Interpretazione Lavoro/Forza
Vi pongo un dilemma sull'interpretazione di alcune formule derivabili dalle definizioni di forza e di lavoro.
Ora, la forza è definita come $ vec(F) = m*vec(a) $ , dunque si dice che una forza è di un Newton quando applicata a un corpo di massa 1Kg provoca in esso un accelerazione di $ 1m/s^(2) $; viceversa posso dunque definire che un corpo ha massa 1Kg se, sottoposto a una forza di 1N, si muove di $ 1 m/s^(2) $.
Partendo poi dalla definizione di lavoro come $ vec(L) = vec(F) xx vec(s) $, facendo la formula inversa posso raggiungere una definizione di forza come quantità di lavoro che bisogna compiere per spostare il suo punto di applicazione di un metro (qui il primo dilemma: essendoci il quoziente, come esprimo in formula il prodotto vettoriale?).
Se queste definizioni sono corrette (lo sono?), e sapendo che il peso percepito da una bilancia è dato da $ P = mg $, posso con pochi passaggi giungere alla conclusione che:
$ P = m*g = vec(F)/vec(a) * g = (vec(L)/vec(delta d)) * 1/vec(a) * g = vec(L)/(vec(v)^(2)) * g $
Posto che sono quasi certo di aver fatto qualche pastrocchio con i simboli di vettore e non che richiederei cortesemente di farmi notare, ho delle difficoltà nell'interpretazione di questo risultato! Il peso percepito è in pratica una forza percepita, che quindi è misurabile come il prodotto tra l'accelerazione di gravità, e la quantità di lavoro che è necessario compiere per imprimere al corpo che si stà misurando un movimento di $ 1m^(2)/s^(2) $?? Ho l'impressione che ci sia qualcosa che non va!
La questione è sorta ragionando su un problema che richiede il peso misurato da una bilancia riguardo corpi che cadevano su di essa da determinate altezze.
Ringrazio in anticipo per le risposte!
Ora, la forza è definita come $ vec(F) = m*vec(a) $ , dunque si dice che una forza è di un Newton quando applicata a un corpo di massa 1Kg provoca in esso un accelerazione di $ 1m/s^(2) $; viceversa posso dunque definire che un corpo ha massa 1Kg se, sottoposto a una forza di 1N, si muove di $ 1 m/s^(2) $.
Partendo poi dalla definizione di lavoro come $ vec(L) = vec(F) xx vec(s) $, facendo la formula inversa posso raggiungere una definizione di forza come quantità di lavoro che bisogna compiere per spostare il suo punto di applicazione di un metro (qui il primo dilemma: essendoci il quoziente, come esprimo in formula il prodotto vettoriale?).
Se queste definizioni sono corrette (lo sono?), e sapendo che il peso percepito da una bilancia è dato da $ P = mg $, posso con pochi passaggi giungere alla conclusione che:
$ P = m*g = vec(F)/vec(a) * g = (vec(L)/vec(delta d)) * 1/vec(a) * g = vec(L)/(vec(v)^(2)) * g $
Posto che sono quasi certo di aver fatto qualche pastrocchio con i simboli di vettore e non che richiederei cortesemente di farmi notare, ho delle difficoltà nell'interpretazione di questo risultato! Il peso percepito è in pratica una forza percepita, che quindi è misurabile come il prodotto tra l'accelerazione di gravità, e la quantità di lavoro che è necessario compiere per imprimere al corpo che si stà misurando un movimento di $ 1m^(2)/s^(2) $?? Ho l'impressione che ci sia qualcosa che non va!
La questione è sorta ragionando su un problema che richiede il peso misurato da una bilancia riguardo corpi che cadevano su di essa da determinate altezze.
Ringrazio in anticipo per le risposte!
Risposte
Per lo scambio di simboli $v$ $w$ è colpa mia, nella formula avevo assunto $v$ come velocità del cilindro. Come hai detto però basta sostituire $w$ a $v$, il resto rimane tutto come prima ovviamente.
Per l'ultimo punto credo si voglia far riflettere su una cosa diversa.
Se il cilindro ha velocità molto bassa rispetto alle particelle è come se di fatto fosse fermo.
Ovviamente se le particelle avessero tutte velocità $v$ uguale in modulo direzione e verso diretta verso una delle facce del cilindro , tutto va come il caso precedente in cui sono le particelle ferme.
Qui però è molto più realistico e interessante considerare quella velocità $v$ come una media della velocità solo in modulo e fare delle considerazioni su che "cosa" provocherà l'impatto delle particelle sul cilindro (considerazioni e calcoli simili a quelli che si fanno nella teoria cinetica dei gas).
Almeno se avessi scritto io il problema mi aspetterei quello.....
Per l'ultimo punto credo si voglia far riflettere su una cosa diversa.
Se il cilindro ha velocità molto bassa rispetto alle particelle è come se di fatto fosse fermo.
Ovviamente se le particelle avessero tutte velocità $v$ uguale in modulo direzione e verso diretta verso una delle facce del cilindro , tutto va come il caso precedente in cui sono le particelle ferme.
Qui però è molto più realistico e interessante considerare quella velocità $v$ come una media della velocità solo in modulo e fare delle considerazioni su che "cosa" provocherà l'impatto delle particelle sul cilindro (considerazioni e calcoli simili a quelli che si fanno nella teoria cinetica dei gas).
Almeno se avessi scritto io il problema mi aspetterei quello.....
Giusto, è probabilmente sottinteso che le particelle hanno direzioni e versi casuali... posso allora considerare che in media un quarto delle particelle incontrate impatteranno la faccia del cilindro... però non sarebbe a questo punto necessario definire una sorta di "area" in cui è presente il gas? considerando praticamente fermo il cilindro rispetto alle particelle è come se dovessi calcolare il numero di particelle presenti in un dato volume V che vanno ad impattare contro una superficie fissa S; la superficie è in questo caso ovviamente la sezione del cilindro, ma il volume V è ignoto; senza considerare poi che in teoria dovrebbero a questo punto essere possibili anche urti contro le superfici laterali del cilindro, che andrebbero però mediamente ad annullarsi se la sezione del volume in cui sono contenute le particelle (assumendo che le particelle siano contenute in un parallelepipedo regolare) parallela a quella del cilindro è simmetrica rispetto all'asse del cilindro. Si aspetterebbe un ragionamento di questo genere?
Ad ogni modo, anche non essendo quelle le specifiche richieste del problema, le considerazioni che ho fatto in precedenza (riguardo gli scenari possibili di impatto con le particelle molto più veloci) in cosa non sono corrette?
Ad ogni modo, anche non essendo quelle le specifiche richieste del problema, le considerazioni che ho fatto in precedenza (riguardo gli scenari possibili di impatto con le particelle molto più veloci) in cosa non sono corrette?
Le considerazioni che hai fatto più che non andare bene non sono inerenti e non ti portano a nulla inoltre non ha senso dire quanto "molto maggiore" e quanto "molto minore" e fare quelle distinzioni tra scenari possibili.
Massa molto maggiore del cilindro significa che nessuna particella per quanto veloce può alterare da sola la velocità del cilindro e velocità molto maggiore dell'altra significa che una delle due velocità può essere posta nulla in alcune considerazioni, tutto qua.
Per l'ultimo punto se solo la velocità media delle particelle in modulo è data, significa che mediamente c'è una certa quantità di particelle che va a impattare una frazione $Delta S$ delle facce cilindro.
Questa quantità dipende dalla densità delle particelle contenute nell'unità di volume.
E' possibile fare delle considerazioni e calcolare, data una frazione di faccia $Delta S$ del cilindro, quante particelle fanno a impattare e quanto vale la forza netta causata da questo.
Il punto è che questo vale per ogni faccia per cui la risultante di queste forze sul cilindro sarà nulla. Quello che provocano queste particelle è una pressione uguale su tutto il cilindro.
In pratica è il meccanismo che "causa" la pressione atmosferica.
Come ti accennavo la teoria cinetica dei gas usa un modello analogo a questo per legare la pressione dovuta ad una gas alla temperatura che a sua volta è un indice della velocità media delle particelle del gas.
Quindi se il cilindro fosse perfettamente fermo la forza netta è zero.
Se il cilindro però si muove, a velocità $w$ molto bassa, il ragionamento fatto all'inizio (con particelle ferme) vale ancora solo che il numero di particelle che va a impattare la faccia del cilindro è da considerarsi ora come numero di particelle "in più" rispetto alle altre facce, ma la velocità di queste particelle "in più" che impattano è da considerarsi in modulo mediamente pari a $v$.
Per cui la forza netta sul cilindro sarebbe (ipotesi di urto elastico delle particelle) ${2 m(S w Delta t n) v_x }/(Delta t) = 2 m S n w v_x $, dove tra parentesi c'è il numero di particelle un più che impatta e $v_x=sqrt(1/3 v^2)$ dato che $v_x$ è la velocità normale alla faccia del cilindro e mediamente contribuisce per un terzo al modulo della velocità.
Insomma nel primo caso nell'ipotesi di particelle "quasi" ferme la forza di attrito risulterebbe proporzionale al quadrato della velocità del cilindro, nel secondo caso invece nell'ipotesi di velocità molto bassa del cilindro varierebbe linearmente con la velocità del cilindro e sarebbe dipendente dalla velocità media delle particelle del gas, quindi dalla temperatura del gas.
Comunque se fai il liceo deve essere un bel liceo, ai miei tempi questi argomenti non venivano affrontati per nulla.
Massa molto maggiore del cilindro significa che nessuna particella per quanto veloce può alterare da sola la velocità del cilindro e velocità molto maggiore dell'altra significa che una delle due velocità può essere posta nulla in alcune considerazioni, tutto qua.
Per l'ultimo punto se solo la velocità media delle particelle in modulo è data, significa che mediamente c'è una certa quantità di particelle che va a impattare una frazione $Delta S$ delle facce cilindro.
Questa quantità dipende dalla densità delle particelle contenute nell'unità di volume.
E' possibile fare delle considerazioni e calcolare, data una frazione di faccia $Delta S$ del cilindro, quante particelle fanno a impattare e quanto vale la forza netta causata da questo.
Il punto è che questo vale per ogni faccia per cui la risultante di queste forze sul cilindro sarà nulla. Quello che provocano queste particelle è una pressione uguale su tutto il cilindro.
In pratica è il meccanismo che "causa" la pressione atmosferica.
Come ti accennavo la teoria cinetica dei gas usa un modello analogo a questo per legare la pressione dovuta ad una gas alla temperatura che a sua volta è un indice della velocità media delle particelle del gas.
Quindi se il cilindro fosse perfettamente fermo la forza netta è zero.
Se il cilindro però si muove, a velocità $w$ molto bassa, il ragionamento fatto all'inizio (con particelle ferme) vale ancora solo che il numero di particelle che va a impattare la faccia del cilindro è da considerarsi ora come numero di particelle "in più" rispetto alle altre facce, ma la velocità di queste particelle "in più" che impattano è da considerarsi in modulo mediamente pari a $v$.
Per cui la forza netta sul cilindro sarebbe (ipotesi di urto elastico delle particelle) ${2 m(S w Delta t n) v_x }/(Delta t) = 2 m S n w v_x $, dove tra parentesi c'è il numero di particelle un più che impatta e $v_x=sqrt(1/3 v^2)$ dato che $v_x$ è la velocità normale alla faccia del cilindro e mediamente contribuisce per un terzo al modulo della velocità.
Insomma nel primo caso nell'ipotesi di particelle "quasi" ferme la forza di attrito risulterebbe proporzionale al quadrato della velocità del cilindro, nel secondo caso invece nell'ipotesi di velocità molto bassa del cilindro varierebbe linearmente con la velocità del cilindro e sarebbe dipendente dalla velocità media delle particelle del gas, quindi dalla temperatura del gas.
Comunque se fai il liceo deve essere un bel liceo, ai miei tempi questi argomenti non venivano affrontati per nulla.
Quindi il mio errore è stato fondamentalmente il considerare che le particelle si trovassero in una sorta di "volume chiuso" sotto il cilindro, mentre effettivamente sarebbe più logico considerare il cilindro come immerso in in una nube di particelle, quindi, interpretando la tua formula: il tra parentesi come hai detto è il numero di particelle impattate che "disequilibriano" la situazione media delle particelle che invece impattano simmetricamente tutti i lati del cilindro. Il fattore "2" aggiunto è perché trattiamo il caso di urto elastico e dunque come abbiamo detto prima le particelle "rimbalzano", variando la propria velocità di una quantità pari al doppio di quella che possedevano inizialmente, che era v_x, ovvero la componente normale alla faccia del cilindro. Ovviamente questa è mediamente pari a un terzo della velocità totale, come si ricava sapendo che $(v_x)^(2) + (v_y)^(2) + (v_z)^(2) = v^(2) rarr 3*(v_x)^(2) = v^(2) rarr (v_x)^(2) = (v^(2))/3 $.
Se considerassimo invece il caso dell'urto completamente anelastico basterebbe togliere il fattore 2, quindi.
Tutto corretto?
Le conclusioni sono come minimo interessanti; e grazie per il tempo dedicatomi!
Neanche da me questi argomenti vengono affrontati non è cambiato molto temo! =) Sono io che mi interesso un po' perché sto cominciando a studiare la fisica universitaria di mio (cominciato da poco ad approcciare Fisica2 per comprendere meglio tutti quei fenomeni elettromagnetici che fatti a scuola hanno un sapore decisamente più insipido e molto meno elegante! La fisica fatta senza derivate e integrali a un che di disarmonico) e parecchio di più (riguardo questi esercizi cui mi sto dedicando) per i test d'ammissione all'università. Magari avessi potuto affrontare in questo modo le cose anche a scuola!
Se considerassimo invece il caso dell'urto completamente anelastico basterebbe togliere il fattore 2, quindi.
Tutto corretto?
Le conclusioni sono come minimo interessanti; e grazie per il tempo dedicatomi!
Neanche da me questi argomenti vengono affrontati non è cambiato molto temo! =) Sono io che mi interesso un po' perché sto cominciando a studiare la fisica universitaria di mio (cominciato da poco ad approcciare Fisica2 per comprendere meglio tutti quei fenomeni elettromagnetici che fatti a scuola hanno un sapore decisamente più insipido e molto meno elegante! La fisica fatta senza derivate e integrali a un che di disarmonico) e parecchio di più (riguardo questi esercizi cui mi sto dedicando) per i test d'ammissione all'università. Magari avessi potuto affrontare in questo modo le cose anche a scuola!
"Pdirac":
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Tutto corretto?
Le conclusioni sono come minimo interessanti; e grazie per il tempo dedicatomi!
Mi sembra tutto corretto.
Prego e complimenti per lo sforzo e la passione. Tra l'altro la parola studio deriva dal latino studium che vuol dire anche passione
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