Lagrangiana di Maxwell

Cicci23
Buongiorno a tutti. Sto preparando l'esame di relatività ristretta e non riesco a spiegarmi un passaggio.
Ho la seguente Lagrangiana di Maxwell:
$ L=1/(16pi)*F_(ab)*F^(ab)+J^b/c*A_b $
e devo ricavare le equazioni di Maxwell
$ del_a F^(ab)=-4pi/c*J^b $
attraverso le equazioni di Eulero-Lagrange
$ del_a (del L)/(del (del _aA_b))=(del L)/(del A_b) $
facendo la derivata al secondo membro trovo $ J^b/c $ , ma facendo la derivata al primo membro mi manca un 2: invece che ottenere $ -1/(4pi)*F^(ab) $ ottengo $ -1/(8pi)*F^(ab) $. Sapete spiegarmi perchè?
Grazie mille.

Risposte
alle.fabbri
Ciao,
ci sono un sacco di "posti" in cui puoi aver perso quel fattore $2$ che ti manca. Prova a postare un po' di passaggi che cerchiamo di capire insieme dove...

Cicci23
Sì allora ciò che ho trovato sul libro è questo:
$(del L)/(del (del _a A_b))=-1/(16pi)*del /(del (del _aA_b))[2del _a A_b F^(ab)+2F^(ab)del _aA_b ]=-1/(4pi)F^(ab) $
ma non riesco proprio a capire il primo passaggio.
Io ho pensato che comunque il secondo termine della Lagrangiana non dà contributo alla derivata rispetto $ del _a A_b $. Quindi per me verrebbe:
$ (del L)/(del (del _a A_b))=-1/(16pi)(del)/(del (del _a A_b))[(del ^aA^b-del ^bA^a)(del _aA_b-del _bA_a)]=-1/(16pi)(del)/(del (del _a A_b))[del^aA^bdel _aA_b-del^aA^bdel _bA_a-del ^bA^adel _aA_b+del^bA^adel _bA_a]=-1/(16pi)(del)/(del (del _a A_b))[del^aA^bdel _aA_b-del^bA^adel _aA_b-del^bA^adel _aA_b+del^aA^bdel _aA_b]=-1/(16pi)(del^aA^b-del ^bA^a-del ^bA^a+del ^aA^b)=-1/(16pi)(F^(ab)+F^(ab))=-1/(8pi)F^(ab) $
Non sono sicura che il secondo passaggio sia lecito... credo di aver fatto qualche errore stupido :) ma non capisco dove.
Grazie

alle.fabbri
Secondo me ti conviene procedere così.
Siccome
[tex]\displaystyle{ F_{ab}F^{ab} = \eta^{ac} \eta^{bd} F_{ab} F_{cd} }[/tex]
allora
[tex]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial (\partial_i A_j)} \left[ F_{ab}F^{ab} \right] = \frac{\partial}{\partial (\partial_i A_j)} \left[ \eta^{ac} \eta^{bd} F_{ab} F_{cd} \right] = \eta^{ac} \eta^{bd} \left[ \frac{\partial F_{ab}}{\partial (\partial_i A_j)} F_{cd} + F_{ab} \frac{\partial F_{cd}}{\partial (\partial_i A_j)} \right] = \left[ \frac{\partial F_{ab}}{\partial (\partial_i A_j)} F^{ab} + F^{cd} \frac{\partial F_{cd}}{\partial (\partial_i A_j)} \right] = 2 F^{ab} \frac{\partial F_{ab}}{\partial (\partial_i A_j)} }[/tex]
scopri quindi che in realtà tutto si riduce a calcolare
[tex]\displaystyle{ \frac{\partial F_{ab}}{\partial (\partial_i A_j)} }[/tex]
per definizione hai che
[tex]\displaystyle{ \frac{\partial ( \partial_a A_b )}{\partial (\partial_i A_j)} = \delta_a^i \delta_b^j}[/tex]
quindi
[tex]\displaystyle{ \frac{\partial F_{ab}}{\partial (\partial_i A_j)} = \frac{\partial }{\partial (\partial_i A_j)} \left[ \partial_a A_b - \partial_b A_a \right] = \delta_a^i \delta_b^j - \delta_b^i \delta_a^j }[/tex]
in conclusione
[tex]\displaystyle{ \frac{\partial L}{\partial (\partial_i A_j)} = \frac{1}{16\pi} 2 F^{ab} \left[ \delta_a^i \delta_b^j - \delta_b^i \delta_a^j \right] = \frac{1}{8\pi} \left[ F^{ij} - F^{ji} \right] = \frac{1}{4\pi} F^{ij} }[/tex]
come da copione. Ti torna?

Cicci23
Sì, ho capito. Torna :D . E' tutto molto più logico e formale della mia idea confusa :lol: .
Grazie mille :D

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