La conservazione del momento in forma covariante
Ho letto il paragrafo §17-5 "Four-vector algebra" del primo volume di Feynman Lectures on Physics. Verso metà paragrafo l'autore dice che la forma corretta della legge di conservazione dell'energia e della quantità di moto in un contesto relativistico è in termini del 4-vettore energia-impulso:
\[\sum_{\text{particelle entranti}} p^{\mu}=\sum_{\text{particelle uscenti}}p^{\mu}.\]
Relazioni che coinvolgono singolarmente \(E\), l'energia, oppure \(\mathbf{p}\), la quantità di moto, sono invece inaccettabili in questo contesto per questione di Lorentz-covarianza (l'autore non usa esplicitamente questo termine ma il concetto è quello).
E questo non lo capisco. Questa equazione per una particella libera, ad esempio:
\[\tag{1} \frac{d \mathbf{p}}{dt}=0, \]
è o non è Lorentz-covariante? Stando a Feynman dovrei dire di no. Quindi non è neanche vera?!? Eppure, prendendo il funzionale dell'azione per la particella libera (\(c=1\))
\[S=\int dt (-m_o\sqrt{1-v^2}), \]
(che, tra l'altro, Lorentz-invariante è di sicuro) e annullandone la variazione prima salta fuori proprio la \((1)\). Che quindi dovrebbe essere vangelo.
Perché mi trovo in questa empasse?
Grazie dell'attenzione.
\[\sum_{\text{particelle entranti}} p^{\mu}=\sum_{\text{particelle uscenti}}p^{\mu}.\]
Relazioni che coinvolgono singolarmente \(E\), l'energia, oppure \(\mathbf{p}\), la quantità di moto, sono invece inaccettabili in questo contesto per questione di Lorentz-covarianza (l'autore non usa esplicitamente questo termine ma il concetto è quello).
E questo non lo capisco. Questa equazione per una particella libera, ad esempio:
\[\tag{1} \frac{d \mathbf{p}}{dt}=0, \]
è o non è Lorentz-covariante? Stando a Feynman dovrei dire di no. Quindi non è neanche vera?!? Eppure, prendendo il funzionale dell'azione per la particella libera (\(c=1\))
\[S=\int dt (-m_o\sqrt{1-v^2}), \]
(che, tra l'altro, Lorentz-invariante è di sicuro) e annullandone la variazione prima salta fuori proprio la \((1)\). Che quindi dovrebbe essere vangelo.
Perché mi trovo in questa empasse?
Grazie dell'attenzione.
Risposte
"dissonance":
Ho letto il paragrafo §17-5 "Four-vector algebra" del primo volume di Feynman Lectures on Physics. Verso metà paragrafo l'autore dice che la forma corretta della legge di conservazione dell'energia e della quantità di moto in un contesto relativistico è in termini del 4-vettore energia-impulso:
\[\sum_{\text{particelle entranti}} p^{\mu}=\sum_{\text{particelle uscenti}}p^{\mu}.\]
Relazioni che coinvolgono singolarmente \(E\), l'energia, oppure \(\mathbf{p}\), la quantità di moto, sono invece inaccettabili in questo contesto per questione di Lorentz-covarianza (l'autore non usa esplicitamente questo termine ma il concetto è quello).
Credo che la questione piu' che altro sia che una legge che coinvolga solo l'energia e' incompleta, non che sia sbagliata in se'.
Cioe' se hai quella legge, devi avere anche le altre che completano "il multipletto", per cosi' dire.
Almeno questo mi sembra di capire dal testo che sono andato a ripescare.
E si, sarà così. In effetti se diciamo che \(p^{\mu}\) si conserva, a maggior ragione si conservano le sue componenti \(E\) e \(\mathbf{p}\). E in più sappiamo anche come questi oggetti si trasformano sotto il gruppo di Lorentz. Diversamente, se dicessimo singolarmente che "\(E\) si conserva" e "\(\mathbf{p}\) si conserva", perderemmo quest'ultima informazione. Si, è una interpretazione che mi convince.
Grazie!
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