Lavoro della forza peso
Buonasera a tutti,
Studiando la dimostrazione, a partire dalla definizione di lavoro, che porta ad ottenere il lavoro della forza peso su un corpo puntiforme in caduta (libera), mi sono trovato di fronte ad un dubbio.
Abbiamo posto innanzitutto un S.R. (O,x,y) con versori \(\displaystyle \hat{i} \) e \(\displaystyle \hat{j} \) diretti lungo la direzione di x e y rispettivamente.
Il corpo di massa m si troverà ad una certa altezza iniziale \(\displaystyle h=y_i \) e arriverà all'altezza finale posta al suolo (\(\displaystyle y_f=0 \)).
Sappiamo che:
\(\displaystyle \vec{F} = -mg\hat{j} \)
e dovrebbe anche essere (ma è questo uno dei punti su cui non sono per niente sicuro):
\(\displaystyle d\vec{s} = -dy\hat{j} \)
Applicando la definizione di lavoro (\(\displaystyle W=\int_{S}^{} \vec{F} d \vec{s} \))si dovrebbe avere:
\(\displaystyle \int_{s}^{} \vec{F} d \vec{s} =\int_{y_i}^{y_f} mgdy=mg(y_f-y_i) \)
Inoltre, essendo \(\displaystyle y_f=0 \), si dovrebbe avere: \(\displaystyle W=-mgh \), che è un lavoro resistente e chiaramente non ha senso rispetto al problema considerato.
Probabilmente l'errore sta nel fatto che ho considerato lo spostamento come:
\(\displaystyle d\vec{x} = -dy\hat{j} \) quando in realtà dovrebbe essere \(\displaystyle d\vec{x} = dy\hat{j} \), come riporta la dimostrazione che ho segnato sugli appunti.
Non riesco però a capire il motivo per cui non possa essere \(\displaystyle -dy\hat{j} \), il che però porta ad una contraddizione, oppure dove si trovi l'errore che sicuramente sto commettendo.
Grazie infinite in anticipo!
Buona serata!
Studiando la dimostrazione, a partire dalla definizione di lavoro, che porta ad ottenere il lavoro della forza peso su un corpo puntiforme in caduta (libera), mi sono trovato di fronte ad un dubbio.
Abbiamo posto innanzitutto un S.R. (O,x,y) con versori \(\displaystyle \hat{i} \) e \(\displaystyle \hat{j} \) diretti lungo la direzione di x e y rispettivamente.
Il corpo di massa m si troverà ad una certa altezza iniziale \(\displaystyle h=y_i \) e arriverà all'altezza finale posta al suolo (\(\displaystyle y_f=0 \)).
Sappiamo che:
\(\displaystyle \vec{F} = -mg\hat{j} \)
e dovrebbe anche essere (ma è questo uno dei punti su cui non sono per niente sicuro):
\(\displaystyle d\vec{s} = -dy\hat{j} \)
Applicando la definizione di lavoro (\(\displaystyle W=\int_{S}^{} \vec{F} d \vec{s} \))si dovrebbe avere:
\(\displaystyle \int_{s}^{} \vec{F} d \vec{s} =\int_{y_i}^{y_f} mgdy=mg(y_f-y_i) \)
Inoltre, essendo \(\displaystyle y_f=0 \), si dovrebbe avere: \(\displaystyle W=-mgh \), che è un lavoro resistente e chiaramente non ha senso rispetto al problema considerato.
Probabilmente l'errore sta nel fatto che ho considerato lo spostamento come:
\(\displaystyle d\vec{x} = -dy\hat{j} \) quando in realtà dovrebbe essere \(\displaystyle d\vec{x} = dy\hat{j} \), come riporta la dimostrazione che ho segnato sugli appunti.
Non riesco però a capire il motivo per cui non possa essere \(\displaystyle -dy\hat{j} \), il che però porta ad una contraddizione, oppure dove si trovi l'errore che sicuramente sto commettendo.
Grazie infinite in anticipo!
Buona serata!
Risposte
essendo $dy<0$(la quota diminuisce),si ha $vecF cdot dvecs=-mgdy$
Grazie mille!!
Scusami se ti chiedo nuovamente, quindi se si ha che \(\displaystyle dy<0 \) i due "-" si eliminano in questo modo? Se si ha che la forza peso è pari a \(\displaystyle \vec{F}=-mg\hat{j} \) e anche che \(\displaystyle dy<0 \) non dovrei avere come argomento dell'integrale una quantità positiva?
E' quindi sbagliato considerare il vettore \(\displaystyle d\vec{s} \), diretto verso il basso (opposto quindi al versore \(\displaystyle \hat{j} \)), come \(\displaystyle d\vec{s}=-dy\hat{j} \)?
Scusami se ti chiedo nuovamente, quindi se si ha che \(\displaystyle dy<0 \) i due "-" si eliminano in questo modo? Se si ha che la forza peso è pari a \(\displaystyle \vec{F}=-mg\hat{j} \) e anche che \(\displaystyle dy<0 \) non dovrei avere come argomento dell'integrale una quantità positiva?
E' quindi sbagliato considerare il vettore \(\displaystyle d\vec{s} \), diretto verso il basso (opposto quindi al versore \(\displaystyle \hat{j} \)), come \(\displaystyle d\vec{s}=-dy\hat{j} \)?
proprio perchè $dvecs$ è diretto verso il basso e $dy<0$,si ha $dvecs=dy hat(j) $
Grazie mille!! Credo di aver capito più o meno dov'era il problema, anche se mi sto rendendo conto di avere probabilmente una lacuna sulla definizione di spostamento...
E' corretto definirlo come \(\displaystyle \Delta\vec{r}=\Delta x\hat{i}+\Delta y\hat{j}+\Delta z\hat{k} \), data la terna ortonormale \(\displaystyle \hat{i},\hat{j},\hat{k} \)?
Se quindi scriviamo \(\displaystyle d\vec{s}=dy\hat{j} \) non intendiamo "dy" come modulo, e quindi si deve trattare di una quantità positiva in ogni caso, e il verso sarà dato da \(\displaystyle \hat{j} \) o \(\displaystyle -\hat{j} \)? Cioè, in questo caso il fatto che sia rivolto verso il basso, non è già tutto contenuto nel "-" che poniamo davanti a \(\displaystyle dy\hat{j} \)?
Oppure intendiamo, con \(\displaystyle \Delta\vec{r}=\Delta x\hat{i}+\Delta y\hat{j}+\Delta z\hat{k} \), che ogni componente (\(\displaystyle \Delta y \) per esempio) dello spostamento può essere positiva o negativa ed è quello a determinare il verso del vettore e non il fatto che sia \(\displaystyle \hat{j} \) o \(\displaystyle -\hat{j} \)?
E' corretto definirlo come \(\displaystyle \Delta\vec{r}=\Delta x\hat{i}+\Delta y\hat{j}+\Delta z\hat{k} \), data la terna ortonormale \(\displaystyle \hat{i},\hat{j},\hat{k} \)?
Se quindi scriviamo \(\displaystyle d\vec{s}=dy\hat{j} \) non intendiamo "dy" come modulo, e quindi si deve trattare di una quantità positiva in ogni caso, e il verso sarà dato da \(\displaystyle \hat{j} \) o \(\displaystyle -\hat{j} \)? Cioè, in questo caso il fatto che sia rivolto verso il basso, non è già tutto contenuto nel "-" che poniamo davanti a \(\displaystyle dy\hat{j} \)?
Oppure intendiamo, con \(\displaystyle \Delta\vec{r}=\Delta x\hat{i}+\Delta y\hat{j}+\Delta z\hat{k} \), che ogni componente (\(\displaystyle \Delta y \) per esempio) dello spostamento può essere positiva o negativa ed è quello a determinare il verso del vettore e non il fatto che sia \(\displaystyle \hat{j} \) o \(\displaystyle -\hat{j} \)?
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