Lavoro come differenza di potenziale

[tek85]

Come faccio a dimostrare che se un campo è conservativo, allora il lavoro lungo una curva del campo coincide esattamente con la differenza di potenziale nei punti estremi della curva?

[_luca.barletta]

parti dal fatto che in campo conservativo la circuitazione lungo una linea chiusa è nulla:

$L=oint vecF*vec(dr)=0$

quindi dovrà esistere una funzione delle sole coordinate spaziali (energia potenziale) tale che il lavoro elementare possa essere espresso come differenziale di tale funzione:

$dL=vecF*vec(dr)=-dE_p$

quindi

$L_(ArarrB)=int_A^BvecF*vec(dr)=-int_A^BdE_p=E_p(A)-E_p(B)$

[tek85]

Sì ma se suppongo che il lavoro lungo una curva chiusa sia nullo,parto già dal presupposto che il lavoro dipende da un afunzione della posizione (potenziale). E invece io voglio dimostrare proprio qst...

Perchè se un campo è conservativo allora posso solo dire che il lavoro che effettuo per spostare il punto di applicazione del campo tra 2 estremi è invariante rispetto al cammino persorso..ma non che il valore del lavoro è proprio dato dalla differenza della funzione potenziale! è diverso....io cercavo proprio questa dimostrazione.

[_luca.barletta]

"tek85":
Perchè se un campo è conservativo allora posso solo dire che il lavoro che effettuo per spostare il punto di applicazione del campo tra 2 estremi è invariante rispetto al cammino persorso..

è proprio questo il punto, se poni A=B cioè linea chiusa, hai L=0, e ne consegue tutto quello già scritto

[tek85]

Non mi convince... perchè se il campo non è conservativo puoi porre A=B ma il lavoro non è nullo! A=B non è da intendersi come punto di applicazione della forza che non si sposta...Il punto si sposta...
Inoltre calcolando un integrale di linea tra A(t1) e B(t2) t1,t2 istanti di tempo corrispondenti ai 2 punti della traiettoria, gli estremi di integrazione non sono uguali risolvendo l'integrale rispetto t.
Che ne dici?

[Fioravante Patrone1]

"tek85":
Perchè se un campo è conservativo allora posso solo dire che il lavoro che effettuo per spostare il punto di applicazione del campo tra 2 estremi è invariante rispetto al cammino persorso..ma non che il valore del lavoro è proprio dato dalla differenza della funzione potenziale! è diverso....io cercavo proprio questa dimostrazione.

Allora, detto un po' alla buona, tu sai che il lavoro dipende solo da punto di partenza e punto di arrivo.
Vediamo (alla buona, ci sono un po' di dettagli cui stare attenti, ma niente di straordinario) come si fa a provare che c'è un potenziale.

Il metodo è "costruttivo".
Fissi a tuo piacimento un punto $O$ che stia nell'insieme di definizione del tuo campo.
Dopo di che, definisci la seguente funzione:
$P(A) = int_O^A vecF*vec(dr)$

Dove l'integrale è esteso ad una qualunque curva che congiunge $O$ con $A$. L'ipotesi di indipendenza del lavoro dal cammino percorso ti permette di garantire che questa è una buona definizione.

Si tratta, a questo punto, di far vedere che il gradiente di $P$ è $vecF$

Ma questo è facile. Scegli una spezzata coi lati paralleli agli assi per congiungere $O$ ad $A$. A questo punto il risultato che desideri è conseguenza immediata del teorema fondamentale del calcolo integrale

[_luca.barletta]

"tek85":Non mi convince... perchè se il campo non è conservativo puoi porre A=B ma il lavoro non è nullo!

ma hai posto per ipotesi che il campo è conservativo