Lagrangiana

[delbi]

Ho dei dubbi su come determinare l'energia potenziale del seguente problema:
"Si considerino due masse uguali $m$ puntiformi costrette a muoversi lungo una guida rettilinea di massa trascurabile, vincolata a ruotare intorno all'origine del piano cartesiano $(x,y)$. Fra le due masse si esercita una forza elastica dipendente dal quadrato della loro distanza con costante elastica $k$.
Siano $(r_1,\phi_1)$ e$(r_2,\phi_2)$ le coordinate polari delle due masse.
Sfruttando la relazione tra $\phi_1$ e $\phi_2$, si chiami $\phi_1=\phi$ e si scriva la Lagrangiana $L(r_1,r_2,\phi,\dot r_1,\dot r_2,\dot \phi)$ e le corrispondenti equazioni di Eulero-Lagrange "

Il sistema è piano quindi l'energia potenziale gravitazionale è nulla...
\begin{cases} x_i(t)=r_i(t)cos[\phi(t)] \\ y_i(t)=r_i(t)sen[\phi(t)] \end{cases}
La distanza tra le masse in polari piane:
$R(t)=r_2(t)-r_1(t)$ quindi la forza sarà $F=kR^2$...l'energia potenziale sara una cosa del tipo $U=-kR^3/3$ ?...è corretto?

[professorkappa]

Cosi, senza una figura, e' difficle dirlo.
Comunque mi sembra corretto (a parte il segno meno).
Inserendo $\varphi_1$ e $\varphi_2$ dovrebbe venire un'espressione del tipo

$U=k/3*(r_1^2+r_2^2-2r_1r_2cos(\varphi_1-\varphi_2))^{3/2}$

[delbi]

Ok perfetto allora mi viene giusto...nel mio caso $\phi_1=\phi_2=\phi$ visto che le masse sono vincolate in una guida..quindi:
$U(r_1,r_2)=k/3(r_1^2+r_2^2-2r_1r_2)^(3/2)$

Ho altri dubbi su un altro problema:
"$(i)$Date le equazioni di Hamilton:
\begin{cases} \dot q=q+p \\ \dot p=q-p \end{cases}
si scriva l'Hamiltoniana $H(q,p)$ che le genera e si discuta qualitativamente il tipo di dinamica nello spazio delle fasi.
$(ii)$Si trovi la trasformazione canonica $(q,p) \to (Q,P)$ che diagonalizza l'Hamiltoniana trovata nel punto $(i)$"

Allora per il punto $i$ considero il differenziale di $H$:
$dH(q,p)=\partialq H dq +\partialp H dp=-\dot pdq + \dot qdp=(p-q)dq + (q+p)dp=d(pq+p2/2-q^2/2)$
da cui:
$H(q,p)=qp + p^2/2 - q^2/2$
Nel piano delle fasi corrispondono ad una famiglia di iperbole...cosa posso dire sulla dinamica?...che il moto non è periodico?
Per il punto $ii$ invece non so proprio come fare...consigli?

[professorkappa]

"delbi":Ok perfetto allora mi viene giusto...nel mio caso $\phi_1=\phi_2=\phi$ visto che le masse sono vincolate in una guida..quindi:
$U(r_1,r_2)=k/3(r_1^2+r_2^2-2r_1r_2)^(3/2)$

Ovviamente questo e' vero se la guida ruota attorno all'asse mantenendo uno dei suoi estremi puntato verso l'origine.
Se cosi non fosse, gli angoli dei raggi vettore di ognuna delle 2 masse non sarebbero uguali.

per l'Hamiltoniana, mi sembra corretta la prima parte, ma sono troppo arrugginito per confermare (e per il secondo quesito dovrei andarmi a rispolverare alcuni concetti, ma non ho libri di testo con me, son passati piu' di 20 anni). Ti consiglio di aprire un post separato e sicuramente qualcuno piu' fresco di me ti aiuta.