Lavoro associato a espansione irreversibile
Salve, ho un gas contenuto in un recipiente dotato di pistone mobile: perchè, se l'espansione del gas è irreversibile e avviene sotto la pressione esterna, il lavoro infinitesimo si calcola considerando appunto come pressione quella esterna? Cioè, perchè $dL=P_(est) * dV$?
Risposte
il lavoro fatto dal gas,supponiamo lavoro eseguito, è uguale al lavoro fatto dall'esterno(pressione esterna)
lavoro ceduto=lavoro acquistato
lavoro ceduto=lavoro acquistato
Perchè?
E' come se ho una macchina che viaggia a velocità costante su una strada rettilinea. La risultante delle forze applicata alla macchina, se questa viaggia a velocità costante, deve essere nulla, per cui il motore dell'auto deve fornire una forza costante che equilibra esattamente quella di attrito radente e viscoso. Dunque, il motore deve erogare un certo lavoro, dal momento che il punto di applicazione di tale forza varia continuamente. Ora, se la macchina viaggia a velocità costante allora, anche se non so qual è la forza erogata dal motore, posso calcolare benissimo il lavoro fatto dal motore sapendo quali sono le forze di attrito che si oppongono al moto; però, se la macchina accelera e io non so qual è la forza che il motore imprime alle ruote, io posso calcolare soltanto una parte del lavoro fatto dal motore, e cioè quello che contrasta le forze di attrito. Pero il lavoro corrispondente alla forza "extra" che permette l'accelerazione dell'auto, se non quanto vale tale forza, non lo posso calcolare.
Allo stesso modo, se il gas si espande irreversibilmente e io non conosco la pressione interna del gas, non capisco come faccio a calcolare il lavoro associato alla trasformazione; infatti, se considero soltanto la pressione esterna sul pistone, so solo la parte di lavoro fatta dal sistema per contrastare le forze che si oppongono all'espansione del pistone (forze esterne), però, se il pistone accelera nella risalita, calcolare il lavoro esatto è impossibile perchè non so la forza che il gas esercita sul pistone.
Gradirei spiegazioni più precise, grazie:)
Allo stesso modo, se il gas si espande irreversibilmente e io non conosco la pressione interna del gas, non capisco come faccio a calcolare il lavoro associato alla trasformazione; infatti, se considero soltanto la pressione esterna sul pistone, so solo la parte di lavoro fatta dal sistema per contrastare le forze che si oppongono all'espansione del pistone (forze esterne), però, se il pistone accelera nella risalita, calcolare il lavoro esatto è impossibile perchè non so la forza che il gas esercita sul pistone.
Gradirei spiegazioni più precise, grazie:)
"lisdap":
Allo stesso modo, se il gas si espande irreversibilmente e io non conosco la pressione interna del gas, non capisco come faccio a calcolare il lavoro associato alla trasformazione; infatti, se considero soltanto la pressione esterna sul pistone, so solo la parte di lavoro fatta dal sistema per contrastare le forze che si oppongono all'espansione del pistone (forze esterne), però, se il pistone accelera nella risalita, calcolare il lavoro esatto è impossibile perchè non so la forza che il gas esercita sul pistone.
Normalmente in questi problemi la massa del pistone e' considerata trascurabile, per cui il contributo della sua energia cinetica non conta.
Questo a meno che non si voglia risolvere qualche problema tipo calcolare l'oscillazione di un pistone di massa data che chiude un cilindro contenente gas etc.
Per cui per la formula che ti cruccia viene dalla conservazione dell'energia nel sistema totale (vabbe', nel solito contenitore grandissimo nel quale e' contenuto il sistema tale che le pareti "all'infinito" non contano
).
Allora, scusa se insisto ma non ci capiamo 
. Ci sono due modi per calcolare il lavoro associato all'espansione di un gas in un cilindro con pistone:
1) Se l'espansione è reversibile, io conosco istante per istante la pressione interna del gas, che è uguale a quella esterna; quindi, il lavoro infinitesimo $dL$ è: $dL=P*dV$, dove $P=P_i=P_(est)$;
2) Nel caso in cui l'espansione è irreversibile, io non conosco quali sono i valori della pressione interna del gas, quindi non potrò mai calcolare tutto il lavoro FATTO DAL GAS. Siccome però l'espansione avviene contro la pressione esterna, io posso soltanto calcolare una parte del lavoro fatto dal gas, e cioè quello fatto per contrastare la pressione esterna, cioè $dL=P_(est)*dV$. Quello che voglio dire è che in questo secondo caso io non posso calcolare tutto il lavoro fatto dal gas, perchè non conosco la sua pressione interna, ma posso soltanto dire che il lavoro minimo che il gas deve fare è quello necessario per vincere la pressione esterna.
Concludendo, dunque, nel primo caso io riesco a calcolare il lavoro completo fatto dal gas, mentre nel secondo caso riesco a calcolare soltanto una parte del lavoro fatto dal gas, non conoscendo la sua pressione interna.
. Ci sono due modi per calcolare il lavoro associato all'espansione di un gas in un cilindro con pistone:1) Se l'espansione è reversibile, io conosco istante per istante la pressione interna del gas, che è uguale a quella esterna; quindi, il lavoro infinitesimo $dL$ è: $dL=P*dV$, dove $P=P_i=P_(est)$;
2) Nel caso in cui l'espansione è irreversibile, io non conosco quali sono i valori della pressione interna del gas, quindi non potrò mai calcolare tutto il lavoro FATTO DAL GAS. Siccome però l'espansione avviene contro la pressione esterna, io posso soltanto calcolare una parte del lavoro fatto dal gas, e cioè quello fatto per contrastare la pressione esterna, cioè $dL=P_(est)*dV$. Quello che voglio dire è che in questo secondo caso io non posso calcolare tutto il lavoro fatto dal gas, perchè non conosco la sua pressione interna, ma posso soltanto dire che il lavoro minimo che il gas deve fare è quello necessario per vincere la pressione esterna.
Concludendo, dunque, nel primo caso io riesco a calcolare il lavoro completo fatto dal gas, mentre nel secondo caso riesco a calcolare soltanto una parte del lavoro fatto dal gas, non conoscendo la sua pressione interna.
"lisdap":
2) Nel caso in cui l'espansione è irreversibile, io non conosco quali sono i valori della pressione interna del gas, quindi non potrò mai calcolare tutto il lavoro FATTO DAL GAS. Siccome però l'espansione avviene contro la pressione esterna, io posso soltanto calcolare una parte del lavoro fatto dal gas, e cioè quello fatto per contrastare la pressione esterna, cioè $dL=P_(est)*dV$. Quello che voglio dire è che in questo secondo caso io non posso calcolare tutto il lavoro fatto dal gas, perchè non conosco la sua pressione interna, ma posso soltanto dire che il lavoro minimo che il gas deve fare è quello necessario per vincere la pressione esterna.
Non e' tanto il fatto che "non conosci" la pressione interna: e' proprio che non e' definita.
Immaginati una pressione locale che dipende da dove la misuri, sulla faccia interna del pistone, causata dalle molecole che urtano etc.: non puoi metterla nell'equazione del primo principio, per cosi' dire.
Pensa al pistone come al tuo sistema, che interagisce con l'ambiente esterno solo tramite il pistone.
Il lavoro compiuto dall'ambiente esterno invece e' ben definito ed e' [tex]-P_{ext} dV[/tex], laddove $V$ e' il volume del pistone.
Quindi quando il volume aumenta, il lavoro e' negativo, per cui l'ambiente lo riceve dal sistema (cilindro+gas+pistone).
Questo percio' e' per definizione il lavoro che il sistema "cede" all'ambiente. Non ci sono altre "fuoriuscite" di energia (se ho capito come e' fatto il sistema).
Non potendo definire la pressione interna (perche' sei fuori equilibrio), non puoi scrivere che per il primo principio [tex]P_{ext} dV = dU + p_{in} dV[/tex], e questo puo' ingenerare confusione, credo, perche' siamo tutti abituati a pensare in termini di [tex]d(energia \ interna) + p dV[/tex].
Credo che la questione stia in fondo tutta qui.
"yoshiharu":
[quote="lisdap"]
2) Nel caso in cui l'espansione è irreversibile, io non conosco quali sono i valori della pressione interna del gas, quindi non potrò mai calcolare tutto il lavoro FATTO DAL GAS. Siccome però l'espansione avviene contro la pressione esterna, io posso soltanto calcolare una parte del lavoro fatto dal gas, e cioè quello fatto per contrastare la pressione esterna, cioè $dL=P_(est)*dV$. Quello che voglio dire è che in questo secondo caso io non posso calcolare tutto il lavoro fatto dal gas, perchè non conosco la sua pressione interna, ma posso soltanto dire che il lavoro minimo che il gas deve fare è quello necessario per vincere la pressione esterna.
Non e' tanto il fatto che "non conosci" la pressione interna: e' proprio che non e' definita.
Immaginati una pressione locale che dipende da dove la misuri, sulla faccia interna del pistone, causata dalle molecole che urtano etc.: non puoi metterla nell'equazione del primo principio, per cosi' dire.
Pensa al pistone come al tuo sistema, che interagisce con l'ambiente esterno solo tramite il pistone.
Il lavoro compiuto dall'ambiente esterno invece e' ben definito ed e' [tex]-P_{ext} dV[/tex], laddove $V$ e' il volume del pistone.
Quindi quando il volume aumenta, il lavoro e' negativo, per cui l'ambiente lo riceve dal sistema (cilindro+gas+pistone).
Questo percio' e' per definizione il lavoro che il sistema "cede" all'ambiente. Non ci sono altre "fuoriuscite" di energia (se ho capito come e' fatto il sistema).
Non potendo definire la pressione interna (perche' sei fuori equilibrio), non puoi scrivere che per il primo principio [tex]P_{ext} dV = dU + p_{in} dV[/tex], e questo puo' ingenerare confusione, credo, perche' siamo tutti abituati a pensare in termini di [tex]d(energia \ interna) + p dV[/tex].
Credo che la questione stia in fondo tutta qui.[/quote]
Ciao, allora, innanzitutto ti ringrazio per la risposta. Quello che non capisco è proprio il perchè del fatto che la pressione interna del gas non è definita. Se l'espansione è irreversibile, il pistone comunque si alza, quindi agisce in ogni caso una forza (costante o variabile) su di esso. Non ho capito come fa a non essere definita la pressione interna del gas.
Allora, finalmente ho trovato la risposta, ne sono sicuro 
. Il pistone all'inizio ed alla fine dell'espansione è fermo, quindi la sua velocità iniziale e finale è nulla. Ciò significa che, per il teorema del lavoro e dell'energia cinetica, il lavoro totale delle forze che hanno agito sul pistone è nullo. Ora, le forze che agiscono sul pistone durante l'espansione sono due: la prima è una forza variabile e incognita, ed è esercitata dal gas; la seconda, invece, è una forza costante ed è esercitata dalla pressione atmosferica.
Quindi, si ha che il lavoro totale associato all'espansione è la somma del lavoro positivo fatto dal gas (che non sappiamo perchè non sappiamo l'espressione analitica della forza interna), e del lavoro negativo fatto dalla pressione esterna. Quindi $L_(gas)=L_(est)$, per cui $L=p_(est)*dV$.
E' giusto il ragionamento?
. Il pistone all'inizio ed alla fine dell'espansione è fermo, quindi la sua velocità iniziale e finale è nulla. Ciò significa che, per il teorema del lavoro e dell'energia cinetica, il lavoro totale delle forze che hanno agito sul pistone è nullo. Ora, le forze che agiscono sul pistone durante l'espansione sono due: la prima è una forza variabile e incognita, ed è esercitata dal gas; la seconda, invece, è una forza costante ed è esercitata dalla pressione atmosferica.Quindi, si ha che il lavoro totale associato all'espansione è la somma del lavoro positivo fatto dal gas (che non sappiamo perchè non sappiamo l'espressione analitica della forza interna), e del lavoro negativo fatto dalla pressione esterna. Quindi $L_(gas)=L_(est)$, per cui $L=p_(est)*dV$.
E' giusto il ragionamento?
si, si può ragionare anche così.
comunque la pressione costante non deve necessariamente essere atmosferica.
per quanto riguarda la trasformazione irreversibile, non puoi definire ISTANTE PER ISTANTE le proprietà del gas,proprio perchè la trasformazione non è quasi statica e non è reversibile.potrebbe essere, per esempio, che il pistone si alzi molto velocemente e quindi non c'è equilibrio termico/meccanico tra l'ambiente e il sistema.
comunque la pressione costante non deve necessariamente essere atmosferica.
per quanto riguarda la trasformazione irreversibile, non puoi definire ISTANTE PER ISTANTE le proprietà del gas,proprio perchè la trasformazione non è quasi statica e non è reversibile.potrebbe essere, per esempio, che il pistone si alzi molto velocemente e quindi non c'è equilibrio termico/meccanico tra l'ambiente e il sistema.
Ok, però non sono d'accordo con chi dice che in una trasformazione irreversibile la pressione del gas non è definita. Semmai non si può calcolare, ma esisterà sempre una pressione. Infatti, se l'espansione è tale, quindi se avviene molto rapidamente, il pistone in ogni caso si alza, e ciò significa che esisterà necessariamente una forza e quindi una pressione che agisce sul pistone. Tale forza, proprio per la velocità della trasformazione (si pensi allo fase di scoppio nella camera di combustione di un motore endotermico), avrà un'espressione matematica complicatissima, se non addirittura impossibile da determinare, per cui calcolare il lavoro fatto dal gas sulla base della conoscenza della pressione interna è praticamente impossibile. La forza generatasi nell'espansione, poi, sarà funzione non solo dello spostamento del pistone, ma anche del tempo, della conformazione del cilindro ecc... per cui è impossibile determinarne l'espressione analitica. Questo però per sottolineare che secondo me è sbagliato dire che in una trasformazione irreversibile la pressione non è definita, ma semplicemente ha un'espressione impossibile da ricavare.
"lisdap":
Ok, però non sono d'accordo con chi dice che in una trasformazione irreversibile la pressione del gas non è definita. Semmai non si può calcolare, ma esisterà sempre una pressione.
Aspetta: la pressione per come rientra nel primo principio non e' definita.
Pero' puoi ovviamente in linea di principio calcolare qual e' il momento trasferito a un corpo macroscopico a causa degli urti di tutte le particelle. In linea di principio dipendera' dalla posizione, dalla normale all'elemento di superficie sul quale le particelle impattano (quindi anche dalla direzione, e sara' in generale non isotropa), dal tempo, e magari anche da qualche interazione (nel caso generale), per cui potrebbe dipendere persino dalla velocita' (tanto per complicare
).Per cui, si', il gas nel cilindro esercita una forza sui corpi che "tocca", ma non puoi in generale definire una pressione come piace a tutti noi.
Forse si puo' fare una discretizzazione in certi casi, e trattare ogni volumetto come un sistema all'equilibrio, ma non so in che condizioni cio' e' possibile.
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