Lagrangiana di un sistema
Salve a tutti,
desideravo porvi un quesito.
Studiando il testo di Meccanica Classica Goldstain (versione in Italiano) mi sono imbattuto nel seguente problema:
Sfruttando il fatto che le forze conservative generalizzate vengono scritte come meno il gradiente di un potenziale scalare V, arrivo alla definizione di Lagrangiana del sistema come L = T - V, dove T è l'energia cinetica del sistema e V il potenziale scalare.
Questo però non mi torna, in quanto so essere la lagrangiana la differenza tra l'energia cinetica del sistema e la sua energia potenziale e non il potenziale. Ho trovato su Wikipedia il fatto che a volte il potenziale viene associato all'energia potenziale, per cui i due possono anche confondersi. Quali sarebbero, se ci sono, questi casi?
Potreste illuminarmi un momento sulla questione, per favore?
Grazie davvero.
Distinti saluti e buona serata.
Enrico Catanzani
desideravo porvi un quesito.
Studiando il testo di Meccanica Classica Goldstain (versione in Italiano) mi sono imbattuto nel seguente problema:
Sfruttando il fatto che le forze conservative generalizzate vengono scritte come meno il gradiente di un potenziale scalare V, arrivo alla definizione di Lagrangiana del sistema come L = T - V, dove T è l'energia cinetica del sistema e V il potenziale scalare.
Questo però non mi torna, in quanto so essere la lagrangiana la differenza tra l'energia cinetica del sistema e la sua energia potenziale e non il potenziale. Ho trovato su Wikipedia il fatto che a volte il potenziale viene associato all'energia potenziale, per cui i due possono anche confondersi. Quali sarebbero, se ci sono, questi casi?
Potreste illuminarmi un momento sulla questione, per favore?
Grazie davvero.
Distinti saluti e buona serata.
Enrico Catanzani
Risposte
"Catanzani":
...e la sua energia potenziale e non il potenziale
Non mi risulta esserci nessuna differenza tra le due espressioni "energia potenziale" e "potenziale scalare". Se per potenziale scalare intendi la funzione il cui gradiente cambiato di segno ti dà la forza, allora quel potenziale è l'energia potenziale.
Probabilmente si riferisce al fatto che il gradiente del potenziale restituisce un campo (ad esempio il campo elettrico) mentre l'energia potenziale è "associata" ad una forza...
"caesar753":
Probabilmente si riferisce al fatto che il gradiente del potenziale restituisce un campo (ad esempio il campo elettrico)
Sì ma quel potenziale che dici tu non ha le dimensioni di un'energia e quindi non si potrebbe sottrarre all'energia cinetica, per cui non può esserci ambiguità in tal senso...
Scusami, ma potresti spiegarmi il perchè di questa uguaglianza?? Ora proprio non mi sovviene....
Se continuo ad aver capito la causa del tuo problema il fatto e' che il potenziale (inteso come divergenza di un campo conservativo) ti da' un'energia per unita' di massa/carica/altra roba : ad esempio il potenziale elettrico, espresso in volt, e' un'energia per unita' di carica, se poi vai a moltiplicare il potenziale di una distribuzione di carica per una carica (di prova) li' ottieni un'energia (l'energia di configurazione del sistema), allo stesso modo il potenziale gravitazionale di una massa ($\frac{G\ M}{r}$), e' un energia per unita' di massa (infatti, dimensionalmente, risulta essere J/kg).
Perche' della diversa definizione? perche' spesso risulta essere conveniente non legare il concetto fisica ad una carica/massa di prova: una distribuzione di carica ha quel potenziale indipendentemente dalla carica che uno gli mette vicino, chiaramentese gli si avvicina una carica da 0.0001 C o una da 1C l'energia di tutto il sistema cambiera', ma non il potenziale associato alla distribuzione di partenza ...
Perche' della diversa definizione? perche' spesso risulta essere conveniente non legare il concetto fisica ad una carica/massa di prova: una distribuzione di carica ha quel potenziale indipendentemente dalla carica che uno gli mette vicino, chiaramentese gli si avvicina una carica da 0.0001 C o una da 1C l'energia di tutto il sistema cambiera', ma non il potenziale associato alla distribuzione di partenza ...
"caesar753":
il potenziale (inteso come divergenza di un campo conservativo)
forse intendevi dire che il campo conservativo è (segno a parte) il gradiente del potenziale?
"Catanzani":
Scusami, ma potresti spiegarmi il perchè di questa uguaglianza?? Ora proprio non mi sovviene....
se ti riferisci al mio post, osserva che che "potenziale scalare" ed "energia potenziale" sono sinonimi e nn indicano due quantità diverse che in qualche caso sono uguali per cui non c'è nulla da dimostrare. Se la domanda invece è: "perché se un campo scalare ha per gradiente (cambiato di segno) la forza allora esso è l'energia potenziale?" allora la risposta è: per definizione di energia potenziale.
Se hai una forza conservativa, sai che il lavoro non dipende dal percorso ma solo dai punti A e B di partenza ed arrivo. QUesto ti garantisce che puoi definirti una funzione $U$ tale che $L_{AB}=-\Delta U$. Questa definizione, scritta in forma infinitesima, è $dL=-dU$ e poiché $dL=Fdx$ trovi $F=-\frac{dU}{dx}$. Questa relazione, generalizzata al caso tridimensionale, diventa
\(\displaystyle \vec F=-\vec \nabla U \)
Quindi dire che $U$ è l'energia potenziale o dire \(\displaystyle \vec F=-\vec \nabla U \), è la stessa cosa.
"mathbells":
[quote="caesar753"]il potenziale (inteso come divergenza di un campo conservativo)
forse intendevi dire che il campo conservativo è (segno a parte) il gradiente del potenziale?
[/quote]Maial, quanto l'ho sparata grossa ...
"caesar753":
Maial, quanto l'ho sparata grossa ...
...capita a tutti
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