Lagrangiana di una particella molto veloce
Una particella di massa m è posta all'estremità libera di una molla (costante k, lunghezza a riposo nulla) vincolata nel punto O di una retta. Sapendo che k/m è circa 10^16 s^-2, scrivi la lagrangiana.
Dobbiamo affrontare il problema relativisticamente.
Io so che $ L=T-V $ con
$ V=kx^2/2 $ e $ T=(gamma-1)mc^2 $ .
Perchè non trovo alcuna corrispondenza con la formula della lagrangiana di una particella relativistica che sta in ogni dispensa del web e in ogni libro?
$ L=-mc^2sqrt(1-(x')^2/c^2) $
Dobbiamo affrontare il problema relativisticamente.
Io so che $ L=T-V $ con
$ V=kx^2/2 $ e $ T=(gamma-1)mc^2 $ .
Perchè non trovo alcuna corrispondenza con la formula della lagrangiana di una particella relativistica che sta in ogni dispensa del web e in ogni libro?
$ L=-mc^2sqrt(1-(x')^2/c^2) $
Risposte
Vado molto di fretta ora, forse stasera ho più tempo. Ce l'hai il libro di Goldstein,Poole, Safko " Classical mechanics" ?
Guarda il paragrafo 7.9 del cap. 7 , e in particolare il punto 2 The relativistic one-dimensional harmonic oscillator.
Prende in esame proprio una molla relativistica e ne scrive la lagrangiana :
$L = -mc^2sqrt(1-beta^2) - V $
dove al solito : $V = 1/2mx^2$
Se non hai il libro, vedrò di copiare qualche pagina .
Modifico il messaggio; in effetti penso che si possa scrivere K in quel modo, visto che $\gamma $ è funzione di $dotx=v$ . Applica le eq. di Eulero-Lagrange, c’è una sola coordinata generalizzata $x$ , vediamo che cosa viene fuori.
Però, questo significa che a quella espressione di K ci sei già arrivato per altra via... e allora? A che serve più la Lagrangiana scritta così?
Guarda il paragrafo 7.9 del cap. 7 , e in particolare il punto 2 The relativistic one-dimensional harmonic oscillator.
Prende in esame proprio una molla relativistica e ne scrive la lagrangiana :
$L = -mc^2sqrt(1-beta^2) - V $
dove al solito : $V = 1/2mx^2$
Se non hai il libro, vedrò di copiare qualche pagina .
Modifico il messaggio; in effetti penso che si possa scrivere K in quel modo, visto che $\gamma $ è funzione di $dotx=v$ . Applica le eq. di Eulero-Lagrange, c’è una sola coordinata generalizzata $x$ , vediamo che cosa viene fuori.
Però, questo significa che a quella espressione di K ci sei già arrivato per altra via... e allora? A che serve più la Lagrangiana scritta così?
Ho letto il paragrafo del goldstein (in inglese, purtroppo).
Quello sulla molla non chiarisce granchè.
Interessante quello che ho trovato sopra.
Dall'espressione dell'hamiltoniana si vede che T equivale a quello che ho scritto io.
Eppure giù mette una Lagrangiana che non mi spiego (tralasciando il potenziale che non ci interessa).
Ho applicato le eq. di Lagrange alla mia lagrangiana e mi viene fuori
$ [x''(1-beta^2)^1.5+x'^2x''(1-beta^2)^0.5/c^2]/(1-beta^2)^3=-k/mx $ . Dovrebbe essere corretta (a livello dimensionale mi pare tutto ok).
Quello sulla molla non chiarisce granchè.
Interessante quello che ho trovato sopra.
Dall'espressione dell'hamiltoniana si vede che T equivale a quello che ho scritto io.
Eppure giù mette una Lagrangiana che non mi spiego (tralasciando il potenziale che non ci interessa).
Ho applicato le eq. di Lagrange alla mia lagrangiana e mi viene fuori
$ [x''(1-beta^2)^1.5+x'^2x''(1-beta^2)^0.5/c^2]/(1-beta^2)^3=-k/mx $ . Dovrebbe essere corretta (a livello dimensionale mi pare tutto ok).
Ho fatto alcune ricerche in rete su "relativistic lagrangian" , trovando un bel po' di materiale
C'è anche un quesito come il tuo. Ma non ho verificato la tua soluzione. Poi , come risolvi l’equazione differenziale ottenuta? Una delle mie fonti riporta una soluzione per iterazioni successive, ora non ce l'ho sotto mano.
Viene anche chiarito che la lagrangiana relativistica si può scrivere in vari modi; ma , limitandoci al caso della particella libera (cioè, energia potenziale $V =0 $, e quindi : $L = T$ ) , la forma piu opportuna è :
$L = -mc^2sqrt(1-beta^2)$
Infatti , di qui si ottiene che la quantità di moto è espressa da : $ vecp = (\delL)/(\delvecv) = gammamvecv$
come deve essere , per definizione del momento generalizzato . E inoltre l'energia è data dall'hamiltoniana :
$H = vecp*vecv - L = gammamc^2$
questi risultati sono già noti dalla trattazione classica della RR . Trovi il dettaglio di quanto sopra in alcuni degli articoli che fanno parte della ricerca prima citata , in particolare il primo paragrafo di questo: http://fma.if.usp.br/~amsilva/Livros/Zw ... apter5.pdf
e questo : https://hepweb.ucsd.edu/ph110b/110b_notes/node65.html
Credo inoltre che questo articolo sia opera di W Rindler : http://home.thep.lu.se/~malin/LectureNo ... 16/SR7.pdf
Infine , se hai il volume di Landau Lifshitz :"Teoria dei campi" , che si trova anche in italiano, dà un'occhiata al capitolo 2º sulla meccanica relativistica, che tratta nei primi due paragrafi del principio di minima azione, e della definizione di energia ed impulso. Se non lo hai, ci penserò io.
Per inciso , ti segnalo un risultato importante : in RR , estremizzare l'azione, cioè renderla minima, per una particella libera da forze, significa massimizzare il tempo proprio ( lo ST è piatto, la geodetica descritta dalla particella libera è segmento di retta nel piano di Minkowski, se ci limitiamo a una sola dimensione spaziale) .
Cioe, Dati due eventi nello ST piatto , la geodetica temporale descritta da una particella che va dal primo al secondo evento è percorsa nel massimo tempo proprio ! Ogni altro tempo proprio, di una particella accelerata tra i due eventi, che quindi descrive una curva di universo non geodetica, è minore del tempo proprio anzidetto. Questo deriva dalla geometria dello ST piatto, che non è euclidea ma iperbolica.
E questo che cosa è ? Non è altro che il "paradosso dei gemelli " ! Il gemello A che rimane in quiete nel proprio riferimento inerziale iniziale, senza spostarsi nello spazio ma spostandosi nel tempo tra i due eventi Partenza (del fratello B) e Ritorno di B , accumula sul suo orologio un tempo proprio ; la sua geodetica è, se la visualizziamo con la mente, la più “diritta” possibile tra P e R; il gemello B si è spostato invece anche nello spazio 3D oltre che nel tempo; il suo percorso nello spaziotempo , che non è geodetico, per il principio sopra detto avviene in un tempo inferiore a quello di A , insomma alla fine B è più giovane di A . Colpa del principio di minima azione, che nello ST non euclideo della RR conduce a massimizzare il tempo proprio tra P e R solo se la linea di universo è geodetica, quindi un “ segmento di retta “ (lo ST in RR è piatto), che è la geodetica tra i due eventi. Scherzi del principio di minima azione, in una geometria non euclidea ma iperbolica.
C'è anche un quesito come il tuo. Ma non ho verificato la tua soluzione. Poi , come risolvi l’equazione differenziale ottenuta? Una delle mie fonti riporta una soluzione per iterazioni successive, ora non ce l'ho sotto mano.
Viene anche chiarito che la lagrangiana relativistica si può scrivere in vari modi; ma , limitandoci al caso della particella libera (cioè, energia potenziale $V =0 $, e quindi : $L = T$ ) , la forma piu opportuna è :
$L = -mc^2sqrt(1-beta^2)$
Infatti , di qui si ottiene che la quantità di moto è espressa da : $ vecp = (\delL)/(\delvecv) = gammamvecv$
come deve essere , per definizione del momento generalizzato . E inoltre l'energia è data dall'hamiltoniana :
$H = vecp*vecv - L = gammamc^2$
questi risultati sono già noti dalla trattazione classica della RR . Trovi il dettaglio di quanto sopra in alcuni degli articoli che fanno parte della ricerca prima citata , in particolare il primo paragrafo di questo: http://fma.if.usp.br/~amsilva/Livros/Zw ... apter5.pdf
e questo : https://hepweb.ucsd.edu/ph110b/110b_notes/node65.html
Credo inoltre che questo articolo sia opera di W Rindler : http://home.thep.lu.se/~malin/LectureNo ... 16/SR7.pdf
Infine , se hai il volume di Landau Lifshitz :"Teoria dei campi" , che si trova anche in italiano, dà un'occhiata al capitolo 2º sulla meccanica relativistica, che tratta nei primi due paragrafi del principio di minima azione, e della definizione di energia ed impulso. Se non lo hai, ci penserò io.
Per inciso , ti segnalo un risultato importante : in RR , estremizzare l'azione, cioè renderla minima, per una particella libera da forze, significa massimizzare il tempo proprio ( lo ST è piatto, la geodetica descritta dalla particella libera è segmento di retta nel piano di Minkowski, se ci limitiamo a una sola dimensione spaziale) .
Cioe, Dati due eventi nello ST piatto , la geodetica temporale descritta da una particella che va dal primo al secondo evento è percorsa nel massimo tempo proprio ! Ogni altro tempo proprio, di una particella accelerata tra i due eventi, che quindi descrive una curva di universo non geodetica, è minore del tempo proprio anzidetto. Questo deriva dalla geometria dello ST piatto, che non è euclidea ma iperbolica.
E questo che cosa è ? Non è altro che il "paradosso dei gemelli " ! Il gemello A che rimane in quiete nel proprio riferimento inerziale iniziale, senza spostarsi nello spazio ma spostandosi nel tempo tra i due eventi Partenza (del fratello B) e Ritorno di B , accumula sul suo orologio un tempo proprio ; la sua geodetica è, se la visualizziamo con la mente, la più “diritta” possibile tra P e R; il gemello B si è spostato invece anche nello spazio 3D oltre che nel tempo; il suo percorso nello spaziotempo , che non è geodetico, per il principio sopra detto avviene in un tempo inferiore a quello di A , insomma alla fine B è più giovane di A . Colpa del principio di minima azione, che nello ST non euclideo della RR conduce a massimizzare il tempo proprio tra P e R solo se la linea di universo è geodetica, quindi un “ segmento di retta “ (lo ST in RR è piatto), che è la geodetica tra i due eventi. Scherzi del principio di minima azione, in una geometria non euclidea ma iperbolica.
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