Ising model
Sto facendo un corso di meccanica statistica (circa) e abbiamo visto il Peierls argument
Dato un grafo finito \(G\), con vertici \(V\) e archi \(E\) e con \( \partial G \subseteq V\), L' Ising model è un assegnazione random dello spin \( \pm 1 \) su \( V \setminus \partial G \) in modo tale che al bordo gli spin sono fissati da una condizione di bordo \( b : \partial G \to \pm 1 \). e l'Ising model è una probabilità
\[ \{ \pm 1\}_b^{ \pm 1 } = \{ \sigma : \sigma(x) = b(x) , x \in \partial G \} \]
Dove \[ \mathbb{P}_{b,\beta}^{G} (\sigma) = \frac{e^{- \beta H(\sigma)}}{Z_{\beta} } \]
dove \(H\) è l'energia \[ H(\sigma) = - \sum_{ ij \in E } \sigma_i \sigma_j \]
\( \beta \) è la temperatura inversa e \( Z_{\beta} \) la funzione di partizione.
Teorema:
Se \( \beta > 0 \) è grande allora \[ \lim_{\delta \to 0} \mathbb{E}_{+,\beta}^{\Omega_{\delta}}[\sigma_0] > 0 \]
Dove \( + \) indica che \( b(x) = +1 \) per ogni \(x \in \partial G \), \( \Omega_{\delta} \) è una discretizzazione per una griglia quadrata con misura mesh \( \delta \) di un dominio \( \Delta \) che include lo zero.
e viceversa se
Se \( \beta > 0 \) è piccolo allora \[ \lim_{\delta \to 0} \mathbb{E}_{+,\beta}^{\Omega_{\delta}}[\sigma_0] = 0 \]
dove \( \sigma_0 \) è lo spin di \(0\).
La mia domanda è: questo risultato dipende da \(0\) oppure posso sostituire qualunque \( \sigma_x \) al posto di \( \sigma_0 \) ?
Dato un grafo finito \(G\), con vertici \(V\) e archi \(E\) e con \( \partial G \subseteq V\), L' Ising model è un assegnazione random dello spin \( \pm 1 \) su \( V \setminus \partial G \) in modo tale che al bordo gli spin sono fissati da una condizione di bordo \( b : \partial G \to \pm 1 \). e l'Ising model è una probabilità
\[ \{ \pm 1\}_b^{ \pm 1 } = \{ \sigma : \sigma(x) = b(x) , x \in \partial G \} \]
Dove \[ \mathbb{P}_{b,\beta}^{G} (\sigma) = \frac{e^{- \beta H(\sigma)}}{Z_{\beta} } \]
dove \(H\) è l'energia \[ H(\sigma) = - \sum_{ ij \in E } \sigma_i \sigma_j \]
\( \beta \) è la temperatura inversa e \( Z_{\beta} \) la funzione di partizione.
Teorema:
Se \( \beta > 0 \) è grande allora \[ \lim_{\delta \to 0} \mathbb{E}_{+,\beta}^{\Omega_{\delta}}[\sigma_0] > 0 \]
Dove \( + \) indica che \( b(x) = +1 \) per ogni \(x \in \partial G \), \( \Omega_{\delta} \) è una discretizzazione per una griglia quadrata con misura mesh \( \delta \) di un dominio \( \Delta \) che include lo zero.
e viceversa se
Se \( \beta > 0 \) è piccolo allora \[ \lim_{\delta \to 0} \mathbb{E}_{+,\beta}^{\Omega_{\delta}}[\sigma_0] = 0 \]
dove \( \sigma_0 \) è lo spin di \(0\).
La mia domanda è: questo risultato dipende da \(0\) oppure posso sostituire qualunque \( \sigma_x \) al posto di \( \sigma_0 \) ?
Risposte
[ot]"Statistica" e "circa" nella stessa frase mi sembra un connubio perfetto 
[/ot]
[/ot]
è vero però
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