Con l'elasticità nascono altri fenomeni , e la cosa diventa più complessa, come sa chi studia la meccanica delle macchine. Ma qui non è il caso.

Perciò , il tuo quesito è sibillino, e non voglio pensare che chi lo ha proposto non abbia idea di che cosa voglia dire "dinamica di un rotore" .
Però, per poter rispondere, l'informazione è scarsa.