Invarianza di Lorentz

[Yak52]

Siccome da nessuna parte è mostrato che l'equazione delle onde elettromegnetiche è invariante per trasformazioni di lorentz (ma tutti lo affermano) ho provato a fare il calcolo, ma qualcosa non torna e vorrei capire dove sbaglio

allora l'equazione delle onde in questione è:

$(del^2\psi)/(delx^2)=1/c^2(del^2\psi)/(delt^2)$

e le trasformazioni di lorentz sono:

$x'=\gamma(x-vt)$
$t'=\gamma(t-v/(c^2)x)$

Poi ho verificato, a meno di errori:

$(del\psi)/(delx)=(del\psi)/(delx')(delx')/(delx)$

$(del\psi)/(delt)=(del\psi)/(delx')(delx')/(delt)+(del\psi)/(delt')(delt')/(delt)$

$(del^2\psi)/(delx^2)=(del^2\psi)/(delx'^2)((delx')/(delx))^2+(del\psi)/(delx')(del^2x')/(delx^2)$

$(del^2\psi)/(delt^2)=[(del^2\psi)/(delx'^2)(delx')/(delt)+(del^2\psi)/(delt'delx')(delt')/(delt)](delx')/(delt)+(del\psi)/(delx')(del^2x')/(delt^2)+[(del^2\psi)/(delx'delt')(delx')/(delt)+(del^2\psi)/(delt'^2)(delt')/(delt)](delt')/(delt)+(del\psi)/(delt')(del^2t')/(delt^2)$

Ora mettendo insieme il tutto risulta che

$(del^2\psi)/(delx'^2)=1/c^2[v^2(del^2\psi)/(delx'^2)-2v(del^2\psi)/(delt'delx')+(del^2\psi)/(delt'^2)]$

Il che mostra la presenza di 2 termini in più che non dovrebbero comparire (i primi 2 nella parentesi quadra) e non capisco dove ho sbagliato...
vi ringrazio se riuscite a svelarmi il mistero perchè sono assai afflitto.

[wedge]

mi verrebbe da pensare che avresti dovuto trasformare anche l'equazione delle onde, come $psi' = psi' (x', t')$ il che viene sicuramente a compensare i termini aggiuntivi.

la cosa più semplice sarebbe scrivere il tutto con lessico relativistico, ossia $[] psi = 0$ (vedi post scriptum) e $psi = F_(mu nu) exp[i (k x - \omega t) ]$

se no prova a confrontare con questo che è fatto col tuo sketch.
http://alumnus.caltech.edu/~dif/WaveEqnInvar/main.html

PS $[]$ è il box o d'alambertiano, che non riesco a scrivere \box come in latex

[Yak52]

Forse grazie al tuo link ho capito l'errore. Ho fatto le derivate pensando a $\psi(x',t')$ ma non ho sbadatamente tenuto conto del fatto che $t'=t'(x,t)$ dipende oltre che da t, anche da x... cavoli mi sa che è proprio questo l'errore!

Ora però la mia volgia è lungi dal fare tutti i calcoli...

Per quanto riguarda il lessico relativistico so che è più comodo, ma la mia intenzione era quella di mostrare la cosa ad un mio amico ingegnere che mi fucila se gli mostro un tensore o un quadrivettore!

Grazie per la risposta, appena avrò tempo e voglia farò il conto e dirò se viene corretto!

[Eredir]

La parte più lunga è scrivere quella derivata seconda, per il resto sono solo semplici sostituzioni.

Svolgiamo la derivata rispetto alla posizione
$(del^2\psi)/(delx^2) = [(del^2\psi')/(delx'^2)(delx')/(delx) + (del^2\psi')/(delt'delx')(delt')/(delx)](delx')/(delx) + (del\psi')/(delx')(del^2x')/(delx^2) + [(del^2\psi')/(delx'delt')(delx')/(delx) + (del^2\psi')/(delt'^2)(delt')/(delx)](delt')/(delx) + (del\psi')/(delt')(del^2t')/(delx^2)$
$ = [(del^2\psi')/(delx'^2)\gamma + (del^2\psi')/(delt'delx')(-v/c^2)]\gamma + [(del^2\psi')/(delx'delt')\gamma + (del^2\psi')/(delt'^2)(-v/c^2)](-v/c^2)$
$ = \gamma^2(del^2\psi')/(delx'^2) - 2{\gammav}/c^2(del^2\psi')/(delx'delt') + {v^2}/{c^4}(del^2\psi')/(delt'^2)$

Svolgiamo la derivata rispetto al tempo
$(del^2\psi)/(delt^2) = [(del^2\psi')/(delx'^2)(delx')/(delt) + (del^2\psi')/(delt'delx')(delt')/(delt)](delx')/(delt) + (del\psi')/(delx')(del^2x')/(delt^2) + [(del^2\psi')/(delx'delt')(delx')/(delt) + (del^2\psi')/(delt'^2)(delt')/(delt)](delt')/(delt) + (del\psi')/(delt')(del^2t')/(delt^2)$
$ = [(del^2\psi')/(delx'^2)(-\gammav) + (del^2\psi')/(delt'delx')\gamma](-\gammav) + [(del^2\psi')/(delx'delt')(-\gammav) + (del^2\psi')/(delt'^2)\gamma]\gamma$
$ = \gamma^2v^2(del^2\psi')/(delx'^2) - 2\gamma^2v(del^2\psi')/(delx'delt') + \gamma^2(del^2\psi')/(delt'^2)$

Sostituendo il tutto abbiamo
$\gamma^2(del^2\psi')/(delx'^2) - 2{\gammav}/c^2(del^2\psi')/(delx'delt') + {v^2}/{c^4}(del^2\psi')/(delt'^2) = {\gamma^2v^2}/{c^2}(del^2\psi')/(delx'^2) - {2\gamma^2v}/{c^2}(del^2\psi')/(delx'delt') + {\gamma^2}/{c^2}(del^2\psi')/(delt'^2)$

Eliminando e raccogliendo otteniamo
$\gamma^2(1 - v^2/c^2)(del^2\psi')/(delx'^2) = {\gamma^2}/{c^2}(1 - v^2/c^2)(del^2\psi')/(delt'^2)$

Usando infine $gamma^2 = (1 - v^2/c^2)^{-1}$ arriviamo a
$(del^2\psi')/(delx'^2) = 1/{c^2}(del^2\psi')/(delt'^2)$

[Yak52]

Esatto... ti ringrazio per il calcolo, davvero volenteroso!

ciaooo