La curva di caccia
Una lepre (finta) descrive,a velocita' costante v,una
circonferenza di centro A e raggio AB=a. Un cane (vero)
parte da A nel medesimo istante in cui la lepre parte da B,
con la medesima velocita' v e puntando costantemente la lepre.
Provare che il cane agguantera' la lepre ,calcolando
il tempo occorrente a cio' ed il tipo di traiettoria seguita
dal cane.
karl
circonferenza di centro A e raggio AB=a. Un cane (vero)
parte da A nel medesimo istante in cui la lepre parte da B,
con la medesima velocita' v e puntando costantemente la lepre.
Provare che il cane agguantera' la lepre ,calcolando
il tempo occorrente a cio' ed il tipo di traiettoria seguita
dal cane.
karl
Risposte
Beh, spero che quelle lettere in grassetto non siano dei vettori, ma il modulo dei medesimi.
In MathMl un vettore si scrive come $vec(v)$.
Almeno io faccio cosi':non credo quindi ci sia ambiguita'
(che d'altra parte non puo' sorgere per i punti A e B e per il raggio AB !!)
karl
Almeno io faccio cosi':non credo quindi ci sia ambiguita'
(che d'altra parte non puo' sorgere per i punti A e B e per il raggio AB !!)
karl
Velocemente ci provo.
Allora il cane sicuramente arriverà alla lepre, dato che basta che dopo un istante t abbia percorso una distanza radiale pari ad $a$. Infatti dovendo seguire sempre la lepre, condizione necessaria è che istante per istante la velocità angolare dei due sia la stessa. SI ha:
${(r=v_rt),(\theta=\omegat=v/a t):}=>r^2=v_r^2/v^2\theta^2={v^2-v_{\theta}^2}/v^2\theta^2={v^2-\omega^2r^2}/v^2\theta^2={v^2-v^2/a^2r^2}/v^2\theta^2=(1-r^2/a^2)\theta^2=>r(\theta)=a\sqrt{1-1/{1+\theta^2}}$
In essetti si nota da questa espressione che il cane non arriverà mai a tempi finiti ad una distanza pari ad $a$ dal punto $A$. Infatti:
$\lim_{\theta\to+\infty}a\sqrt{1-1/{1+\theta^2}}=a$
Quindi solo in questo caso il cane puo raggiungere la lepre.
Dalla seconda relazione del sistema si nota quindi, che essendo $\omega$ costante, anche il tempo diverge ad infinito.
Tutto ciò se ho capito bene il problema...
Allora il cane sicuramente arriverà alla lepre, dato che basta che dopo un istante t abbia percorso una distanza radiale pari ad $a$. Infatti dovendo seguire sempre la lepre, condizione necessaria è che istante per istante la velocità angolare dei due sia la stessa. SI ha:
${(r=v_rt),(\theta=\omegat=v/a t):}=>r^2=v_r^2/v^2\theta^2={v^2-v_{\theta}^2}/v^2\theta^2={v^2-\omega^2r^2}/v^2\theta^2={v^2-v^2/a^2r^2}/v^2\theta^2=(1-r^2/a^2)\theta^2=>r(\theta)=a\sqrt{1-1/{1+\theta^2}}$
In essetti si nota da questa espressione che il cane non arriverà mai a tempi finiti ad una distanza pari ad $a$ dal punto $A$. Infatti:
$\lim_{\theta\to+\infty}a\sqrt{1-1/{1+\theta^2}}=a$
Quindi solo in questo caso il cane puo raggiungere la lepre.
Dalla seconda relazione del sistema si nota quindi, che essendo $\omega$ costante, anche il tempo diverge ad infinito.
Tutto ciò se ho capito bene il problema...
Questa dovrebbe essere la traiettoria seguita dal cane:
"cavallipurosangue":
Velocemente ci provo.
Allora il cane sicuramente arriverà alla lepre, dato che basta che dopo un istante t abbia percorso una distanza radiale pari ad $a$. Infatti dovendo seguire sempre la lepre, condizione necessaria è che istante per istante la velocità angolare dei due sia la stessa..
Per "inseguire la lepre" credo si intenda che il vettore velocità è diretto nel punto in cui stà la lepre, che è diverso dal dire che A, lepre e cane sono sempre allineati (ovvero considerare le due velocità angolari attorno ad A uguali) ...
io per ora ho provato a scrivere il tutto in coordinate polari, ma mi viene un sistema di equazioni differenziali che non so ancora come risolvere
Penso invece che Cavalli abbia ragione:cane e lepre allineati
con A e con eguale velocita' angolare.Solo cosi' la velocita' radiale
del cane "punta" sempre verso la lepre.
La condizione che si deve verificare e' che,istante per istante ,siano
uguali gli archi che ciascun animale descrive sulla propria traiettoria
(dato che le velocita' sono uguali in modulo)
ed il problema sara' risolto se le due traiettorie avranno un punto in comune.
Intuitivamente quanto precede e' valido se il cane ha per traiettoria
la semicirconferenza di diametro AL ,dove AL e' il raggio della
circonferenza descritta dalla lepre e perpendicolare ad AB
( lascio a voi dimostrare che per tale curva sono soddisfatte le condizioni
di allineamento e dell'uguaglianza degli archi).
Con maggior rigore si tratta di imporre la condizione:
$sqrt(dot(r)^2+r^2*dot(theta)^2)=v$
La soluzione di questa equazione differenziale e'
$r=asintheta$
E passando a coordinate cartesiane:
$x^2+y^2-ay=0$
che rappresenta la semicirconferenza di cui prima.
karl
con A e con eguale velocita' angolare.Solo cosi' la velocita' radiale
del cane "punta" sempre verso la lepre.
La condizione che si deve verificare e' che,istante per istante ,siano
uguali gli archi che ciascun animale descrive sulla propria traiettoria
(dato che le velocita' sono uguali in modulo)
ed il problema sara' risolto se le due traiettorie avranno un punto in comune.
Intuitivamente quanto precede e' valido se il cane ha per traiettoria
la semicirconferenza di diametro AL ,dove AL e' il raggio della
circonferenza descritta dalla lepre e perpendicolare ad AB
( lascio a voi dimostrare che per tale curva sono soddisfatte le condizioni
di allineamento e dell'uguaglianza degli archi).
Con maggior rigore si tratta di imporre la condizione:
$sqrt(dot(r)^2+r^2*dot(theta)^2)=v$
La soluzione di questa equazione differenziale e'
$r=asintheta$
E passando a coordinate cartesiane:
$x^2+y^2-ay=0$
che rappresenta la semicirconferenza di cui prima.
karl
MMM non mi convince molto questa soluzione è un po' più complicato di quanto possa sembrare il problema ... Prendiamo per esempio l'istante iniziale : la velocità del lupo è radiale , quella della lepre ( come sempre ) tangente alla circonferenza ; dopo un intervallo infinitesimo di tempo dt il lupo avrà percorso un tratto infinitesimo in direzione radiale e la lepre in direzione tangenziale di ugual lunghezza(la velocità è uguale) e la congiungente non passa più per il centro della circonferenza ; dato che i tre punti non sono più allineati la velocità angolare non è uguale.
Forse è sbagliato quello che ho scritto , ci devo pensare meglio 
Supponiamo che cane, lepre ed A siano allineati sempre in 3 punti diversi ed in particolare ad un istante t (non a t=0). Il fatto che la velocità del cane deve puntare sulla lepre richiede che esista velocità solo radiale, ma esiste un componente trasversale in seguito all'ipotesi che il cane viaggi con la stessa velocità angolare della lepre.
mi pare ci sia qualcosa che non vada...
mi pare ci sia qualcosa che non vada...
"karl":
Solo cosi' la velocita' radiale
del cane "punta" sempre verso la lepre.
cosa vuol dire?... io per radiale intendevo anche nel post prima radiale rispetto al SR in coordinate polari con origine in A, ovvero perpendicolare alla circonferenza di centro A e raggio "posizione del cane"...
ma questa non punta la lepre, è il vettore velocità che punta la lepre..
Dunque:
1) Credo che il problema sia da interpretarsi così: il vettore velocità del cane ha modulo costante uguale a v e la sua direzione è la stessa del vettore A-C (A è la lepre e C è il cane)
il sistema di equazioni che viene fuori è pittosto scoraggiante (almeno per me)
2) Il cane non può raggiungere la lepre in un tempo finito, infatti per come è formulato il problema se ammettiamo che in un tempo t il cane abbia raggiunto la lepre allora per tutti gli istanti successivi la sua traiettoria sarà esattamente quella della lepre, dunque una orbita chiusa stabile a cui si arriva da un'altra traiettoria, il che implica che la traiettoria complessiva è una curva non analitica e non semplice, il che penso si possa escludere studiando il sistema con gli usuali metodi per i sistemi autonomi.(spero di non aver detto delle stupidate)
1) Credo che il problema sia da interpretarsi così: il vettore velocità del cane ha modulo costante uguale a v e la sua direzione è la stessa del vettore A-C (A è la lepre e C è il cane)
il sistema di equazioni che viene fuori è pittosto scoraggiante (almeno per me)
2) Il cane non può raggiungere la lepre in un tempo finito, infatti per come è formulato il problema se ammettiamo che in un tempo t il cane abbia raggiunto la lepre allora per tutti gli istanti successivi la sua traiettoria sarà esattamente quella della lepre, dunque una orbita chiusa stabile a cui si arriva da un'altra traiettoria, il che implica che la traiettoria complessiva è una curva non analitica e non semplice, il che penso si possa escludere studiando il sistema con gli usuali metodi per i sistemi autonomi.(spero di non aver detto delle stupidate)
Io ho interpretato il "puntare " del cane verso la lepre come il fatto che
la componente radiale della velocita' totale (radiale + trasversale) sia
diretta verso la lepre, in modo da mantenere comunque l'allineamento.
Ed in effetti la soluzione in questo senso funziona.
Se qualcuno ha un'altra interpretazione si puo' sempre vedere
dato che una soluzione ufficiale non ce l'ho.
karl
la componente radiale della velocita' totale (radiale + trasversale) sia
diretta verso la lepre, in modo da mantenere comunque l'allineamento.
Ed in effetti la soluzione in questo senso funziona.
Se qualcuno ha un'altra interpretazione si puo' sempre vedere
dato che una soluzione ufficiale non ce l'ho.
karl
Riguardo all'interpretazione del testo credo che si debbe considerare 'puntare' come il fatto che il segmento LA deve essere localmente tangente alla traiettoria del cane in A. Questo esclude la possibilità di condizioni di allineamento
Per la soluzione quindi concordo con l'analisi di Maxos che il tempo sia infinito e che la triettoria del cane non sia semplice.
ciao a tutti e ben ritrovati dopo le ferie
Per la soluzione quindi concordo con l'analisi di Maxos che il tempo sia infinito e che la triettoria del cane non sia semplice.
ciao a tutti e ben ritrovati dopo le ferie
Sta nella parola radiale l'errore ... puntare verso la lepre significa che la velocità del cane è diretta secondo la congiungente lepre-cane , non è detto che sia radiale e infatti si può dimostrare che non lo è ... Ho provato anche io a risolverlo , mi viene un sistema di due equazioni differenziali del primo ordine a coefficienti variabili ... figuriamoci non so nemmeno risolvere quelli a coefficienti costanti , non ho proprio speranza
Comunque ho scritto una stupidata nel post precedente perché il sistema evidentemente non è autonomo
Cosa è un sistema "autonomo", maxos?
cmq se l'esercizio chiede di provare che la lepre sarà presa, sarà vero... no?...almeno spero...
cmq se l'esercizio chiede di provare che la lepre sarà presa, sarà vero... no?...almeno spero...
"autonomo" riguarda le equadiff
faccio un esempio per rendere l'idea, con un sistema di 2 eq in 2 incognite
La forma generale del sistema sarebbe (non so fare la graffa in MathML...)
- $\dot x = f(t,x,y)$
- $\dot y = g(t,x,y)$
Se però sia $f$ che $g$ NON dipendono da $t$, diciamo che il sistema è autonomo
Ad esempio, in un sistema "preda-predatore", se la quantità di robbe da mangiare (erbette?) disponibili per la preda dipende da fattori stagionali, hai un sistema non autonomo
Detto in altro modo, se l'evoluzione del sistema è determinata dai valori che assumono le variabili di stato del sistema (nel caso, $x$ ed $y$), si ha un sistema autonomo.
A proposito, non vedo perché il sistema cane/lepre non dovrebbe essere autonomo. Le determinanti del moto mi sembrano tutte endogene, tutte dipendenti dallo stato del sistema.
Già che ci sono, aggiungo che concordo pienamente con la tua interpretazione dell'esercizio.
"puntando costantemente la lepre" non vedo come si possa interpretare diversamente (e, poi, si sta parlando di un cane...)
faccio un esempio per rendere l'idea, con un sistema di 2 eq in 2 incognite
La forma generale del sistema sarebbe (non so fare la graffa in MathML...)
- $\dot x = f(t,x,y)$
- $\dot y = g(t,x,y)$
Se però sia $f$ che $g$ NON dipendono da $t$, diciamo che il sistema è autonomo
Ad esempio, in un sistema "preda-predatore", se la quantità di robbe da mangiare (erbette?) disponibili per la preda dipende da fattori stagionali, hai un sistema non autonomo
Detto in altro modo, se l'evoluzione del sistema è determinata dai valori che assumono le variabili di stato del sistema (nel caso, $x$ ed $y$), si ha un sistema autonomo.
A proposito, non vedo perché il sistema cane/lepre non dovrebbe essere autonomo. Le determinanti del moto mi sembrano tutte endogene, tutte dipendenti dallo stato del sistema.
Già che ci sono, aggiungo che concordo pienamente con la tua interpretazione dell'esercizio.
"puntando costantemente la lepre" non vedo come si possa interpretare diversamente (e, poi, si sta parlando di un cane...)
Nelle equazioni che ho trovato mi compare anche l'angolo formato tra il raggio lepre-centro e quello iniziale che dipende da t , deve essere per questo che non è autonomo sistema
Esattamente, perché le due incognite del sistema sono le coordinate del cane, mentre quelle della lepre dipendono solo da t.
Io nei miei calcoli ero anche passato in coordinate usando come angolo l'angolo "differenza" $\theta$(lepre) meno $\theta$(cane)... in questo modo il sistema mi diventa "autonomo"... sempre che i calcoli siano giusti...
ma da questo come si dovrebbe dedurre che il tempo è infinito?
ma da questo come si dovrebbe dedurre che il tempo è infinito?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo