La conservazione dell'energia e le trasformazioni di Galileo

[dissonance]

Sto iniziando a leggere un po' di relatività speciale e subito mi sono incartato. Mi sono chiesto, infatti: ma la legge di conservazione dell'energia sarà invariante per trasformazioni di Galileo? e mi sono risposto di no, il che mi pare parecchio strano.

Il mio banalissimo ragionamento. Supponiamo di avere un sistema costituito da due particelle di massa \(m\), interagenti tra loro mediante un potenziale \(V\) e vincolate a muoversi su una retta. In un sistema di riferimento inerziale \(Oxyzt\), scelto in modo che la retta d'azione del sistema sia l'asse \(x\), l'energia totale è

\[E=\frac{1}{2}m\big(\dot{x}^2_1+\dot{x}_2^2\big) + V\big(\lvert x_1-x_2\rvert\big).\]

Cambiamo sistema di riferimento mediante la trasformazione di Galileo

\[\begin{cases} x=x'+vt \\ y=y' \\ z=z' \\ t=t'\end{cases}\]

e vediamo come si modifica l'energia: otteniamo

\[E'=\frac{1}{2}m\big(\dot{x}'_1^2+\dot{x}'_2^2\big)+V\big(\lvert x'_1-x'_2\rvert\big)+mv^2+mv\left(\dot{x}'_1+\dot{x}'_2\right),\]

e posso capire la presenza di \(mv^2\), che è una costante, ma non quell'ultimo addendo \(mv\left(\dot{x}'_1+\dot{x}'_2\right)\).

[Sk_Anonymous]

Ciao dissonance. Ammettiamo che l'osservatore solidale al sistema di riferimento $(x,y,z,t)$ possa esprimere l'energia meccanica mediante la seguente formula:

$E=1/2m_1dotx_1^2+1/2m_2dotx_2^2+V(|x_1-x_2|)$

L'osservatore solidale al sistema di riferimento $(x',y',z',t')$, per il principio di relatività di Galilei, deve avere il diritto di esprimere l'energia meccanica mediante una formula che ha la stessa forma se riferita alle proprie coordinate:

$E'=1/2m_1dotx'_1^2+1/2m_2dotx'_2^2+V(|x'_1-x'_2|)$

L'energia meccanica non è invariante, cioè non si trasforma l'una nell'altra sotto trasformazioni di Galileo mantenendo la stessa forma. Ma, "per fortuna", per essere conservata in entrambi i sistemi di riferimento non deve necessariamente esserlo. Infatti:

$E=1/2m_1dotx_1^2+1/2m_2dotx_2^2+V(|x_1-x_2|)=$

$=1/2m_1dotx'_1^2+1/2m_2dotx'_2^2+V(|x'_1-x'_2|)+1/2(m_1+m_2)v^2+(m_1+m_2)v'_(CM)v=$

$=E'+1/2(m_1+m_2)v^2+(m_1+m_2)v'_(CM)v$

In ogni modo:

$E-E'=1/2(m_1+m_2)v^2+(m_1+m_2)v'_(CM)v$

è costante. Quindi, vale la conservazione dell'energia meccanica nel sistema di riferimento $(x,y,z,t)$ se e solo se vale nel sistema di riferimento $(x',y',z',t')$. Le equazioni del moto invece devono essere invarianti, cioè trasformarsi le une nelle altre sotto trasformazioni di Galileo e mantenere la stessa forma. Senza entrare nel dettaglio, questo è garantito dal fatto che le seguenti due Lagrangiane:

$L'=1/2m_1dotx'_1^2+1/2m_2dotx'_2^2-V(|x'_1-x'_2|)$

$L'=1/2m_1dotx'_1^2+1/2m_2dotx'_2^2-V(|x'_1-x'_2|)+1/2(m_1+m_2)v^2+(m_1+m_2)v'_(CM)v$

differiscono per un termine che è la derivata totale rispetto al tempo di una grandezza dipendente dalle sole coordinate Lagrangiane e dal tempo.

[dissonance]

Ah ecco, m'era sfuggito il fatto che il termine "intruso" è il prodotto di \(v\) e della quantità di moto del sistema in esame, che si conserva. Quindi l'osservatore \(O'\) misura un valore diverso per l'energia del sistema, ma pur sempre costante e il principio di relatività è salvo. Giusto?

"speculor":Senza entrare nel dettaglio, questo è garantito dal fatto che le seguenti due Lagrangiane:

$L'=1/2m_1dotx'_1^2+1/2m_2dotx'_2^2-V(|x'_1-x'_2|)$

$L'=1/2m_1dotx'_1^2+1/2m_2dotx'_2^2-V(|x'_1-x'_2|)+1/2(m_1+m_2)v^2+(m_1+m_2)v'_(CM)v$

differiscono per un termine che è la derivata totale rispetto al tempo di una grandezza dipendente dalle sole coordinate Lagrangiane.

Se e quando hai tempo e voglia, potresti entrare nel dettaglio? Mi interessa molto la questione. Naturalmente non c'è nessuna fretta, io intanto continuo la lettura del libro di Feynman che sto usando come riferimento principale.

[Sk_Anonymous]

"dissonance":
Quindi l'osservatore \(O'\) misura un valore diverso per l'energia del sistema, ma pur sempre costante e il principio di relatività è salvo. Giusto?

Ok.

"speculor":
Senza entrare nel dettaglio, questo è garantito dal fatto che le seguenti due Lagrangiane:

$L'=1/2m_1dotx'_1^2+1/2m_2dotx'_2^2-V(|x'_1-x'_2|)$

$L'=1/2m_1dotx'_1^2+1/2m_2dotx'_2^2-V(|x'_1-x'_2|)+1/2(m_1+m_2)v^2+(m_1+m_2)v'_(CM)v$

differiscono per un termine che è la derivata totale rispetto al tempo di una grandezza dipendente dalle sole coordinate Lagrangiane e dal tempo.

Qui sopra ho modificato nella parte sottolineata. Deriva dal principio di minima azione. Le equazioni del moto si ottengono rendendo minima l'azione (esempio con un solo grado di libertà):

$\int_{t_1}^{t_2}L(q,dotq,t)dt$

lungo una generica traiettoria soggetta alle condizioni $[q(t_1)=q_1]$ e $[q(t_2)=q_2]$. Se aggiungi alla Lagrangiana il seguente termine:

$\int_{t_1}^{t_2}[L(q,dotq,t)+(df)/(dt)(q,t)]dt$

esso dà un contributo costante al calcolo dell'integrale lungo la traiettoria medesima, rendendo la condizione di minimo indipendente dalla sua presenza. Nel nostro caso, avente due gradi di libertà:

$[f(q_1,q_2,t)=1/2(m_1+m_2)v^2t+(m_1q_1+m_2q_2)v] rarr [(df)/(dt)=1/2(m_1+m_2)v^2+(m_1dotq_1+m_2dotq_2)v]$

[dissonance]

Eccomi qua, ci ho dovuto riflettere un po' perché mi rendo conto che si tratta di un fatto generale, tra i principi variazionali.

Quello che tu mi vuoi dire è che io mi sono posto il problema sbagliato: per vedere se un sistema si trasforma bene per trasformazioni di Galileo dovrei andarmi a prendere l'espressione dell'azione \(S\) e vedere come si trasforma l'equazione \(\delta S=0\) (\(\delta =\)variazione prima). Se questa equazione è invariante per trasformazioni di Galileo, fatto che si verifica quando la Lagrangiana si trasforma nella maniera che illustri tu, allora il sistema è trattabile secondo la relatività galileiana.

Giusto?

[Sk_Anonymous]

Mi sembra corretto. In ogni modo, visto che il ragionamento è un po' sottile, preferisco aggiungere ancora alcune considerazioni. Se dovessi giudicarle ripetitive, vorrà dire che stiamo intendendo la stessa cosa. Se gli osservatori sono equivalenti, devono poter descrivere il sistema mediante una Lagrangiana che abbia la stessa dipendenza funzionale se considerata rispetto ai propri argomenti:

$L(x_1,x_2,dotx_1,dotx_2)=1/2m_1dotx_1^2+1/2m_2dotx_2^2-V(|x_1-x_2|)$

$L'(x'_1,x'_2,dotx'_1,dotx'_2)=1/2m_1dotx'_1^2+1/2m_2dotx'_2^2-V(|x'_1-x'_2|)$

Infatti, più propriamente, alcuni autori preferiscono scrivere $L(x'_1,x'_2,dotx'_1,dotx'_2)$ senza apice e non $L'(x'_1,x'_2,dotx'_1,dotx'_2)$ con l'apice anche per il secondo osservatore, visto che la dipendenza funzionale è la stessa. In questo modo, mediante il principio di minima azione, siamo sicuri che le equazioni del moto avranno la stessa forma nei due sistemi di riferimento, anche in virtù del fatto che gli estremi temporali di integrazione hanno un carattere assoluto. Attenzione però, questo ragionamento sta in piedi se e solo se le due Lagrangiane si trasformano l'una nell'altra sotto trasformazioni di Galileo. Purtroppo questo non avviene, ma il termine indesiderato, per fortuna, non ha nessuna influenza nel determinare le equazioni del moto. Quindi, anche se le due Lagrangiane non si trasformano l'una nell'altra mantenendo la stessa forma, le equazioni del moto lo fanno e possono essere quindi ottenute da una Lagrangiana che ha la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento.

[dissonance]

Aspetta, aspetta, qui non ti seguo:

"speculor":Quindi, anche se le due Lagrangiane non si trasformano l'una nell'altra mantenendo la stessa forma, le equazioni del moto lo fanno e possono essere quindi ottenute da una Lagrangiana che ha la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento.

Tutto ciò che illustri prima di questo mi risulta chiarissimo. Ma non mi spiego come possa esistere una simile super-Lagrangiana \(L_{\mathrm{super}}\)che non cambia mai quando cambia il sistema di riferimento. Perché, io penso: se passiamo dal sistema di riferimento \(Oxyz\) al sistema primed \(O'x'y'z'\), anche \(L_{\mathrm{super}}\) muterà in \(L'_{\mathrm{super}}\) e abbiamo visto che

\[L'_{\mathrm{super}}=L_{\mathrm{super}}+\frac{df}{dt}\]

per un campo scalare \(f\). Giusto? Forse ho fatto confusione in qualche passaggio?

[Sk_Anonymous]

"dissonance":
Ma non mi spiego come possa esistere una simile super-Lagrangiana \(L_{\mathrm{super}}\)che non cambia mai quando cambia il sistema di riferimento. Perché, io penso: se passiamo dal sistema di riferimento \(Oxyz\) al sistema primed \(O'x'y'z'\), anche \(L_{\mathrm{super}}\) muterà in \(L'_{\mathrm{super}}\) e abbiamo visto che

\[L'_{\mathrm{super}}=L_{\mathrm{super}}+\frac{df}{dt}\]

per un campo scalare \(f\).

Infatti non esiste. Ho solo detto che il secondo osservatore può ottenere le sue equazioni del moto utilizzando indifferentemente una di queste $2$ Lagrangiane:

$L'=1/2m_1dotx'_1^2+1/2m_2dotx'_2^2-V(|x'_1-x'_2|)$

$L'=1/2m_1dotx'_1^2+1/2m_2dotx'_2^2-V(|x'_1-x'_2|)+1/2(m_1+m_2)v^2+(m_1+m_2)v'_(CM)v$

La prima è quella che scriverebbe "per simpatia" ragionando in questo modo:
1. Conosco un osservatore che utilizza una certa Lagrangiana come funzione delle variabili che lui utilizza per descrivere il sistema.
2. Questo osservatore ha successo nel descrivere il sistema con questa Lagrangiana.
3. Mi hanno detto che io e lui siamo osservatori equivalenti.
4. Io voglio poter descrivere il sistema con la stessa Lagrangiana come funzione delle variabili che io utilizzo per descrivere il sistema, altrimenti non me la state raccontando giusta.
La seconda è quella che scriverebbe trasformando la Lagrangiana del primo osservatore, Lagrangiana piuttosto inquietante visto che compare la velocità del suo sistema di riferimento e che quindi sembra preservare il concetto di un osservatore privilegiato che può scrivere la propria Lagrangiana senza tener conto di quel termine aggiuntivo.
In virtù di questa doppia possibilità, in realtà sarebbero infinite visto che sono infiniti gli osservatori dai quali dedurre la propria Lagrangiana, decido di utilizzare quella "per simpatia" e, cosa massimamente importante, salvo un principio di relatività. Il fatto che le diverse Lagrangiane non si trasformino le une nelle altre mantenendo la stessa forma passa in secondo piano. Quello che conta sono le equazioni del moto, le osservabili fisiche per intenderci, e il fatto che ogni osservatore possa ottenerle utilizzando una Lagrangiana che ha la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento, una forma che, doverosamente, non contempla nessuna velocità relativa tra due sistemi di riferimento diversi.

[sonoqui_1]

A quanto ho capito quello che vuoi dire è che le equazioni di moto scritte in coordinate del secondo sistema di riferimento, ricavate con la lagrangiana relativa a questo sistema di riferimento, con una trasformazione di coordinate (trasformazione galileiana) da cui si ricavano quelle nel primo sistema di riferimento, dà come risultato le stesse equazioni di moto che si ricavano dala lagrangiana realtiva al primo sistema di riferimento.
Questo penso che derivi da un fatto più generale, cioè che il secondo principio della dinamica si scrive allo stesso modo nei due sistemi di riferimento, considerando tra le forze anche quelle apparenti, non presenti nel caso di moto relativo uniforme tra i due sistemi di riferimento. Forze uguali, masse uguali e anche le accelerazioni risultano uguali.

[Sk_Anonymous]

"sonoqui_":
Questo penso che derivi da un fatto più generale, cioè che il secondo principio della dinamica si scrive allo stesso modo nei due sistemi di riferimento, considerando tra le forze anche quelle apparenti, non presenti nel caso di moto relativo uniforme tra i due sistemi di riferimento. Forze uguali, masse uguali e anche le accelerazioni risultano uguali.

Nell'ambito della meccanica classica, il principio di relatività Galileiano potrebbe essere ottenuto dimostrando che:

$vec(F_1)=mvec(a_1)$

valida nel sistema di riferimento inerziale $1$ e:

$vec(F_2)=mvec(a_2)$

valida nel sistema di riferimento inerziale $2$, si trasformano l'una nell'altra sotto trasformazioni di Galileo. Tra l'altro, questo è assicurato dal fatto che, da sempre, la formulazione del secondo principio della dinamica è espressa in notazione tensoriale rispetto a questo gruppo di trasformazioni. Ma quando si considerarono le trasformazioni di Lorentz, la notazione tensoriale di quelle equazioni venne definitivamente perduta. Infatti, nello sviluppo della meccanica relativistica, il lavoro più importante fu quello di scrivere nuove equazioni in notazione tensoriale, se considerate rispetto alle nuove trasformazioni, che si riducessero alle prime per velocità trascurabili rispetto a quella della luce. In ogni modo, questo procedimento non è generale quanto quello di ricavare le equazioni del moto dal principio di minima azione. Per rendersene conto, basta considerare lo sviluppo di questi concetti nell'ambito della meccanica quantistica relativistica.