Lagrangiana delle piccole oscillazioni
Ciao a tutti 
nella risoluzione di un esercizio mi sfugge il perché di un certo passaggio.
Mi spiego meglio. Il problema in questione recita:
Si consideri un punto materiale di massa unitaria vincolato alla curva di equazione $ y=((a^2x^2)/2) + epsilon sin(omegat) $ nel piano verticale.
Scrivere la Lagrangiana del sistema e ricavare la soluzione del moto in approssimazione delle piccole oscillazioni al primo ordine perturbativo in $ epsilon $
$ x(t)=X_0(t)+epsilonX_1(t)+O(epsi^2) $ con condizione iniziale $ x(0)=x_0 $ e $ dotx(0)=0 $ nella forma ed escludendo la condizione di risonanza.
Ora, riesco a calcolarmi la lagrangiana di base (no piccole oscillazioni) che risulta essere $ L=dotx^2/2(1+a^4x^2)+a^2epsiomegadotx xcos(omegat)-ga^2x^2/2 $ nella quale ho trascurato le derivate totali rispetto al tempo.
Per scrivere quella in approssimazione delle piccole oscillazioni, trovo i punti stabili con $ (d(mgy))/dx=0 $ e ottengo $ x=0 $, quindi lo vado a sostituire nell'energia cinetica e nello sviluppo del potenziale al secondo ordine.
Insomma quando vado a controllare nella soluzione trovo che $ L=dotx^2/2+a^2epsiomegadotx xcos(omegat) -ga^2x^2/2 $ . Non mi spiego perche sopravvive quel pezzo $ a^2epsiomegadotx xcos(omegat) $. Non dovrebbe annullarsi a causa di x=0?
nella risoluzione di un esercizio mi sfugge il perché di un certo passaggio.Mi spiego meglio. Il problema in questione recita:
Si consideri un punto materiale di massa unitaria vincolato alla curva di equazione $ y=((a^2x^2)/2) + epsilon sin(omegat) $ nel piano verticale.
Scrivere la Lagrangiana del sistema e ricavare la soluzione del moto in approssimazione delle piccole oscillazioni al primo ordine perturbativo in $ epsilon $
$ x(t)=X_0(t)+epsilonX_1(t)+O(epsi^2) $ con condizione iniziale $ x(0)=x_0 $ e $ dotx(0)=0 $ nella forma ed escludendo la condizione di risonanza.
Ora, riesco a calcolarmi la lagrangiana di base (no piccole oscillazioni) che risulta essere $ L=dotx^2/2(1+a^4x^2)+a^2epsiomegadotx xcos(omegat)-ga^2x^2/2 $ nella quale ho trascurato le derivate totali rispetto al tempo.
Per scrivere quella in approssimazione delle piccole oscillazioni, trovo i punti stabili con $ (d(mgy))/dx=0 $ e ottengo $ x=0 $, quindi lo vado a sostituire nell'energia cinetica e nello sviluppo del potenziale al secondo ordine.
Insomma quando vado a controllare nella soluzione trovo che $ L=dotx^2/2+a^2epsiomegadotx xcos(omegat) -ga^2x^2/2 $ . Non mi spiego perche sopravvive quel pezzo $ a^2epsiomegadotx xcos(omegat) $. Non dovrebbe annullarsi a causa di x=0?
Risposte
A questo punto non dovrebbe annullarsi anche il potenziale, se quello che devi fare è sostituire il punto di equilibrio nella lagrangiana? Anche quello dipende da $x^2$. La lagrangiana delle piccole oscillazioni si calcola sviluppando in serie la lagrangiana completa attorno al punto di equilibrio all'ordine quadratico nelle variabili.
Rispetto alle variabili $x,dotx$ la lagrangiana è già sottoforma di polinomio, quindi hai poco da sviluppare, ma devi tenere l'ordine quadratico nelle variabili. Insomma l'addendo
$dotx^2x^2a^4$ non si annulla perchè imponi $x=0$ ma perchè $x^2dotx^2$ è un ordine quarto che devi trascurare. Noterai che il resto degli addendi sono anche tutti ordini quadratici $xdotx$, $x^2$, $dotx^2$.
Rispetto alle variabili $x,dotx$ la lagrangiana è già sottoforma di polinomio, quindi hai poco da sviluppare, ma devi tenere l'ordine quadratico nelle variabili. Insomma l'addendo
$dotx^2x^2a^4$ non si annulla perchè imponi $x=0$ ma perchè $x^2dotx^2$ è un ordine quarto che devi trascurare. Noterai che il resto degli addendi sono anche tutti ordini quadratici $xdotx$, $x^2$, $dotx^2$.
Perfetto, ti ringrazio tanto per l'aiuto. Non avevo proprio considerato la presenza di uno addendo di ordine 4 in $ x^2 dotx^2 $. Ora è tutto più chiaro
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