Lavoro compiuto da una forza
Salve, so che sembra banale e magari per molti di voi lo è, ma io non riesco a capire questo esercizio:
Un punto si sposta su un piano cartesiano dall'origine (0,0) al punto (2,-1) sotto l'azione di una forza F=5ux+7uy N.. calcolare il lavoro compiuto dalla forza.
Ora, io ho ragionato così:
Lo spostamento è dato all'ipotenusa di un triangolo rettangolo con altezza 1 e base 2, quindi vale sqrt(5), il modulo della forza vale sqrt(5^2+7^2)=8.6 N
Quindi 8.6×sqrt(5)=19.24 J
Perche il mio ragionamento è sbagliato? Io ho pensato che non conoscendo la natura della forza non posso sapere se è conservativa e quindi se il percorso compiuto dal punto modifichi o meno il lavoro compiuto, può essere giusto? E allora come si ragiona in questo caso?
Un punto si sposta su un piano cartesiano dall'origine (0,0) al punto (2,-1) sotto l'azione di una forza F=5ux+7uy N.. calcolare il lavoro compiuto dalla forza.
Ora, io ho ragionato così:
Lo spostamento è dato all'ipotenusa di un triangolo rettangolo con altezza 1 e base 2, quindi vale sqrt(5), il modulo della forza vale sqrt(5^2+7^2)=8.6 N
Quindi 8.6×sqrt(5)=19.24 J
Perche il mio ragionamento è sbagliato? Io ho pensato che non conoscendo la natura della forza non posso sapere se è conservativa e quindi se il percorso compiuto dal punto modifichi o meno il lavoro compiuto, può essere giusto? E allora come si ragiona in questo caso?
Risposte
Considera forza e spostamento come due vettori, e fanne il prodotto scalare: quello è il lavoro. Disegnali pure, forse capirai il tuo errore.
Diciamo che hai una forza F
$ vec(F) =F_x vec(i) +F_y vec(j) +F_z vec(k)$
e uno spostamento
$ dvec(r) =dx vec(i) +dy vec(j) +dz vec(k) =2 vec(i) -
vec(j) $
La tua forza è evidentemente $ vec(F)=5vec(i) +7 vec(j) $
Il problema è lo spostamento che evidentemente è rettilineo
$ (y-0)/(-1-0)=
(x-0)/(2-0) $
da cui hai $ y=-1/2x $
Parametrizziamo la retta come
$ vec(r) =(t, - 1/2t,0) $ con $ tin (0,2) $
Ora l'integrale è semplicissimo
$ int_(0)^(2) [5t, 7(-1/2t),0 "] (1,-1/2,0) dt$
Hai sbagliato perché forza e spostamento non hanno la stessa direzione
$ vec(F) =F_x vec(i) +F_y vec(j) +F_z vec(k)$
e uno spostamento
$ dvec(r) =dx vec(i) +dy vec(j) +dz vec(k) =2 vec(i) -
vec(j) $
La tua forza è evidentemente $ vec(F)=5vec(i) +7 vec(j) $
Il problema è lo spostamento che evidentemente è rettilineo
$ (y-0)/(-1-0)=
(x-0)/(2-0) $
da cui hai $ y=-1/2x $
Parametrizziamo la retta come
$ vec(r) =(t, - 1/2t,0) $ con $ tin (0,2) $
Ora l'integrale è semplicissimo
$ int_(0)^(2) [5t, 7(-1/2t),0 "] (1,-1/2,0) dt$
Hai sbagliato perché forza e spostamento non hanno la stessa direzione
Spostamento : $vecs = 2veci -vecj$ (supponiamo metri )
Forza : $ vecF = 5veci +7vecj$ (supponiamo N )
Il lavoro è : $L = vecF *vecs = F*s*cosalpha$ ( caso semplice di forza costante e spostamento rettilineo, che formano un angolo $alpha$ costante. Non devi integrare un bel niente)
Ma in componenti cartesiane è anche : $L = vecF*vecs = 5*2 -1*7 = 3 $
L' unità di misura del lavoro dipende da quelle della forza e dello spostamento. Finito.
SE moltiplichi il modulo della forza per il modulo dello spostamento , stai supponendo che forza e spostamento siano collineari. E non è cosí.
Forza : $ vecF = 5veci +7vecj$ (supponiamo N )
Il lavoro è : $L = vecF *vecs = F*s*cosalpha$ ( caso semplice di forza costante e spostamento rettilineo, che formano un angolo $alpha$ costante. Non devi integrare un bel niente)
Ma in componenti cartesiane è anche : $L = vecF*vecs = 5*2 -1*7 = 3 $
L' unità di misura del lavoro dipende da quelle della forza e dello spostamento. Finito.
SE moltiplichi il modulo della forza per il modulo dello spostamento , stai supponendo che forza e spostamento siano collineari. E non è cosí.
Be quel modo funziona in casi semplici, l'integrale sempre
E purtroppo per te il coseno devi averlo
E purtroppo per te il coseno devi averlo
No. Dati due vettori $vecu$ e $vecv$ , il loro prodotto scalare è per definizione :
$vecu*vecv = u*v* cos alpha$
quindi, si può (addirittura!) ricavare l’angolo tra essi da :
$cosalpha =(vecu*vecv)/(u*v) $
qui $u$ e $v$ sono la norma dei vettori. Se si ha modo di calcolare il prodotto scalare a numeratore, ad esempio mediante le componenti cartesiane, il gioco è fatto, si può trovare l’angolo tra i vettori.
$vecu*vecv = u*v* cos alpha$
quindi, si può (addirittura!) ricavare l’angolo tra essi da :
$cosalpha =(vecu*vecv)/(u*v) $
qui $u$ e $v$ sono la norma dei vettori. Se si ha modo di calcolare il prodotto scalare a numeratore, ad esempio mediante le componenti cartesiane, il gioco è fatto, si può trovare l’angolo tra i vettori.
Si è quanti calcoli fai.....
Scusate, il modulo di un vettore non è la radice quadrata della somma dei conponenti elevati al quadrato? Scusate per le lacune ma io pensavo valesse sempre questo. Ad esempio, dati i vettori s=2x-y e F=5x-7y, poi moltiplicando scalarmente avrei W= 10x-7y e facendo il modulo w=sqrt(100+49)=12,21 J, che viene addirittura diverso dal primo risultato che ho calcolato.. perché tutto ciò è sbagliato?
Perché se moltiplichi le componenti e non usi il coseno, vuol dire che sono paralleli, e non è il tuo caso.
I moduli si calcolano sempre in quel modo.
Se usi l'integrale ti risulta tutto più semplice
I moduli si calcolano sempre in quel modo.
Se usi l'integrale ti risulta tutto più semplice
facciamo un po' di chiarezza : dati due vettori $ vec(a)(a_x,a_y) $ e $ vec(b)(b_x,b_y) $ , la formula
$ vec(a )\cdot vec(b) =a_xb_x+a_yb_y $ vale in generale non solo quando i due vettori sono paralleli anche perchè in quel caso sarebbe anche inutile
quindi , come diceva Five , nel caso dell'esercizio il lavoro vale $3J$ se si suppone che lo spostamento sia rettilineo e quindi anch'esso rappresentabile per componenti
$ vec(a )\cdot vec(b) =a_xb_x+a_yb_y $ vale in generale non solo quando i due vettori sono paralleli anche perchè in quel caso sarebbe anche inutile
quindi , come diceva Five , nel caso dell'esercizio il lavoro vale $3J$ se si suppone che lo spostamento sia rettilineo e quindi anch'esso rappresentabile per componenti
"Kris979797":
Scusate, il modulo di un vettore non è la radice quadrata della somma dei conponenti elevati al quadrato? Scusate per le lacune ma io pensavo valesse sempre questo. Ad esempio, dati i vettori s=2x-y e F=5x+7y, poi moltiplicando scalarmente avrei W= 10x-7y e facendo il modulo w=sqrt(100+49)=12,21 J, che viene addirittura diverso dal primo risultato che ho calcolato.. perché tutto ciò è sbagliato?
Ma quanta confusione, tutti e due!
Prima di tutto, i vettori da te scritti nel primo post sono :
$vecF = 5 u_x + 7u_y = 5veci + 7vecj$
poiché $u_x$ ed $u_y$ non sono altro che i versori degli assi coordinati $x$ ed $y$, che ho chiamato con altri nomi $veci$ e $vecj$, ma comunque sempre versori sono!
E lo spostamento è :
$vecs = 2veci -vecj$
Sono giusti questi dati, vero? Non è quello che hai scritto tu, da me evidenziato in rosso. Da come hai scritto, sembra che lo spostamento e la forza siano funzioni di $x$ e di $y$ , e non è vero.
Adesso, il prodotto scalare dei due vettori è dato da :
$ vecF*vecs = 5*2 +7*(-1) = 3$ (questi sono $J$ , se le componenti della forza sono in $N$ e quelle dello spostamento sono in $m$)
e questo prodotto scalare non è altro che il lavoro della forza $vecF$ , che è costante in direzione, verso e modulo, per lo spostamento $vecs$ che pure è costante. Niente di più facile di cosí . Non è questa roba che hai scritto :
moltiplicando scalarmente avrei W= 10x-7y e facendo il modulo w=sqrt(100+49)=12,21 J
Questo W non è per nulla un prodotto scalare. Non è niente. Hai chiaro il concetto di prodotto scalare ? Non mi sembra.
Per concludere, Il lavoro richiesto è $3J$ Fine della favola.
A questo punto, l’esercizio è finito !
D’altronde, per aggiunta non richiesta, se vuoi conoscere i moduli dei vettori e il valore dell’angolo tra essi, devi procedere cosi:
1) sicuramente i moduli di $vecF$ e di $vecs$ si calcolano come radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti , quindi il modulo della forza vale (controlla) :
$F = sqrt(25 +49) = 8.6 (N)$
e quello dello spostamento vale : $s = sqrt(4+1) = 2.236 (m)$
2) ma il lavoro non è uguale al prodotto dei moduli , i due vettori formano un angolo $alpha$ tra loro. Per definizione, il lavoro è dato da :
$L = vecF*vecs = F*s*cosalpha $
e siccome abbiamo già calcolato il lavoro come prodotto scalare usando le componenti , possiamo trovare l’angolo tra i vettori scrivendo :
$cosalpha =(vecF*vecs)/ ( F*s) rarr cosalpha = 3/ (19.23) = 0.156 rarr alpha = 81º $
Ma ripeto, avendo le componenti cartesiane della forza e dello spostamento, molto semplici nel tuo caso perché costanti , per trovare il lavoro basta eseguire il prodotto scalare, nella maniera giusta . Non c’è nulla da integrare. Ti raccomando di approfondire i concetti base del calcolo vettoriale.
FYI , dà uno sguardo qui :
Chi svia sei tu
Lucacs,errare è umano, perseverare è diabolico
come ho già detto in un post precedente, il ragionamento fatto da Five è corretto: basta consultare un qualsiasi testo di fisica che tratti questo argomento
come ho già detto in un post precedente, il ragionamento fatto da Five è corretto: basta consultare un qualsiasi testo di fisica che tratti questo argomento
E vabbè e rettilineo, hai ragione.
Comunque fai l'integrale che ti abitui a calcoli che valgono sempre.
Comunque fai l'integrale che ti abitui a calcoli che valgono sempre.
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