Lastra sottile su piano orizzontale
Buonasera a tutti ragazzi, Lunedì affronterò finalmente l'orale con il tanto "odiato" professore che vi ha rubato un po' del vostro tempo con esercizi un po' strani ( tipo la reazione di una fune che cade) 
. Sono qui innanzitutto per ringraziare tutte le persone che hanno cercato di aiutarmi nella preparazione di questo esame, veramente grazie di cuore per il tempo dedicatomi. Comunque, bando alle ciance, prima di Lunedì vorrei cercare di risolvere un esercizio che mi sta dando un po' di problemi, più che altro mi pare di aver trovato la strada giusta per risolverlo, ma non mi riesce di continuare. Allora, una lastra rettangolare di lati $ a $ e $ b $ molto sottile di trova su di un piano orizzontale liscio. Determinare l'inclinazione della forza $ F $ necessaria affinché il punto opposto al punto di applicazione della forza, ossia $ P $ , si metta in movimento in direzione parallela al lato $ b $. Allora io ho ragionato in questo modo: il centro di massa si metterà in moto (per la prima cardinale) nella stessa direzione in cui viene applicata la forza, quindi posso considerare il mio sistema di riferimento solidale al c.d.m del rettangolo e valutare l'accelerazione relativa di $ P $. Quindi, so che $ vec(a_P) = vec(a_G) + vec(a_r) $ con $ F || vec(a_G) $. Dove con $ vec(a_G) $ indico l'accelerazione del c.d.m, mentre con $ vec(a_r) $ l'accelerazione relativa del punto $ P $. Sì, è un altro dei suoi esercizi 
. C'è qualcuno che mi può aiutare a continuarlo? Grazie in anticipo. 
. Sono qui innanzitutto per ringraziare tutte le persone che hanno cercato di aiutarmi nella preparazione di questo esame, veramente grazie di cuore per il tempo dedicatomi. Comunque, bando alle ciance, prima di Lunedì vorrei cercare di risolvere un esercizio che mi sta dando un po' di problemi, più che altro mi pare di aver trovato la strada giusta per risolverlo, ma non mi riesce di continuare. Allora, una lastra rettangolare di lati $ a $ e $ b $ molto sottile di trova su di un piano orizzontale liscio. Determinare l'inclinazione della forza $ F $ necessaria affinché il punto opposto al punto di applicazione della forza, ossia $ P $ , si metta in movimento in direzione parallela al lato $ b $. Allora io ho ragionato in questo modo: il centro di massa si metterà in moto (per la prima cardinale) nella stessa direzione in cui viene applicata la forza, quindi posso considerare il mio sistema di riferimento solidale al c.d.m del rettangolo e valutare l'accelerazione relativa di $ P $. Quindi, so che $ vec(a_P) = vec(a_G) + vec(a_r) $ con $ F || vec(a_G) $. Dove con $ vec(a_G) $ indico l'accelerazione del c.d.m, mentre con $ vec(a_r) $ l'accelerazione relativa del punto $ P $. Sì, è un altro dei suoi esercizi . C'è qualcuno che mi può aiutare a continuarlo? Grazie in anticipo.
Risposte
"Soter":
……... Allora, una lastra rettangolare di lati $ a $ e $ b $ molto sottile di trova su di un piano orizzontale liscio. Determinare l'inclinazione della forza $ F $ necessaria affinché il punto opposto al punto di applicazione della forza, ossia $ P $ , si metta in movimento in direzione parallela al lato $ b $. Allora io ho ragionato in questo modo: il centro di massa si metterà in moto (per la prima cardinale) nella stessa direzione in cui viene applicata la forza…..
Ti accorgi che c'è una contraddizione ?
Effettivamente nella condizione data del disegno il punto di applicazione di $\vecF$ e $P$ sono gli estremi della diagonale, per cui la retta di azione della forza passa per il cdm, e quindi il moto sarà solo traslatorio, con $P$ e cdm che si spostano nella direzione iniziale di $\vecF$, con tutta la lamina.
Perciò P non potrà spostarsi nella direzione dell'asse $y$ .
Ma se vuoi che P si sposti nella direzione dell'asse $y$ , non può essere "quella" la direzione iniziale della forza!
Perciò, neanche inizialmente la retta d'azione di $\vecF$ può passare per il vertice opposto della diagonale.
Perciò, il testo non mi sembra molto chiaro, anzi, non mi sembra proprio corretto!
Che il punto P e il c.d.m si spostino nella stessa direzione è una tua mera invenzione Navigatore. Un semplice esempio per dimostrare che quanto ciò hai detto è errato è applicare la forza in una qualsiasi direzione; tuttii punti della lastra ruoteranno attorno ad un centro di istantanea rotazione comune, ma tutti i punti avranno velocità vettoriale istantanea in direzione differente. Sarà comune soltanto l'accelerazione angolare. Nel testo non c'è alcuna contraddizione
"Soter":
Che il punto P e il c.d.m si spostino nella stessa direzione è una tua mera invenzione Navigatore. Un semplice esempio per dimostrare che quanto ciò hai detto è errato è applicare la forza in una qualsiasi direzione; tuttii punti della lastra ruoteranno attorno ad un centro di istantanea rotazione comune, ma tutti i punti avranno velocità vettoriale istantanea in direzione differente. Sarà comune soltanto l'accelerazione angolare. Nel testo non c'è alcuna contraddizione
Per tua norma e regola, Soter, io non invento proprio niente. Mi attengo sempre a ciò che scrivete voi studenti, quando mettete gli esercizi, con testi e figure che a volte sono molto lungi dall'essere chiari.
Dalla figura che hai messo, e dal testo, io deduco che la forza è diretta secondo la diagonale, passando per P e quindi per il CDM della lamina. E in queste condizioni, ti ripeto che il moto della lamina non può che essere soltanto traslatorio.
La tua osservazione, è proprio quanto io cercavo di farti capire: per risolvere il problema la lamina deve non solo traslare ma anche rotare. E quindi la forza non può essere diretta secondo la diagonale.
La richiesta dell'esercizio è: "determinare l'inclinazione della forza F necessaria affinché il punto opposto al punto di applicazione della forza, ossia P , si metta in movimento in direzione parallela al lato b." Se la direzione della forza è da determinare, come fa ad essere diretta lungo la diagonale? Scusa per prima non volevo offenderti, dimentico sempre che scrivere sul forum non è come parlare dal vivo... fai conto che "e' una tua invenzione" te l'abbia detto con il sorriso in faccia
"Soter":
La richiesta dell'esercizio è: "determinare l'inclinazione della forza F necessaria affinché il punto opposto al punto di applicazione della forza, ossia P , si metta in movimento in direzione parallela al lato b." Se la direzione della forza è da determinare, come fa ad essere diretta lungo la diagonale? Scusa per prima non volevo offenderti, dimentico sempre che scrivere sul forum non è come parlare dal vivo... fai conto che "e' una tua invenzione" te l'abbia detto con il sorriso in faccia
A guardare la figura che hai postato, sembra di capire che $\vecF$ è allineato con la diagonale.
Allora, non lo è, non può esserlo, come abbiamo finalmente chiarito, altrimenti il moto sarebbe solo traslatorio.
Però il testo e il disegno avrebbero potuto essere più chiari.
Per esempio, avrebbe potuto dire semplicemente:
" …...affinché il vertice P si metta in movimento in direzione parallela al lato b….."
Infatti, il vertice P è un preciso punto geometrico fisso della lamina. Le forze non c'entrano con P.
La forza avresti dovuto disegnarla in una direzione qualsiasi.
Comunque….
Io scomporrei il vettore $F$ lungo la diagonale del rettangolo e la sua normale. La prima componente fa traslare il rettangolo, la secona la fa ruotare. Supponendo che la forza agisca in un tempo breve, giocando un po' con $F \tau = m dv$ e $M \tau = I d \omega$, si ottiene facilmente:
$tg \beta = {a}/{3 b}$,
dove $\beta$ è l'angolo fra la forza e la diagonale, s.e.e.o...
edit. forse così è meglio, avevo preso un momento d'inerzia sbagliato ..
$tg \beta = {a}/{3 b}$,
dove $\beta$ è l'angolo fra la forza e la diagonale, s.e.e.o...
edit. forse così è meglio, avevo preso un momento d'inerzia sbagliato ..
Ciao Arrigo, grazie della risposta. .. potresti farmi vederecome ci giochi?
Eh no, purtroppo :/
riprova...
Grazie mille per l'interesse ma non si vede molto bene... Speriamo che domani non mi chieda quest'esercizio
Beh, il disegnino dice da solo il 90%. Una volta calcolati $v_1$ e $v_2$, basta porre che il loro rapporto sia $b/a$, così la risultante delle due velocità è allineata col lato verticale del rettangolo...
Comunque, dimmi pure cosa non ti è chiaro, visto che domani hai l'esame ... non vorrei causarti dei danni...
Comunque, dimmi pure cosa non ti è chiaro, visto che domani hai l'esame ... non vorrei causarti dei danni...
Il mio problema è il calcolo delle velocità... Cioè, non riesco proprio a vedere i conti che hai fatto... Grazie della disponibilità comunque
$v_1 = {F_1}/{m} dt$ (si parte da fermi).
$\omega = {M}/{I} dt$ ($M$ è il momento della forza, $I$ è il momento d'inerzia del rettangolo).
$v_2 = \omega sqrt{a^2/4+b^2/4}$ ...
$\omega = {M}/{I} dt$ ($M$ è il momento della forza, $I$ è il momento d'inerzia del rettangolo).
$v_2 = \omega sqrt{a^2/4+b^2/4}$ ...
Si scompone $\bbF$ in due componenti parallele ai lati $\bbF_a$ e $\bbF_b$
Quindi si calcola l'accelerazione del punto $P$
Accelerazione parallela al lato $a$ dovuta a 1^ legge cardinale:
$\bba = \bbF_a/m$
Accelerazioni angolari dovute a 2^ legge cardinale
$1/(2I)(\bbF_ab + bbF_b a) $
di cui la componente parallela ad $a$ è
$-1/(2I)(\bbF_ab + bbF_b a) b/(\sqrt(a^2+b^2))$
La corrispondente accelerazione lineare è
$-1/(2I)(\bbF_ab + bbF_b a)b/2$
La somma delle due accelerazioni lineari (la componente parallela ad $a$) deve essere nulla.
$\bbF_a/m-b/(4I)(\bbF_ab + bbF_b a) = \bb0$
cioè
$\bbF_a [1/m-b^2/(4I)] = bbF_b (ab)/(4I) $
eccetera...
Quindi si calcola l'accelerazione del punto $P$
Accelerazione parallela al lato $a$ dovuta a 1^ legge cardinale:
$\bba = \bbF_a/m$
Accelerazioni angolari dovute a 2^ legge cardinale
$1/(2I)(\bbF_ab + bbF_b a) $
di cui la componente parallela ad $a$ è
$-1/(2I)(\bbF_ab + bbF_b a) b/(\sqrt(a^2+b^2))$
La corrispondente accelerazione lineare è
$-1/(2I)(\bbF_ab + bbF_b a)b/2$
La somma delle due accelerazioni lineari (la componente parallela ad $a$) deve essere nulla.
$\bbF_a/m-b/(4I)(\bbF_ab + bbF_b a) = \bb0$
cioè
$\bbF_a [1/m-b^2/(4I)] = bbF_b (ab)/(4I) $
eccetera...
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