La funzione d'onda e la quadrato sommabilità

[pippos1]

Salve,

scopro solo ora questa parte di sito dedicata alla fisica, vorrei poter chiedere aiuto su qualcosa che non riesco a capire riguardo le mie dispense di metodi matematici per la fisica.
La domanda ha una naturale evoluzione dopo la risposta gentile di gugo82 qui: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 4&t=203162


Ora il mio dubbio verte più sulla parte fisica, avendo avuto conferma di quella matematica perché qualcosa non torna.

Siccome nel caso di pacchetto d'onda quantistico $\Psi\inL^2(RR)$ ($\Psi(x,t)=Ne^(i(kx-\omegat))$) il professore dice che è possibile avere una trasformata di Fourier (THM di Plancherel) e fin qui ci siamo sul teorema (a patto che valga l'ipotesi ed è qui che casca l'asino -io-).
Tuttavia il punto è che a me non risulta che $\Psi$ sia a quadrato sommabile, vedasi calcolo svolto nel link.

E' vero che $\Psi\inL^2((a,b))$ con a,b finiti (e nel pacchetto d'onda avrei estensione spaziale finita, quindi ci siamo); tuttavia Plancherel richiede per la "trasformabilità" che sia $\Psi\inL^2(RR)$ quindi non ci siamo.

Sono un po' confuso ragazzi. Spero davvero in un aiutone
Ringrazio-

[Sk_Anonymous]

Infatti quella $\Psi$ non è un pacchetto d'onda, è un'onda e basta (manca una funzione a moltiplicare che la localizzi e la faccia convergere ad esempio un opportuno esponenziale). Rappresenta un moto infinito, quindi è del tutto naturale che non appartenga ad $L^2$. Le funzioni d'onda dello spettro continuo non hanno le stesse relazioni di ortonormalità e completezza di quelle dello spettro discreto. Quindi hai due vie: o riscrivi il teorema spettrale (che poi è ciò che ti interessa) in termini di pacchetti d'onda (veri, non quello che hai scritto tu), che è il modo rigoroso di procedere, oppure dici alla matematica "guarda che c'è lì dietro!" e appena si gira esci un attimo dallo spazio delle funzioni e prendi in prestito la delta di Dirac (che è una distribuzione, quindi a rigore stai uscendo dalla trattazione dello spazio di Hilbert impostata precedentemente). In questo modo la relazione di ortonormalità tra autofunzioni diventa

$\int \psi_a^\star(x)\psi_b(x) dx=\delta(a-b)$

Certo, per $a=b$ l'asino rischia di cascare di nuovo, ma nello spettro continuo questa richiesta non ha senso fisico. Il principio di indeterminazioni mi dice che non ha nessun senso chiedersi cosa succede quando l'autovalore ha esattamente quel valore, ma solo la probabilità che tale valore cada in un dato intervallo. In questo senso la divergenza matematica viene "omessa" dal postulato fisico.

PS: Naturalmente che lì ci vada bene la delta si può vedere in pochi passaggi, non è calata dall'alto. Comunque nello spettro discreto c'era da delta di kronecker e tanto alla fisica quanto alla matematica piace una certa simmetria nelle cose.

PPS: Naturalmente l'integrale è esteso a tutto l'asse reale, in meccanica quantistica a meno che gli estremi non siano finiti si omettono intendendo questo significato.

PPPS: In realtà leggendo il link alla sezione di matematica mi pare di aver capito che non stai studiando quantistica, ma stai cercando di capire una frase buttata lì dal tuo prof di metodi matematici. Ti ho risposto supponendo che tu conoscessi un po' di concetti di base, quindi magari potrebbe non esserti molto chiara la spiegazione. Resta il fatto che quella particolare funzione che hai scritto (che non è un pacchetto d'onda) per essere utilizzata come oggetto fisico non può essere "infilata a forza" in $L^2$ ma è necessario sfruttare quella proprietà della delta al fine di continuare a mantenere una relazione tra funzione d'onda e probabilità.

[pippos1]

Sì diciamo che avendomi incuriosito ho un po' indagto/approfondito di mio quindi ho capito i concetti che hai scritto (li avevo già un po' rielaboati gli scorsi giorni). Forse non a fondo, ma credo di aver afferrato il concetto, sei stato uitle.