Invarianza traccia rispetto SU (n)
Ciao a tutti! Considerando il gruppo di matrici SU (n),non riesco a capire perché se ho un tensore del tipo $ T^(ab)$ posso separarlo nella sua parte simmetrica e antisimmetrica ma non posso prendere la traccia per ridurlo ulteriormente.Le mie dispense dicono che non è possibile perché $ delta_(ab)$ non rimane invariato sotto l'azione del gruppo SU (n). Però se la traccia è uno scalare non dovrebbe rimanere invariato sempre?
Grazie mille per l'aiuto
Grazie mille per l'aiuto
Risposte
Prova a spiegare un po' meglio di cosa hai bisogno: non capisco cosa c'entri la traccia (di chi? Cosa vuoi ottenere dopo averla presa?)
Il fatto che un tensore di rango (0,2) si spezzi come somma della sua parte simmetrica e antisimmetrica segue dal fatto che la decomposizione in irriducibili del \(\text{GL}_n(\mathbb C)\)-modulo $V\otimes V$ è esattamente
\[\textstyle
V\otimes V\cong \text{Sym}^2(V)\oplus \bigwedge^2(V)
\] E' possibile ora (non ricordo, ho fatto teoria della rappresentazione molti anni fa, tra l'altro in un corso di fisica teorica, lol) che la rappresentazione si restringa a una rappresentazione di $SU(n)$ in modo tale che questa decomposizione venga preservata.
Il fatto che un tensore di rango (0,2) si spezzi come somma della sua parte simmetrica e antisimmetrica segue dal fatto che la decomposizione in irriducibili del \(\text{GL}_n(\mathbb C)\)-modulo $V\otimes V$ è esattamente
\[\textstyle
V\otimes V\cong \text{Sym}^2(V)\oplus \bigwedge^2(V)
\] E' possibile ora (non ricordo, ho fatto teoria della rappresentazione molti anni fa, tra l'altro in un corso di fisica teorica, lol) che la rappresentazione si restringa a una rappresentazione di $SU(n)$ in modo tale che questa decomposizione venga preservata.
Scusami, cerco di spiegarmi meglio.
Posso separare il tensore $ T^(ab)$ nella sua parte simmetrica $ S^(ab)$ e nella parte antisimmetrica $ A^(ab) $ ma non posso ulteriormente ridurre il tensore simmetrico sottraendo la traccia così definita $ S=delta_(ab) S^(ab) $. Le mie dispense per giustificare questo fatto recitano così: "si noti che non si posso prendere traccie per formare scalari su questi tensori (tensore simmetrico e antisimmetrico) perchè $delta_(ab)$ non è un tensore invariante per SU(N)". Io non riesco a capire perché ciò è dovuto al fatto che $delta_(ab)$ non rimane invariato, a me viene da pensare che la traccia, essendo definita come la contrazione di due indici in alto e due indici in basso, è uno scalare e quindi sempre invariante, indipendentemente dal fatto che $delta_(ab)$ rimane invariato o meno.
Sicuramente mi è sfuggito qualcosa ma non riesco proprio a capire.
Posso separare il tensore $ T^(ab)$ nella sua parte simmetrica $ S^(ab)$ e nella parte antisimmetrica $ A^(ab) $ ma non posso ulteriormente ridurre il tensore simmetrico sottraendo la traccia così definita $ S=delta_(ab) S^(ab) $. Le mie dispense per giustificare questo fatto recitano così: "si noti che non si posso prendere traccie per formare scalari su questi tensori (tensore simmetrico e antisimmetrico) perchè $delta_(ab)$ non è un tensore invariante per SU(N)". Io non riesco a capire perché ciò è dovuto al fatto che $delta_(ab)$ non rimane invariato, a me viene da pensare che la traccia, essendo definita come la contrazione di due indici in alto e due indici in basso, è uno scalare e quindi sempre invariante, indipendentemente dal fatto che $delta_(ab)$ rimane invariato o meno.
Sicuramente mi è sfuggito qualcosa ma non riesco proprio a capire.
Non ho idea di cosa possa significare; purtroppo è gergo da fisici, e il gergo da fisici è opera di secoli di ingegneria genetica atti a nascondere fatti matematici elementari. L'identità è ovviamente un elemento di SU(n), ma non credo sia questo ciò che loro intendono scrivere.
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