Lavoro con forza parametrica
Salve a tutti, avrei un problema con un esercizio di fisica sulle forze conservative e non conservative.
Ci ho provato davvero in tutti i modi (ovviamente tutti sbagliati) e non riesco a venirne a capo..
Una forza agente su un punto materiale che si muove nel piano \(\displaystyle xy \) è data da \(\displaystyle \overrightarrow{F}=(2y\widehat{i} + x^2\widehat{j}) N \), dove \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) sono in metri.
Si calcoli il lavoro compiuto dalla forza sul punto materiale quando si sposta lungo :
1) \(\displaystyle \mathcal{OAC} \) [Risultato: \(\displaystyle 125 J \)]
2) \(\displaystyle \mathcal{OBC} \) [Risultato: \(\displaystyle 50 J \)]
3) \(\displaystyle \mathcal{OC} \) [Risultato: \(\displaystyle 66.7 J \)]
Per calcolare il lavoro sul percorso \(\displaystyle \mathcal{OAC} \) ho pensato di fare:
\(\displaystyle W_{OAC} = W_{OA} + W_{AC} = (\overrightarrow{F_{OA}} * \Delta s) + (\overrightarrow{F_{AC}} * \Delta s) \)
Adesso dovrei sostituire ai valori \(\displaystyle xy \) della forza le coordinate del punto \(\displaystyle A \) ?
Ci ho provato davvero in tutti i modi (ovviamente tutti sbagliati) e non riesco a venirne a capo..
Una forza agente su un punto materiale che si muove nel piano \(\displaystyle xy \) è data da \(\displaystyle \overrightarrow{F}=(2y\widehat{i} + x^2\widehat{j}) N \), dove \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) sono in metri.
Si calcoli il lavoro compiuto dalla forza sul punto materiale quando si sposta lungo :
1) \(\displaystyle \mathcal{OAC} \) [Risultato: \(\displaystyle 125 J \)]
2) \(\displaystyle \mathcal{OBC} \) [Risultato: \(\displaystyle 50 J \)]
3) \(\displaystyle \mathcal{OC} \) [Risultato: \(\displaystyle 66.7 J \)]
Per calcolare il lavoro sul percorso \(\displaystyle \mathcal{OAC} \) ho pensato di fare:
\(\displaystyle W_{OAC} = W_{OA} + W_{AC} = (\overrightarrow{F_{OA}} * \Delta s) + (\overrightarrow{F_{AC}} * \Delta s) \)
Adesso dovrei sostituire ai valori \(\displaystyle xy \) della forza le coordinate del punto \(\displaystyle A \) ?
Risposte
La definizione di lavoro lungo una traiettoria $\gamma$ è
$\int_\gamma \vec F\cdot d\vec s$, dove l'integrale scritto qui ha significato di integrale curvilineo di seconda specie. Il simbolo di prodotto scalare messa in mezzo significa che devi prendere la componente di F parallela allo spostamento che stai considerando. Per l'additività dell'integrale di linea
$\int_\gamma F \cdot ds=\int_O^A F\cdot ds+\int_A^C F\cdot ds$ dove in F e ds sono ancora sottointesi i vettori. Ora nota che lungo OA lo spostamento è diretto verso l'alto, ovvero lungo il versore $\vec j$. Il prodotto scalare tra F e lo spostamento quindi, altro non è che la componente di F lungo la direzione j, ovvero F_j. Lungo AC, per ragioni analoghe, prenderai ovviamente F_i, cioè la componente lungo $\vec i$ di F. L'integrale lungo OAC diventa quindi
$\int_O^A x^2dy + \int_A^C 2ydx$
Finora non abbiamo fatto niente, abbiamo solo spezzato l'integrale curvilineo in due integrali (sempre curvilinei). Quello che ora converrebbe fare è esprimere x,y in funzione di un parametro, e applicare la definizione di integrale curvilineo.
Lungo OA si ha $x=0$ e $y=t$ per t che va da 0 a 5
Per la definizione di integrale curvilineo il pezzo su OA viene
$\int_O^A x^2 \dot(y) dt=\int_0^5 0dt=0$
Il risultato può sembrare strano, ma tieni conto che la componente j della forza dipende quadraticamente dalla posizione x, che è costantemente 0, quindi in realtà lungo OA non sta agendo nessuna forza!
Prova ora a parametrizzare da solo il pezzo di integrale lungo AC, per trovare il secondo pezzo...
$\int_\gamma \vec F\cdot d\vec s$, dove l'integrale scritto qui ha significato di integrale curvilineo di seconda specie. Il simbolo di prodotto scalare messa in mezzo significa che devi prendere la componente di F parallela allo spostamento che stai considerando. Per l'additività dell'integrale di linea
$\int_\gamma F \cdot ds=\int_O^A F\cdot ds+\int_A^C F\cdot ds$ dove in F e ds sono ancora sottointesi i vettori. Ora nota che lungo OA lo spostamento è diretto verso l'alto, ovvero lungo il versore $\vec j$. Il prodotto scalare tra F e lo spostamento quindi, altro non è che la componente di F lungo la direzione j, ovvero F_j. Lungo AC, per ragioni analoghe, prenderai ovviamente F_i, cioè la componente lungo $\vec i$ di F. L'integrale lungo OAC diventa quindi
$\int_O^A x^2dy + \int_A^C 2ydx$
Finora non abbiamo fatto niente, abbiamo solo spezzato l'integrale curvilineo in due integrali (sempre curvilinei). Quello che ora converrebbe fare è esprimere x,y in funzione di un parametro, e applicare la definizione di integrale curvilineo.
Lungo OA si ha $x=0$ e $y=t$ per t che va da 0 a 5
Per la definizione di integrale curvilineo il pezzo su OA viene
$\int_O^A x^2 \dot(y) dt=\int_0^5 0dt=0$
Il risultato può sembrare strano, ma tieni conto che la componente j della forza dipende quadraticamente dalla posizione x, che è costantemente 0, quindi in realtà lungo OA non sta agendo nessuna forza!
Prova ora a parametrizzare da solo il pezzo di integrale lungo AC, per trovare il secondo pezzo...
Ci provo! Dobbiamo parametrizzare questo integrale :
Nel tratto \(\displaystyle AC \) abbiamo componente \(\displaystyle y = 5 \) costantemente , mentre \(\displaystyle x \) varia da \(\displaystyle 0 \) a \(\displaystyle 5 \), quindi ponendo :
Allora possiamo riscrivere l'integrale come:
E risolvendo si ha:
Il risultato è corretto!! Finalmente ho capito come si fa! Ti ringrazio tantissimo!
Vediamo se ho capito bene svolgendo gli altri percorsi :
Il lavoro lungo il percorso \(\displaystyle OBC \) è dato da:
Nel tratto \(\displaystyle OB \) lo spostamento avviene sull'asse \(\displaystyle x \) quindi usiamo la componente \(\displaystyle \widehat{i} \) della forza, mentre nel tratto \(\displaystyle BC \) lo spostamento avviene sull'asse \(\displaystyle y \) e usiamo la componente \(\displaystyle \widehat{j} \) della forza, cioè :
Nel tratto \(\displaystyle OB \) abbiamo componente \(\displaystyle y = 0 \) costantemente , mentre \(\displaystyle x \) varia da \(\displaystyle 0 \) a \(\displaystyle 5 \), quindi ponendo :
Allora possiamo riscrivere l'integrale come:
Nel tratto \(\displaystyle BC \) abbiamo componente \(\displaystyle x = 5 \) costantemente , mentre \(\displaystyle y \) varia da \(\displaystyle 0 \) a \(\displaystyle 5 \), quindi ponendo :
Allora possiamo riscrivere l'integrale come:
Allora il lavoro totale nel percorso \(\displaystyle OBC \) sarà:
Sbagliato, il risultato è \(\displaystyle 50J \)..dove ho sbagliato?
Prova anche con il percorso diretto \(\displaystyle OC \):
Quindi, dobbiamo usare entrambe le direzioni quindi l'integrale dovrebbe essere del tipo:
Questo risulta, ma quello nel tratto \(\displaystyle OBC \) no..Sai spiegarmi perchè?
\(\displaystyle \int_A^C 2ydx \)
Nel tratto \(\displaystyle AC \) abbiamo componente \(\displaystyle y = 5 \) costantemente , mentre \(\displaystyle x \) varia da \(\displaystyle 0 \) a \(\displaystyle 5 \), quindi ponendo :
\(\displaystyle x = t \Rightarrow dx= t dt\)
Allora possiamo riscrivere l'integrale come:
\(\displaystyle \int_A^C 2ydx = \int_A^C 2yt dt = \int_0^5 2yt dt = \int_0^5 10t dt \)
E risolvendo si ha:
\(\displaystyle \int_0^5 10t dt = 10 \int_0^5 t dt = 125 J\)
Il risultato è corretto!! Finalmente ho capito come si fa! Ti ringrazio tantissimo!
Vediamo se ho capito bene svolgendo gli altri percorsi :
Il lavoro lungo il percorso \(\displaystyle OBC \) è dato da:
\(\displaystyle \int_\gamma F \cdot ds=\int_O^B F\cdot ds+\int_B^C F\cdot ds \)
Nel tratto \(\displaystyle OB \) lo spostamento avviene sull'asse \(\displaystyle x \) quindi usiamo la componente \(\displaystyle \widehat{i} \) della forza, mentre nel tratto \(\displaystyle BC \) lo spostamento avviene sull'asse \(\displaystyle y \) e usiamo la componente \(\displaystyle \widehat{j} \) della forza, cioè :
\(\displaystyle \int_O^B 2ydx + \int_B^C x^2dy \)
Nel tratto \(\displaystyle OB \) abbiamo componente \(\displaystyle y = 0 \) costantemente , mentre \(\displaystyle x \) varia da \(\displaystyle 0 \) a \(\displaystyle 5 \), quindi ponendo :
\(\displaystyle x = t \Rightarrow dx= t dt\)
Allora possiamo riscrivere l'integrale come:
\(\displaystyle \int_O^B 2ydx = \int_O^B 2yt dt = \int_0^5 2yt dt = \int_0^5 0t dt = 0 (J) \)
Nel tratto \(\displaystyle BC \) abbiamo componente \(\displaystyle x = 5 \) costantemente , mentre \(\displaystyle y \) varia da \(\displaystyle 0 \) a \(\displaystyle 5 \), quindi ponendo :
\(\displaystyle y = t \Rightarrow dy= t dt\)
Allora possiamo riscrivere l'integrale come:
\(\displaystyle \int_B^C x^2dy = \int_B^C x^2t dt = \int_0^5 25t dt = 25 \int_0^5 t dt = 312.5(J) \)
Allora il lavoro totale nel percorso \(\displaystyle OBC \) sarà:
\(\displaystyle W = W_{OB} + W_{BC} = 0 + 312.5 = 312.5 J \)
Sbagliato, il risultato è \(\displaystyle 50J \)..dove ho sbagliato?
Prova anche con il percorso diretto \(\displaystyle OC \):
Quindi, dobbiamo usare entrambe le direzioni quindi l'integrale dovrebbe essere del tipo:
\(\displaystyle \int_O^C 2y dy + \int_O^C x^2 dx = 66.7 J \)
Questo risulta, ma quello nel tratto \(\displaystyle OBC \) no..Sai spiegarmi perchè?
Credo proprio che si sbagli il libro...
Ah va beh 
ti ringrazio ancora tantissimo sei riuscito a farmi capire il procedimento con un solo post 
ti ringrazio ancora tantissimo sei riuscito a farmi capire il procedimento con un solo post
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