La superficie dell'acqua in rotazione
ciao a tutti,
ho un dubbio di natura matematica, ma estremamente legato ad un fenomeno fisico. potrei aver sbagliato sezione postando qui, chiedo scusa in tal caso.
consideriamo un secchio con dell'acqua dentro, facciamo ruotare il secchio attorno al suo asse con una velocità costante. raggiunto il regime stazionario, tutta la massa d'acqua ruota insieme al secchio e il profilo della superficie assume una forma matematica particolare.
http://einstein.stanford.edu/Library/images/newtonsBucket.jpg
l'esercizio è trovare la funzione che descrive appunto il profilo della superficie.
in primo luogo, data la simmetrica, sopprimiamo una delle due dimensioni perpendicolari all'asse di simmetria. ci riduciamo quindi a studiare una curva simile ad una U.
ogni elementino di acqua è soggetto alla forza centrifuga lungo x, e alla forza peso lungo y. dimenticando completamente la massa (al più, si consideri massa unitaria):
$\ddot{x} = \omega^2 x$
$\ddot{y} = -g$
chiamiamo $f(x)$ la curva che stiamo cercando.
il vettore tangente a $f(x)$ è $(1,f')$. quindi il vettore normale (non importa il verso) è $(f',-1)$.
in regime stazionario, la somma delle forze agenti su ogni elementino è nulla. quindi deve essere
$\ddot{x} = \omega^2 x = \alphaf'$
$\ddot{y} = -g = -\beta$
sto cioè dicendo che la forza lungo x è proporzionale alla componente x del vettore normale alla curva, quindi è $\alpha$-volte f'. analogamente per le y.
ora se faccio il rapporto tra le due equazioni:
$\frac{-g} {\omega^2 x} = \frac{-\beta} {\alphaf'}$
da cui:
$\frac{\alphaf'} {\beta} = \frac{\omega^2 x} {g}$
integrando:
$f(x) = \frac{\beta}{\alpha} \frac{\omega^2} {2g} x^2 + c$
dove c è la costante arbitraria che segue dall'integrazione.
il problema è che sono certo che il rapporto $\frac{\beta}{\alpha} = 1$. la curva è sensibile solo alla velocità angolare e all'accelerazione di gravità (su un altro pianeta, g sarebbe diversa, e quindi anche l'apertura della parabola). non è suscettibile a nessun'altro fattore, quindi quel rapporto deve darmi 1. ma come? come faccio ad affermare che sia 1?
grazie in anticipo per le risposte
ho un dubbio di natura matematica, ma estremamente legato ad un fenomeno fisico. potrei aver sbagliato sezione postando qui, chiedo scusa in tal caso.
consideriamo un secchio con dell'acqua dentro, facciamo ruotare il secchio attorno al suo asse con una velocità costante. raggiunto il regime stazionario, tutta la massa d'acqua ruota insieme al secchio e il profilo della superficie assume una forma matematica particolare.
http://einstein.stanford.edu/Library/images/newtonsBucket.jpg
l'esercizio è trovare la funzione che descrive appunto il profilo della superficie.
in primo luogo, data la simmetrica, sopprimiamo una delle due dimensioni perpendicolari all'asse di simmetria. ci riduciamo quindi a studiare una curva simile ad una U.
ogni elementino di acqua è soggetto alla forza centrifuga lungo x, e alla forza peso lungo y. dimenticando completamente la massa (al più, si consideri massa unitaria):
$\ddot{x} = \omega^2 x$
$\ddot{y} = -g$
chiamiamo $f(x)$ la curva che stiamo cercando.
il vettore tangente a $f(x)$ è $(1,f')$. quindi il vettore normale (non importa il verso) è $(f',-1)$.
in regime stazionario, la somma delle forze agenti su ogni elementino è nulla. quindi deve essere
$\ddot{x} = \omega^2 x = \alphaf'$
$\ddot{y} = -g = -\beta$
sto cioè dicendo che la forza lungo x è proporzionale alla componente x del vettore normale alla curva, quindi è $\alpha$-volte f'. analogamente per le y.
ora se faccio il rapporto tra le due equazioni:
$\frac{-g} {\omega^2 x} = \frac{-\beta} {\alphaf'}$
da cui:
$\frac{\alphaf'} {\beta} = \frac{\omega^2 x} {g}$
integrando:
$f(x) = \frac{\beta}{\alpha} \frac{\omega^2} {2g} x^2 + c$
dove c è la costante arbitraria che segue dall'integrazione.
il problema è che sono certo che il rapporto $\frac{\beta}{\alpha} = 1$. la curva è sensibile solo alla velocità angolare e all'accelerazione di gravità (su un altro pianeta, g sarebbe diversa, e quindi anche l'apertura della parabola). non è suscettibile a nessun'altro fattore, quindi quel rapporto deve darmi 1. ma come? come faccio ad affermare che sia 1?
grazie in anticipo per le risposte
Risposte
Non ho capito il ragionamento che fai con la normale...
Credo che tu voglia fare un ragionamento simile a questo.
Mettiamoci in un sistema di riferimento rotante abbiamo che sul liquido agisce una forza per unità di massa pari a
$((omega^2 x), (-g))$. I punti sulla superficie dell'acqua sono caratterizzati da avere tale forza ortogonale alla tangente al profilo della superficie.
I punti della superficie possono essere individuati dal vettore
$((x ), (f(x)))$
i vettori tangenti a tale profilo saranno pertanto
$k*((1 ), (f'(x)))$
con $k$ costante generica.
Imponendo la condizione di ortogonalità detta prima scrivo
$((omega^2 x), (-g)) *k((1),(f'(x)))=0$
(il $*$ indica prodotto scalare)
quindi
$k omega^2 x -kg f'(x)=0$
$f'(x)=omega^2 x/g$
da cui
$f(x)=\frac{omega x^2}{2g}+"cost"$
EDIT: Credo che il tuo ragionamento fosse lo stesso di questo hai solo fatto confusione con la condizione di ortogonalità, non ho capito bene cosa volevi imporre. Credo che comunque se hai colto questo puoi capire da solo cosa non ti tornava...
PS: E' interessante un approccio alternativo che si può fare ragionando col potenziale del campo di forze risultante dalla gravità più la forza centrifuga, imponendo che il profilo della superficie dell'acqua sia equipotenziale...
Credo che tu voglia fare un ragionamento simile a questo.
Mettiamoci in un sistema di riferimento rotante abbiamo che sul liquido agisce una forza per unità di massa pari a
$((omega^2 x), (-g))$. I punti sulla superficie dell'acqua sono caratterizzati da avere tale forza ortogonale alla tangente al profilo della superficie.
I punti della superficie possono essere individuati dal vettore
$((x ), (f(x)))$
i vettori tangenti a tale profilo saranno pertanto
$k*((1 ), (f'(x)))$
con $k$ costante generica.
Imponendo la condizione di ortogonalità detta prima scrivo
$((omega^2 x), (-g)) *k((1),(f'(x)))=0$
(il $*$ indica prodotto scalare)
quindi
$k omega^2 x -kg f'(x)=0$
$f'(x)=omega^2 x/g$
da cui
$f(x)=\frac{omega x^2}{2g}+"cost"$
EDIT: Credo che il tuo ragionamento fosse lo stesso di questo hai solo fatto confusione con la condizione di ortogonalità, non ho capito bene cosa volevi imporre. Credo che comunque se hai colto questo puoi capire da solo cosa non ti tornava...
PS: E' interessante un approccio alternativo che si può fare ragionando col potenziale del campo di forze risultante dalla gravità più la forza centrifuga, imponendo che il profilo della superficie dell'acqua sia equipotenziale...
ok grazie ho risolto
ragionavo in questo modo:
in regime stazionario, la risultante delle forze agente su ogni particella di fluido è nulla. in particolare le forze sulle particelle che formano la superficie del liquido devono essere controbilanciate da una forza ortogonale alla superficie stessa (questo proprio perchè tale superficie è equipotenziale). ho quindi trovato il vettore normale alla curva: $(f',-1)$.
posso quindi scomporre tale forza ortogonale alla superficie in due componenti proporzionali a $(f',-1)$, quindi $(\alpha f',-\beta1)$ è appunto tale forza normale alla superficie.
per stazionarietà, ho eguagliato forza centrifuga con la componente orizzontale di questa forza $\alpha f'$, e altrettanto per la forza peso con quella verticale (a rigore avrei dovuto eguagliare i moduli, ed essere più "severo" nei segni meno. ma questo è irrilevante ai fini di quel che volevo fare).
in questo modo, mi son ritrovato con le due eguaglianze:
$\omega^2 x = \alphaf'$
$-g = -\beta$
in cui compare solo f e x (e costanti). e bon... credevo che il gioco fosse fatto: bastava girare bene le due equazioni
il tuo approccio però è ben più chiaro, coerente e anche formale. oltre a permettere di evitare quegli $\alpha$ e $\beta$
si, so che si può imbastire un discorso che porta allo stesso risultato con argomenti più strettamente "fisici" (se vogliamo chiamarli così). però quanto esposto in questo thread era... un esercizio di matematica!
l'approccio quindi doveva necessariamente prevedere delle equazioni differenziali (o almeno una integrazione), altrimenti non avrebbe avuto senso affrontarlo in matematica
grazie per avermi illuminato
ragionavo in questo modo:
in regime stazionario, la risultante delle forze agente su ogni particella di fluido è nulla. in particolare le forze sulle particelle che formano la superficie del liquido devono essere controbilanciate da una forza ortogonale alla superficie stessa (questo proprio perchè tale superficie è equipotenziale). ho quindi trovato il vettore normale alla curva: $(f',-1)$.
posso quindi scomporre tale forza ortogonale alla superficie in due componenti proporzionali a $(f',-1)$, quindi $(\alpha f',-\beta1)$ è appunto tale forza normale alla superficie.
per stazionarietà, ho eguagliato forza centrifuga con la componente orizzontale di questa forza $\alpha f'$, e altrettanto per la forza peso con quella verticale (a rigore avrei dovuto eguagliare i moduli, ed essere più "severo" nei segni meno. ma questo è irrilevante ai fini di quel che volevo fare).
in questo modo, mi son ritrovato con le due eguaglianze:
$\omega^2 x = \alphaf'$
$-g = -\beta$
in cui compare solo f e x (e costanti). e bon... credevo che il gioco fosse fatto: bastava girare bene le due equazioni
il tuo approccio però è ben più chiaro, coerente e anche formale. oltre a permettere di evitare quegli $\alpha$ e $\beta$
si, so che si può imbastire un discorso che porta allo stesso risultato con argomenti più strettamente "fisici" (se vogliamo chiamarli così). però quanto esposto in questo thread era... un esercizio di matematica!
l'approccio quindi doveva necessariamente prevedere delle equazioni differenziali (o almeno una integrazione), altrimenti non avrebbe avuto senso affrontarlo in matematica
grazie per avermi illuminato
Bene allora! 
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