Lagrangiana in un piano inclinato

[lorè91]

Ciao, ho un dubbio con un esercizio.
Una massa m può muoversi lungo un piano inclinato, sotto l'azione di della gravità e di una molla di costante elastica k, in assenza di attrito. Si scriva la lagrangiana , le equazioni di lagrange , gli integrali primi del moto.
il mio problema è
$L=T-V$
$T=1/2mv^2$
ma $V$ come lo scrivo? $V=1/2Kx^2$?
poi ho un dubbio : quali sono in questo caso gli integrali primi del moto? io ho letto sul libro che sono l'energia, il mometo della quantità di moto..però in questo esercizio ho diversi dubbi su come individurali,
grazie mille

[chrischris]

partiamo dal presupposto che devo ancora darla mecc razionale, però la sto preparando...
[tex]L = T - V[/tex] se indichi con [tex]x[/tex] lo spostamento lungo il piano inclinato, hai che il sistema ha un solo grado di libertà e va bè...
[tex]T = 1/2 m (v^2)[/tex], [tex]V = 1/2 k (x^2)[/tex] quindi puoi notare che [tex]L[/tex] non dipende esplicitamente dal tempo,quindi hai come integrale del moto [tex]H = T + V[/tex]
questo è l'unico integrale del moto che ti serve, perchè hai un sistema con un solo grado di libertà, quindi (se ti interessava di ridurre alle quadrature il problema di lagrange) basta usare un solo integrale primo (l'hamiltoniana)
per le equazioni di lagrange, lascio a te i processi di derivazione

comunque se ci pensi, invece di dire

quindi puoi notare che [tex]L[/tex] non dipende esplicitamente dal tempo

basta osservare che il sistema meccanico considerato è un sistema in cui agiscono solo forse conservative, quindi l'energia meccanica di tale sistema si conserva... (da notare che per sistemi conservativi l'hamiltoniana coincide con l'energia meccanica)

ciaoooo

[lorè91]

ciao, grazie di avermi risposto.
in un esercizio simile c'è solo una massa M che scivola sul piano inclinato sotto l'azione della gravità . come dati ho l'altezza H e l'angolo alfa del piano, come posso utilizzare questi dati? forse devo scrivere x utilizzando h ed alfa? ma quindi i gradi di libertà in questo caso sarebbere due?
Nell'esercizio di prima con la molla non dovrei esprimere l'energia potenziale anche come $mgh$. infatti io ho anche una massa M ?
grazie mille ,...!!!!

[chrischris]

Nell'esercizio di prima con la molla non dovrei esprimere l'energia potenziale

cacchio hai ragione, scusa me lo sono scordato, è un contributo da non dimenticare

in un esercizio simile c'è solo una massa M che scivola sul piano inclinato sotto l'azione della gravità

in questo caso hai un solo grado di libertà, anche se mi pare strano di classificare un esercizio del genere di meccanica razionale, dato che è un classico esercizio di fisica1 (non per ragionare a compartimento stagno, ma non c'è bisogno di scomodare la meccanica lagrangiana)

ciaooo