Laplaciano e Gradiente
Ciao volevo chiedervi se sono la stessa cosa o meno il Laplaciano e il gradiente. Dove per gradiente si intende la sommatoria delle derivate parziali di una funzione a due o più variabili giusto?? ovvero:
\(\displaystyle \nabla f(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y} \)
Volevo anche sapere quale è il significato geometrico di tale espressione e per "autovalori del Laplaciano" cosa si intende?
Grazie !
\(\displaystyle \nabla f(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y} \)
Volevo anche sapere quale è il significato geometrico di tale espressione e per "autovalori del Laplaciano" cosa si intende?
Grazie !
Risposte
"repez":
Ciao volevo chiedervi se sono la stessa cosa o meno il Laplaciano e il gradiente. Dove per gradiente si intende la sommatoria delle derivate parziali di una funzione a due o più variabili giusto??
Ahem, no e no
Il Laplaciano (diciamo in uno spazio euclideo $n$-dimensionale piatto e blablabla) e' l'operatore
[tex]\Delta \doteq \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \cdots + \frac{\partial^2}{\partial x_n^2}[/tex]
Il gradiente e' invece l'operatore
[tex]\nabla \doteq (\frac{\partial}{\partial x_1},\dots,\frac{\partial}{\partial x_n})[/tex]
cioe' applicato a una funzione ti da' un vettore le cui componenti sono le derivate della funzione rispetto alle relative variabili.
Probabilmente ti ha tratto in inganno la scrittura (nota il punto)
[tex]\nabla \cdot \underline v(\underline x) \doteq \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \cdots + \frac{\partial v_n}{\partial x_n}[/tex]
che puo' essere visto come una sorta di "prodotto scalare" tra il vettore a componenti operatoriali [tex]\nabla[/tex] e il vettore funzione del punto [tex]\underline v(\underline x)[/tex]. Questa quantita' si chiama divergenza del campo vettoriale [tex]\underline v[/tex].
Volevo anche sapere quale è il significato geometrico di tale espressione
Precisamente di quale espressione?
e per "autovalori del Laplaciano" cosa si intende?
Gli autovalori di un qualsiasi operatore lineare $A$ sono (in soldoni) i numeri (ad esempio, complessi) $\lambda$ che risolvono l'equazione
[tex]A \underline u = \lambda \underline u[/tex]
per un qualche vettore [tex]\underline u[/tex] appartenente al dominio di $A$.
Grazie mille ! premetto che non sono uno studente ne di fisica ne di ingegneria ne di matematica ! e non ho mai studiato queste cose quindi non farti problemi a correggermi, è solo cosi che potrò trasformare la mia ignoranza in conoscenza. Comunque il gradiente dovrei aver capito:
esempio:
\(\displaystyle \nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}\right) \)
\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \) è la coordinata cartesiana \(\displaystyle x \) del vettore
\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial y} \) è la coordinata cartesiana \(\displaystyle y \) del vettore
giusto?
Quale potrebbe essere una potenziale applicazione pratica ?
Mentre il Laplaciano
\(\displaystyle \Delta f(x,y)=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \)
ovvero la sommatoria delle derivate parziali pure di secondo ordine delle variabili della funzione giusto?
Mentre la derivata totale è un' altra cosa ancora?
esempio:
\(\displaystyle \nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}\right) \)
\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \) è la coordinata cartesiana \(\displaystyle x \) del vettore
\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial y} \) è la coordinata cartesiana \(\displaystyle y \) del vettore
giusto?
Quale potrebbe essere una potenziale applicazione pratica ?
Mentre il Laplaciano
\(\displaystyle \Delta f(x,y)=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \)
ovvero la sommatoria delle derivate parziali pure di secondo ordine delle variabili della funzione giusto?
Mentre la derivata totale è un' altra cosa ancora?
Forse hai scritto male le formule. Riscrivo io.
a) Gradiente:
[tex]\nabla f(x,y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)[/tex]
Beh, ce ne sono millemila: se per esempio $f$ e' un potenziale il suo gradiente cambiato di segno e' la forza.
Ma il gradiente rientra anche nella fluidodinamica, nella conduzione del calore, etc.
E' un vettore che ti da' sostanzialmente informazioni su come varia una funzione nello spazio.
b) Laplaciano
[tex]\Delta f(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}[/tex]
Il laplaciano rientra in tantissime equazioni differenziali alle derivate parziali in fisica e in matematica. Rappresenta in genere un flusso di qualcosa (calore, particelle che si diffondono) ma si ritrova anche in elettrostatica, laddove il laplaciano del potenziale elettrico e' proporzionale alla densita' di carica (in quel caso il significato e' leggermente piu' "involuto").
Si', e' la derivata ordinaria rispetto a una variabile, solo tenendo conto che le altre variabili da cui dipende la funzione potrebbero dipendere dalla variabile su cui si integra. Per esempio se $f$ e' funzione sia della posizione che del tempo, la derivata rispetto al tempo potrebbe tenere conto del fatto che stiamo seguendo un punto materiale che si muove secondo una certa legge oraria.
In che ambito stai studiano queste cose?
a) Gradiente:
[tex]\nabla f(x,y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)[/tex]
Quale potrebbe essere una potenziale applicazione pratica ?
Beh, ce ne sono millemila: se per esempio $f$ e' un potenziale il suo gradiente cambiato di segno e' la forza.
Ma il gradiente rientra anche nella fluidodinamica, nella conduzione del calore, etc.
E' un vettore che ti da' sostanzialmente informazioni su come varia una funzione nello spazio.
b) Laplaciano
[tex]\Delta f(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}[/tex]
Il laplaciano rientra in tantissime equazioni differenziali alle derivate parziali in fisica e in matematica. Rappresenta in genere un flusso di qualcosa (calore, particelle che si diffondono) ma si ritrova anche in elettrostatica, laddove il laplaciano del potenziale elettrico e' proporzionale alla densita' di carica (in quel caso il significato e' leggermente piu' "involuto").
Mentre la derivata totale è un' altra cosa ancora?
Si', e' la derivata ordinaria rispetto a una variabile, solo tenendo conto che le altre variabili da cui dipende la funzione potrebbero dipendere dalla variabile su cui si integra. Per esempio se $f$ e' funzione sia della posizione che del tempo, la derivata rispetto al tempo potrebbe tenere conto del fatto che stiamo seguendo un punto materiale che si muove secondo una certa legge oraria.
In che ambito stai studiano queste cose?
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