Ket e spin 3/2

[Silence1]

Buonasera, ho qui un problema che non sono sicuro di come impostare (il problema principale è che sono ben più avvezzo allo spin 1/2, non so bene come gestire questo).

Sia lo stato quantistico di una particella definito dal ket $|s, m_s>$. Considerando $s=3/2$, rappresentare i vettori di base associati agli autostati della componente z dello spin e del vettore che rappresenta lo stato più generico espresso su tale base.

Ora... le domande sono diverse, ma penso che risolvere l'esercizio le chiarirà tutte. In primo luogo, se il ket è quello lì, non significa che "i" ket sono 4, a seconda di del numero quantico magnetico? Posso trattarli come funzioni d'onda di un pacchetto discreto? Una cosa del tipo:

$chi=Achi_1+Bchi_1+Cchi_3+Dchi_4$ (limitandomi solo allo spin), rispettivamente con $m_s=3/2, 1/2, -1/2, -3/2$

Grazie!

[Sk_Anonymous]

Sì lo spazio ha dimensione 4 naturalmente. E sì, il vettore generico sarà una combinazione lineare dei vettori di base. Comunque l'esercizio mi pare abbastanza scialbo, forse ti sei fatto un attimo impensierire dallo spin 3/2. Si usa quasi sempre 1/2 o 1 poiché elettroni , protoni e neutroni hanno spin 1/2 (quindi praticamente tutta la materia atomica) ed i fotoni spin 1 (quindi la radiazione). Ma ci sono tante particelle con spin diversi che girano per l'universo.
Insomma praticamente ti sta chiedendo gli autovettori dello spin 3/2 lungo z, quantizzato lungo z.

[Silence1]

Eccoci, grazie per la risposta. Sì, fermandomi qui l'esercizio sembra piuttosto insipido, ma mi sono limitato alla prima domanda per assicurarmi di avere le idee chiare. Se va bene, riporterei il resto col mio tentativo di soluzione perchè ci sono un paio di altre cose su cui sono incerto.

Dunque, ho $chi=Achi_1+Bchi_1+Cchi_3+Dchi_4$

Siccome il problema non dà alcuna indicazione riguardo i coefficienti, suppongo di poter assumere equiprobabilità? Dunque $A=B=C=D=1/2$

E quindi (siccome poi chiede anche le possibili misure di $hatS_z, hatS^2$), so che

$hatS^2=s(s+1)barh^2=15/2$
$hatS_z=m_sbarh=+-barh/2, +-3/2barh$ le cui probabilità sono i moduli quadri dei coefficienti di cui sopra.

Le rappresentazioni matriciali sono 4x4 diagonali con gli autovalori come unici elementi non nulli. Ora, però, probabilmente la domanda è banale, ma come passo dagli autovalori agli autovettori? Perchè con spin a 3/2 non posso usare le matrici di Pauli...

Ancora grazie

[Sk_Anonymous]

"Silence":

Siccome il problema non dà alcuna indicazione riguardo i coefficienti, suppongo di poter assumere equiprobabilità? Dunque $A=B=C=D=1/2$

Se il problema non ti dà informazioni, non puoi decidere tu che sono equiprobabili. Ci devi lasciare i coefficienti, tanto che ti chiede il vettore generico. Se sono definiti sia le coordinate che la base non è più generico, è specifico.

"Silence":

E quindi (siccome poi chiede anche le possibili misure di $hatS_z, hatS^2$), so che

$hatS^2=s(s+1)barh^2=15/2$
$hatS_z=m_sbarh=+-barh/2, +-3/2barh$ le cui probabilità sono i moduli quadri dei coefficienti di cui sopra.

Nella misura di $S^2$ hai 15/4, ma solo errore di conto, l'hai scritta bene.
Inoltre ti chiede anche le probabilità delle misure lungo z? Stando a quanto detto prima non può chiedertele perché sono indeterminate, a meno che non ci siano altre indicazioni.

"Silence":

Le rappresentazioni matriciali sono 4x4 diagonali con gli autovalori come unici elementi non nulli. Ora, però, probabilmente la domanda è banale, ma come passo dagli autovalori agli autovettori? Perchè con spin a 3/2 non posso usare le matrici di Pauli...

Ancora grazie

A te interessa la matrice 4X4 di $S_z$. In pratica hai giatdetto come deve essere. La scriviamo?

[Silence1]

Allora, riguardo alle probabilità non dice niente, il testo è questo: "Sia lo stato quantistico di una particella rappresentabile dal ket $|s, m_s>$ e gli operatori da matrici di dimensioni finite. Si consideri il caso $s=3/2$"

Tempo fa ero incappato in un altro esercizio che usava il postulato di equiprobabilità a priori, che è il motivo per cui ho fatto la mia assunzione qui. A questo punto immagino di dover semplicemente dire che le rispettive probabilità sono $|A|^2, |B|^2, |C|^2, |D|^2$.

Per quanto riguarda la matrice scriverei così:

$hatS_z=barh/2( ( 3/2 , , , ),( , 1/2 , , ),( , , -1/2 , ),( , , , -3/2 ) ) $

con base $( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $

Sono questi gli autovettori? Perché che io sappia sono quelli che trasformati dall'operatore restituiscono l'autovalore, e in effetti se faccio agire la matrice sul primo vettore ottengo il primo autovalore, ecc. Ma questo significa che gli autovettori sono sempre "versori"?

P.S.: chiedo scusa per l'errore di conto

[Sk_Anonymous]

Sì la matrice è quella (con un 1/2 di troppo, se l'hai raccolto fuori non lo devi rimettere dentro).

Gli autovettori non sono necessariamente versori, ma è sempre possibile normalizzarli ed essi restano autovettori. In genere si fa a prescindere in mq per avere poi stati già normalizzati.
Naturalmente una matrice diagonale avrà come possibile base la base canonica, quindi non stupisce che ritrovi quella di $R^4$ così come lo spin 1/2 aveva quella di $R^2$ o spin 1 quella di $R^3$ (parliamo sempre dello spin lungo z, asse di quantizzazione ovviamente.

L'equiprobabilitá a priori è un concetto figlio della meccanica statistica. Non è che non abbia senso in mq ma va preso un po'più con le pinze. Se il problema ti chiede espressamente di stimare le probabilità ed hai la particella libera con spin allora è ragionevole, ma se non te lo chiede non lo fare. Anche perché ora come noti se associ quelle probabilità con questi autovettori non hai un vettore generico ma il vettore specifico,come dicevo, $(1/2,1/2,1/2,1/2)$

[Silence1]

Ma quindi riprendendo la prima domanda: "scrivere una rappresentazione dei vettori di base associati agli autostati della componente z dello spin e del vettore che rappresenta lo stato più generico espresso su tale base".

Si tratta dei 4 versori (che sarebbero gli stessi anche perr il modulo quadro dello spin), dunque?

Poi rimane l'ultima domanda a cui allego il mio ragionamento: "trovare il minimo valore delle incertezze sulla componente x e y dello spin nello stato combinazione lineare paritetica degli autostati di $hatS_z$ con autovalori positivi"

Se ho ben capito la richiesta, lo stato da considerare è la prima metà di quello scritto sopra. Quel paritetica significa equiprobabilità (?) dunque avrei $chi=1/sqrt2(chi_1+chi_2)$

Le misure di $hatS_x, hatS_y$ sono le stesse di z, e quindi mi calcolo il valore atteso di entrambi ($$) e poi le incertezze ($sqrt( - ^2)$)

Grazie mille !

[Sk_Anonymous]

"Silence":Ma quindi riprendendo la prima domanda: "scrivere una rappresentazione dei vettori di base associati agli autostati della componente z dello spin e del vettore che rappresenta lo stato più generico espresso su tale base".

Si tratta dei 4 versori (che sarebbero gli stessi anche perr il modulo quadro dello spin), dunque?

Certo. Inoltre $S^2$ ed $S_z$ commutano, quindi il fatto che condividano una base di autostati è ovvio, anzi ci fa piacere averlo verificato.

"Silence":
Poi rimane l'ultima domanda a cui allego il mio ragionamento: "trovare il minimo valore delle incertezze sulla componente x e y dello spin nello stato combinazione lineare paritetica degli autostati di $hatS_z$ con autovalori positivi"

Se ho ben capito la richiesta, lo stato da considerare è la prima metà di quello scritto sopra. Quel paritetica significa equiprobabilità (?) dunque avrei $chi=1/sqrt2(chi_1+chi_2)$

Mah non ho mai sentito il termine paritetico in ambito quantistico, ma sì dovrebbe significare equiprobabile in questo contesto. Quindi lo stato sarebbe proprio quello che hai scritto. Poi non ho capito bene perché scandisce "il minimo", comunque vedremo alla fine.

"Silence":
Le misure di $hatS_x, hatS_y$ sono le stesse di z, e quindi mi calcolo il valore atteso di entrambi ($$) e poi le incertezze ($sqrt( - ^2)$)

Abbiamo già parlato di questa cosa tempo fa, quindi fai attenzione nel calcolo perché già quella frase "le misure sono le stesse di z" non è di buono auspicio. Ti ricordo che le varie proiezioni di spin non commutano tra loro. Inoltre la rappresentazione matriciale di $S_x$ ed $S_y$ non è diagonale (tra l'altro sicuramente non lo è proprio per la non commutatività), come non sono diagonali tutte e tre le matrici di Pauli. Te le devi calcolare, usando l'algebra degli operatori di salita e discesa.

[Silence1]

Chiedo scusa, ma penso che il problema sia più di forma che di sostanza. Ricordo bene quel che mi avevi spiegato, purtroppo in testa mi si è incisa quella frase perché la ritrovo spesso in esercizi ed esempi vari. Allego un esempio di un altro esercizio :





Mi rendo conto che questo significa "se all'inizio, invece che scegliere z, avessimo scelto come asse x o y [...]", e non che posso misurarle tutte e tre arbitrariamente. Mi si è semplicemente inchiodata in testa una risposta meccanica

Prima di passare agli operatori di salita/discesa, se possibile avrei bisogno di una conferma: le matrici di Pauli sono implicabili in uno spazio di Hillbert bidimensionale generico? Pur avendo $s=3/2$ sto però considerando solo gli autovalori positivi, e dunque la base è a due dimensioni. Posso dunque usarle, o sono esclusive dei fermioni? Onestamente sospetto di no, perché a occhio $hatS_z!=barh/2sigma_z$.

[Sk_Anonymous]

Come preferisci, basta che ti sia chiaro quello che stai dicendo e lo traduci bene in formule

Uhm no non credo che tu possa usare le matrici di Pauli anche se lo spazio è bidimensionale. Altrimenti non ci sarebbe nessuna differenza tra lo spazio generato dai primi due autovettori e quello tra il primo e il terzo, primo e quarto, etc... e questa differenza invece in generale esiste. Comunque per tagliare la testa al toro ti conviene calcolarti le matrici complete, tanto la maggior parte dei termini saranno nulli quindi dovrebbe essere semplice.

[Silence1]

Dunque, operatori salita e discesa. Penso non sia un caso che la dimensione sia stata ridotta a 2, perciò farei così:

$hatS_+ |darr> = barh |uarr> -> ( ( a , b ),( c , d ) )( ( 0 ),( 1 ) )=( ( b),( d ) ) =barh( ( 1 ),( 0 ) ) -> b=barh, d=0 $

$ hatS_+ |uarr> =0 -> ( ( a , b ),( c , d ) )( ( 1 ),( 0 ) ) = 0 -> a=c=0 $

$hatS_+=barh( ( 0 , 1),( 0 , 0 ) )$

Poi so che l'uno è l'hermitiano coniugato dell'altro (oppure uso lo stesso procedimento) e quindi

$hatS_- =barh( ( 0 , 0),( 1 , 0 ) )$

Poi da $hatS_(+-)=hatS_x+-ihatS_y$ estraggo che $hatS_x=(hatS_+ + hatS_-)/2$ e $hatS_y=(hatS_+ - hatS_-)/(2i)$

Torna fin qui? Perché anche questo l'ho imparato correlato a $s=1/2$, ma penso che le due equazioni iniziali siano valide indipendentemente dal valore dello spin? O forse cambia solo quell'$barh$ davanti...

P.S. Buon Ferragosto in ritardo!

[Sk_Anonymous]

Grazie per il buon ferragosto...devo ancora ritornare alla civiltà Entro stasera dovrei essere in grado di di risponderti bene, al massimo domani, comunque in pratica nonostante quanto detto hai comunque sviluppato il tutto come avessi le matrici di Pauli. Perché non ti ricavi la forma completa? Partendo dal risultato noto degli elementi di matrice di matrice? Sia per lo spin che per il momento angolare, sono uguali perché l'algebra dei commutatori è uguale. Se non riesci poi te lo mostro io appena rientro. Giusto per vedere se il risultato tornerebbe uguale.

[Silence1]

Grazie delle indicazioni, ci provo nella speranza di riuscire a tirar fuori qualcosa che sia simile a quel che mi mostrerai. Nessuna fretta, che sia oggi o domani o la settimana prossima, ancora grazie mille.

[Sk_Anonymous]

Allora gli elementi di matrice non nulli dei due operatori sono

$(S_x)_(\sigma,\sigma-1)=(S_x)_(\sigma-1,\sigma)=1/2 \sqrt((S+\sigma) (S-\sigma+1))$

$(S_y)_(\sigma,\sigma-1)=(S_y)_(\sigma-1,\sigma)=-i/2 \sqrt((S+\sigma) (S-\sigma+1))$

questi sono risultati importanti, ma trovi come ricavarli su qualunque testo di quantistica. Nel caso non riuscissi a trovare i riferimenti proviamo a ricavarli. Ovviamente sigma è la proiezione lungo z dello spin S.

Comunque oltre all'ovvio valore nullo sulla diagonale (proprio perché gli operatori non commutano tra loro) noterai che il risultato complessivo ha poco a che fare con le matrici di Pauli. Anche nel tuo caso particolare non puoi esimerti dal calcolare la matrice. Ad esempio l'elemento

$S_(3/2,1/2)=\sqrt3/2$ che non è 1/2 come troveresti con le matrici di Pauli.

Ma valori che contano li trovi anche in altre posizioni, come

$S_(-1/2,1/2)=\sqrt3/2$

che non puoi non considerarlo perché nel prodotto righe per colonne con il tuo vettore, conta eccome. Le matrici di Pauli generano lo spazio (in realtà il gruppo) dove vive lo spin 1/2. Servono altre matrici per generare gli spazi di momento angolare (orbitale o intrinseco) di ordine superiore. La considerazione di ridurti a sottospazi particolari, caso per caso, funziona solo se il tuo vettore e il tuo spazio te lo concedono ma in generale no. E' sempre preferibile, quando si ha a che fare con questi problemi, trovare le matrici complete e verificare a posteriori, a meno di non avere un'ottima manualità su questi oggetti.

Trova tu le matrici complete e calcola i vari valori medi, tanto fai subito ci sono diversi zeri e la matrice è hermitiana.

[Silence1]

Rieccomi, chiedo scusa per il ritardo, impegni imprevisti e piuttosto longevi...
Mi spiace tirarla così tanto per le lunghe, ma purtroppo il mio libro approfondisce solamente l'argomento spin 1/2, questa domanda l'ho trovata per la prima volta in un vecchio esame. Tra l'altro ne ho trovata una seconda con spin 1 che userò per verificare di aver capito una volta concluso qui.

Facendo qualche ricerca, ho trovato queste espressioni per l'elemento di matrice generalizzato in base allo spin (nonché una forma generalizzata di quel che mi hai scritto tu):

$(S_x)_(ab)=barh/2(delta_(a,b+1)+delta_(a+1,b))sqrt((s+1)(a+b-1)-ab)$
$(S_y)_(ab)=ibarh/2(delta_(a,b+1)-delta_(a+1,b))sqrt((s+1)(a+b-1)-ab)$

con a,b indici dell'elemento di matrice tali che ovviamente $1<=a,b<=2s+1$, il che determina la dipendenza della dimensione della matrice dallo spin.
Ora, in base a questo, le matrici complete dovrebbero essere, se non ho sbagliato i conti:

$S_x=barh/2( ( 0 , sqrt3 , 0 , 0 ),( sqrt3 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , sqrt3 ),( 0 , 0 , sqrt3 , 0 ) ) $, ma siccome lo stato è quello degli autovalori positivi si riduce alla prima 2x2, dico bene? E lo stesso ragionamento si applica anche a $S_y$ per ottenere la sua matrice.

A quel punto sì che per i valori attesi e poi per gli sqm posso andare di $$ e quel che avevo scritto all'inizio...

PS: Perdona la banalità della domanda, ma se volessi trovare gli autovettori associati a queste due matrici anziché quelli canonici di $S_z$, li trovo come normalissimi autovettori, giusto? Per $S_x$ ad esempio avrei $1/(2sqrt2)[( ( 1 ),( sqrt3 ),( sqrt3 ),( 1 ) ) ; ( ( -sqrt3 ),( -1 ),( 1 ),( sqrt3 ) ) ; ( ( sqrt3 ),( -1 ),( -1 ),( sqrt3 ) ) ; ( ( -1 ),( sqrt3 ),( -sqrt3 ),( 1 ) ) ]$ che naturalmente non sono canonici perché la matrice non è diagonale.

Spero di aver capito il concetto, perché se così fosse il problema è risolto indipendentemente dal valore di spin assegnato, che non sarebbe affatto male.

Ancora grazie per la tua preziosissima pazienza.

[Sk_Anonymous]

"Silence":

Facendo qualche ricerca, ho trovato queste espressioni per l'elemento di matrice generalizzato in base allo spin (nonché una forma generalizzata di quel che mi hai scritto tu):

Sì, in quelle che ti ho scritto io è esplicitato il fatto che ci sono solo elementi che differiscono di 1, nella tua questo concetto è reso con le delta.

"Silence":
Ora, in base a questo, le matrici complete dovrebbero essere, se non ho sbagliato i conti:

$S_x=barh/2( ( 0 , sqrt3 , 0 , 0 ),( sqrt3 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , sqrt3 ),( 0 , 0 , sqrt3 , 0 ) ) $, ma siccome lo stato è quello degli autovalori positivi si riduce alla prima 2x2, dico bene? E lo stesso ragionamento si applica anche a $S_y$ per ottenere la sua matrice.

Sì, la matrice dovrebbe essere corretta. Il fatto che "ci si riduce" significa sempre e comunque che quel blocco da te indicato è quello "efficace" nel calcolo del valore medio. In realtà non ci si riduce a niente, la matrice è quella e usata in altri contesti va tenuta tutta.

"Silence":
PS: Perdona la banalità della domanda, ma se volessi trovare gli autovettori associati a queste due matrici anziché quelli canonici di $S_z$, li trovo come normalissimi autovettori, giusto?

Naturalmente li trovi al solito modo standard, come faresti per le matrici di Pauli. Non controllo se quelli che hai trovato sono corretti ma sì, il procedimento è sempre lo stesso.

"Silence":
Spero di aver capito il concetto, perché se così fosse il problema è risolto indipendentemente dal valore di spin assegnato, che non sarebbe affatto male.

Ancora grazie per la tua preziosissima pazienza.

Il senso di quel risultato è proprio quello. Viene fuori dall'algebra dei momenti angolari quindi è qualcosa di molto molto...intimo.

[Silence1]

Ah, finalmente un sospiro di sollievo... bene, a questo punto penso di esserci. Adesso, per spregio, scrivo qui sotto la risoluzione di un esercizio diverso (ma simile). Dopo tutto il tempo che ti ho fatto passare su questo argomento non oso chiedere commenti ulteriori, se le cose tornano non perdere tempo a rispondere, ma se eventualmente ti capitasse di notare una tragedia magari lanciami un oggetto contundente con un tiro ad effetto.

Inoltre, metti mai che in futuro qualcuno vada a riesumare questo post, un esempio in più al termine delle spiegazioni farà comodo.

"Si consideri una particella con spin 1 e momento angolare orbitale nullo in un campo centrale. Se si considerano le sole variabili di spin, il sistema è rappresentato da un vettore di stato di dimensioni finite e gli operatori da matrici di dimensioni finite."

a) fornire una rappresentazione matriciale di $S^2$ e $S_z$

$S^2=s(s+1)barh^2=2barh^2$
$S_z=m_sbarh={barh,0,-barh}$

$S^2=2barh^2( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) )$

$S_z=barh( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) )$

b) fornire una rappresentazione dei vettori associati agli autostati di $S_z$ e del vettore che rappresenta lo stato più generico espresso su tale base

Dicevamo che gli autovettori sono canonici, dunque ${chi_1,chi_2,chi_3}={( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) ; ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) ; ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) }$

NB. si trovano risolvendo $S_zchi_s=+-barhchi_s$ e $S_zchi_s=0$

Il vettore generico sarà dunque della forma

$chi=( ( a ),( b ) , (c) ), |a|^2+|b|^2+|c|^2=1$



c) per lo stato generico, dire quali sono i possibili risultati della misura di $S^2$ e $S_z$, e qual è la probabilità di ottenere ciascuno dei valori? Cosa si otterrebbe se si misurasse la componente x dello spin?

I risultati possibili delle misure sono gli autovalori scritti in a). Le rispettive probabilità e autovettori associati saranno:

$S^2: P(2barh^2) = |A|^2+|B|^2+|C|^2=1$ (cumulativa), associato a tutti e tre gli autovettori
$S_z: P(barh)=|A|^2 -> ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) ; P(0)=|B|^2 -> ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) ; P(-barh)=|C|^2 ->( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )$

Riguardo la misura della componente x, avendo la z devo accontentarmi (oppure sottolineare che se avessi scelto x anziché z come asse iniziale, le misure avrebbero confermato gli stessi autovalori), ma facciam finta invece di volere le espressioni matriciali di $S_x$ e $S_y$. Ricordando le espressioni dell'elemento di matrice ab:

$(S_x)_(ab)=barh/2(delta_(a,b+1)+delta_(a+1,b))sqrt((s+1)(a+b-1)-ab)$
$(S_y)_(ab)=ibarh/2(delta_(a,b+1)-delta_(a+1,b))sqrt((s+1)(a+b-1)-ab)$

ottengo:

$S_x=barh/2sqrt2( ( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $ e la sua hermitiana coniugata

$S_y=barh/2sqrt2( ( 0 , -i , 0 ),( i , 0 , -i ),( 0 , i , 0 ) ) $

d) scrivere lo stato combinazione lineare paritaria degli autostati di Sz e trovare il valore di aspettazione di Sz su questo stato

La condizione di paritarietà è: $|A|^2=|B|^2=|C|^2->A=B=C=1/sqrt3$ poché appunto $|A|^2+|B|^2+|C|^2=1$

Gli autostati di $S_z$ sono i tre vettori canonici di cui sopra, quindi lo stato combinazione lineare sarà

$chi'=1/sqrt3 ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) )+1/sqrt3( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) )+1/sqrt3( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ) )$

Per il valore atteso semplicemente $ = = ( 1/sqrt3 \ \ 1/sqrt3 \ \ 1/sqrt3 ) barh( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) )( ( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ) )=0 $

(oppure detti $lambda$ gli autovalori potevo scrivere $ =sum_(i=1)^3lambda_iP(lambda_i)$ visto che siamo in ambito discreto). Da ciò, volendo, posso anche trovarmi l'incertezza sulla misurazione con

$sigma=sqrt( - ^2)$

Bene, questo è quanto... spero di non aver fatto errori banali. Ancora grazie infinite per tutte le spiegazioni e i chiarimenti, non oso immaginare quanto ci avrei messo per conto mio. Avanti col prossimo esame!

[Sk_Anonymous]

Sì mi pare tutto corretto.

Ad esempio nella c), quando fai la misura di $S_x$ sullo stato generico $(a,b,c)$ troveresti una cosa come

$ =\sqrt(2)b(a+c)$ .

E qui appare evidente che è un valore nullo sugli autostati di $S_z$ in quando solo un parametro è non nullo, valendo 1.

PS: Un paio di risposte sopra avevo scritto $S_(-1/2,1/2)=\sqrt(3)/2$ , in realtà vale 1 (come hai trovato tu scrivendo la matrice completa) devo aver fatto confusione con i segni. Giusto per chiarezza verso chi possa leggere