Lagrangiana di una particella in un campo elettromagnetico
Leggendo il Landau, teoria dei campi, introducendo il quadri potenziale elettromagnetico $(\Phi,A)$ mi dice (traducendo dall'inglese al volo): [...]Quello che risulta (riferendosi a risultati sperimentali) è che le propietà di una particella rispetto all'interazione di un campo elettromagnetico sono determinate unicamente da un singolo parametro: la carica $e$ della particella che può essere sia positiva, che negatica o nulla.
Le propietà del campo possono essere caratterizzate da un 4-vettore $A_i$, il quadri potenziale, le cui componenti sono coordinate della velocità e del tempo. Queste quantità appaiono nell'azione come
[tex]-\frac{e}{c}\int_a^b A_idx^i[/tex]
In questo modo abbiamo trovato che l'azione della particella sarà [tex]S=\int_a^b -mcds-\frac{e}{c} A_idx^i[/tex] e scrivendo $A_i=(\phi, A)$ otteniamo, ricordando che $ds=\frac{dt}{\gamma}$
[tex]S=\int_a^b \{-\frac{mc^2}{\gamma} -\frac{e}{c} A\cdot v- e\phi \}dt[/tex] ottenendo dunque [tex]L=-\frac{mc^2}{\gamma} -\frac{e}{c} A\cdot v- e\phi[/tex] e nell'approssimazione classica [tex]L=\frac{m}{2}v^2 -\frac{e}{c} A\cdot v- e\phi[/tex] [...]
veniamo dunque alla mia perplessità:
perchè posso scrivere al primo passaggio che il quadrimomento entra nell'azione come [tex]-\frac{e}{c}\int_a^b A_idx^i[/tex]? cioè su che base faccio questa considerazione - definizione?... Landau mi porge questo come una definizione praticamente, ma perchè?... quello che non capisco sono le motivazioni di questa scelta
Spero di essere stato sufficientemente chiaro nella mia domanda...
Grazie
Le propietà del campo possono essere caratterizzate da un 4-vettore $A_i$, il quadri potenziale, le cui componenti sono coordinate della velocità e del tempo. Queste quantità appaiono nell'azione come
[tex]-\frac{e}{c}\int_a^b A_idx^i[/tex]
In questo modo abbiamo trovato che l'azione della particella sarà [tex]S=\int_a^b -mcds-\frac{e}{c} A_idx^i[/tex] e scrivendo $A_i=(\phi, A)$ otteniamo, ricordando che $ds=\frac{dt}{\gamma}$
[tex]S=\int_a^b \{-\frac{mc^2}{\gamma} -\frac{e}{c} A\cdot v- e\phi \}dt[/tex] ottenendo dunque [tex]L=-\frac{mc^2}{\gamma} -\frac{e}{c} A\cdot v- e\phi[/tex] e nell'approssimazione classica [tex]L=\frac{m}{2}v^2 -\frac{e}{c} A\cdot v- e\phi[/tex] [...]
veniamo dunque alla mia perplessità:
perchè posso scrivere al primo passaggio che il quadrimomento entra nell'azione come [tex]-\frac{e}{c}\int_a^b A_idx^i[/tex]? cioè su che base faccio questa considerazione - definizione?... Landau mi porge questo come una definizione praticamente, ma perchè?... quello che non capisco sono le motivazioni di questa scelta
Spero di essere stato sufficientemente chiaro nella mia domanda...
Grazie
Risposte
Un criterio potrebbe essere che la lagrangiana deve essere invariante per trasformazioni di lorentz e al massimo quadratica nelle velocità, sennò ti produce delle equazioni del moto di ordine maggiore di due.
Grazie della risposta!
ok, questo può essere una buona pensata effettivamente uno usa il quadripotenziale al posto del "3+1" anche per quello
Ora rifletterò su un secondo pezzo, che inizio a buttarlo li: questo è l'unico modo di definire il potenziale nell'azione in modo che sia Lorentz - invariante o ce ne sarebbero altri, se ce ne fossero perchè si sceglie questo? una risposta potrebbe anche essere che se si guarda il caso classico e con forza bruta si scrivono le equazioni del moto usando Newton (sfruttando la forza di Lorentz) e le equazioni del moto usando il formalismo Lagrangiano - con l'equazione trovata prima - si ottengono le stesse cose e quindi siamo contenti, però come risposta non mi soddisfa: mi sembra di "bleffare"
ok, questo può essere una buona pensata effettivamente uno usa il quadripotenziale al posto del "3+1" anche per quello
Ora rifletterò su un secondo pezzo, che inizio a buttarlo li: questo è l'unico modo di definire il potenziale nell'azione in modo che sia Lorentz - invariante o ce ne sarebbero altri, se ce ne fossero perchè si sceglie questo? una risposta potrebbe anche essere che se si guarda il caso classico e con forza bruta si scrivono le equazioni del moto usando Newton (sfruttando la forza di Lorentz) e le equazioni del moto usando il formalismo Lagrangiano - con l'equazione trovata prima - si ottengono le stesse cose e quindi siamo contenti, però come risposta non mi soddisfa: mi sembra di "bleffare"
Secondo me si. E' l'unico modo per definire un'interazione che sia invariante, abbia le "dimensioni" giuste, e sia lineare nelle velocità. Però ad esempio potresti metterci anche $F_(\mu \nu) u^\mu u^\nu$ o anche $F^(\mu \nu) F_(\mu \nu) u^\mu u_\mu$. Non so dirti cosa succeda se lo fai sinceramente. Magari dopo se ho tempo ci guardo.
[off-topic]
"E' l'unico modo per definire un'interazione che sia invariante, abbia le "dimensioni" giuste, e sia lineare nelle velocità"
le odio queste frasi
[off-topic]
"E' l'unico modo per definire un'interazione che sia invariante, abbia le "dimensioni" giuste, e sia lineare nelle velocità"
le odio queste frasi
[off-topic]
Immagino che sia le virgolette di "dimensioni" a darti fastidio.......eheheh
Scherzi a parte, cosa intendi?
Scherzi a parte, cosa intendi?
niente è solo che non ho mai visto una dimostrazione di affermazioni di quel tipo
(ovviamente al livello in cui io ho studiato certe cose)
(ovviamente al livello in cui io ho studiato certe cose)
Riesumo questo topic perchè finalmente ora che sono alle soglie dell'esame, inizio, forse, a capire alcune cose
il buffo pezzo di lagrangiana dovuta all'interazione col campo che si introduce come [tex]-\frac{e}{c}\int A_{\mu}dx^{\mu}[/tex] trova la sua motivazione se noi guardiamo due fatti:
1. L'accordanza con i risultati sperimentali: Se noi scriviamo la lagrangiana in 3 dimensioni, ovvero come [tex]S= -\int \frac{mc^2}{\gamma} +\frac{e}{c}A\cdot v-e\phi dt[/tex], e variamo l'azione troviamo che [tex]\delta S= 0 \Leftrightarrow \frac{d}{dt}(m\gamma v)=eE+\frac{e}{c}v\wedge B[/tex] .
2. Il voler creare qualcosa Lorentz invariante (infatti scrivendo in modo esteso abbiamo [tex]S=-\int mc^2 +A_{\mu}u^{\mu} d\tau[/tex])
Poi ovviamente minimizzando l'azione in 4-d trovaiamo la forza di Lorentz nello spazio - tempo relativistico (ricordando che il gauge che si usa è quello di lorenz, essenziale se vogliamo scrivere le equazioni di maxwell ).
tirando le conclusioni. questa formulazione non è per forza l'unica, ma è quella che si accorda più facilemnet con i dati sperimentali e quindi è per questo che la si usa. Tutto questo In my opinion, cosa ne pensate?...
il buffo pezzo di lagrangiana dovuta all'interazione col campo che si introduce come [tex]-\frac{e}{c}\int A_{\mu}dx^{\mu}[/tex] trova la sua motivazione se noi guardiamo due fatti:
1. L'accordanza con i risultati sperimentali: Se noi scriviamo la lagrangiana in 3 dimensioni, ovvero come [tex]S= -\int \frac{mc^2}{\gamma} +\frac{e}{c}A\cdot v-e\phi dt[/tex], e variamo l'azione troviamo che [tex]\delta S= 0 \Leftrightarrow \frac{d}{dt}(m\gamma v)=eE+\frac{e}{c}v\wedge B[/tex] .
2. Il voler creare qualcosa Lorentz invariante (infatti scrivendo in modo esteso abbiamo [tex]S=-\int mc^2 +A_{\mu}u^{\mu} d\tau[/tex])
Poi ovviamente minimizzando l'azione in 4-d trovaiamo la forza di Lorentz nello spazio - tempo relativistico (ricordando che il gauge che si usa è quello di lorenz, essenziale se vogliamo scrivere le equazioni di maxwell
).tirando le conclusioni. questa formulazione non è per forza l'unica, ma è quella che si accorda più facilemnet con i dati sperimentali e quindi è per questo che la si usa. Tutto questo In my opinion, cosa ne pensate?...
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