Interpretazione Lavoro/Forza
Vi pongo un dilemma sull'interpretazione di alcune formule derivabili dalle definizioni di forza e di lavoro.
Ora, la forza è definita come $ vec(F) = m*vec(a) $ , dunque si dice che una forza è di un Newton quando applicata a un corpo di massa 1Kg provoca in esso un accelerazione di $ 1m/s^(2) $; viceversa posso dunque definire che un corpo ha massa 1Kg se, sottoposto a una forza di 1N, si muove di $ 1 m/s^(2) $.
Partendo poi dalla definizione di lavoro come $ vec(L) = vec(F) xx vec(s) $, facendo la formula inversa posso raggiungere una definizione di forza come quantità di lavoro che bisogna compiere per spostare il suo punto di applicazione di un metro (qui il primo dilemma: essendoci il quoziente, come esprimo in formula il prodotto vettoriale?).
Se queste definizioni sono corrette (lo sono?), e sapendo che il peso percepito da una bilancia è dato da $ P = mg $, posso con pochi passaggi giungere alla conclusione che:
$ P = m*g = vec(F)/vec(a) * g = (vec(L)/vec(delta d)) * 1/vec(a) * g = vec(L)/(vec(v)^(2)) * g $
Posto che sono quasi certo di aver fatto qualche pastrocchio con i simboli di vettore e non che richiederei cortesemente di farmi notare, ho delle difficoltà nell'interpretazione di questo risultato! Il peso percepito è in pratica una forza percepita, che quindi è misurabile come il prodotto tra l'accelerazione di gravità, e la quantità di lavoro che è necessario compiere per imprimere al corpo che si stà misurando un movimento di $ 1m^(2)/s^(2) $?? Ho l'impressione che ci sia qualcosa che non va!
La questione è sorta ragionando su un problema che richiede il peso misurato da una bilancia riguardo corpi che cadevano su di essa da determinate altezze.
Ringrazio in anticipo per le risposte!
Ora, la forza è definita come $ vec(F) = m*vec(a) $ , dunque si dice che una forza è di un Newton quando applicata a un corpo di massa 1Kg provoca in esso un accelerazione di $ 1m/s^(2) $; viceversa posso dunque definire che un corpo ha massa 1Kg se, sottoposto a una forza di 1N, si muove di $ 1 m/s^(2) $.
Partendo poi dalla definizione di lavoro come $ vec(L) = vec(F) xx vec(s) $, facendo la formula inversa posso raggiungere una definizione di forza come quantità di lavoro che bisogna compiere per spostare il suo punto di applicazione di un metro (qui il primo dilemma: essendoci il quoziente, come esprimo in formula il prodotto vettoriale?).
Se queste definizioni sono corrette (lo sono?), e sapendo che il peso percepito da una bilancia è dato da $ P = mg $, posso con pochi passaggi giungere alla conclusione che:
$ P = m*g = vec(F)/vec(a) * g = (vec(L)/vec(delta d)) * 1/vec(a) * g = vec(L)/(vec(v)^(2)) * g $
Posto che sono quasi certo di aver fatto qualche pastrocchio con i simboli di vettore e non che richiederei cortesemente di farmi notare, ho delle difficoltà nell'interpretazione di questo risultato! Il peso percepito è in pratica una forza percepita, che quindi è misurabile come il prodotto tra l'accelerazione di gravità, e la quantità di lavoro che è necessario compiere per imprimere al corpo che si stà misurando un movimento di $ 1m^(2)/s^(2) $?? Ho l'impressione che ci sia qualcosa che non va!
La questione è sorta ragionando su un problema che richiede il peso misurato da una bilancia riguardo corpi che cadevano su di essa da determinate altezze.
Ringrazio in anticipo per le risposte!
Risposte
Ciao.
Tieni presente che il lavoro è uno scalare non un vettore.
Una semplice definizione:
$ L= vec (F) * vec (S) $
$ L = F * S cos alpha $
F ed S in modulo
alfa è l'angolo compreso tra le grandezze vettoriali.
Cortesemente cosa studi ? ( Puoi anche non rispondere.)
Tieni presente che il lavoro è uno scalare non un vettore.
Una semplice definizione:
$ L= vec (F) * vec (S) $
$ L = F * S cos alpha $
F ed S in modulo
alfa è l'angolo compreso tra le grandezze vettoriali.
Cortesemente cosa studi ? ( Puoi anche non rispondere.)
Liceo scientifico.
Si hai ragione me l'ero persa!
Riguardo il resto?
Si hai ragione me l'ero persa!
Riguardo il resto?
"Pdirac":
Vi pongo un dilemma sull'interpretazione di alcune formule derivabili dalle definizioni di forza e di lavoro.
.................omissis per brevità............................
Se queste definizioni sono corrette (lo sono?), e sapendo che il peso percepito da una bilancia è dato da $ P = mg $, posso con pochi passaggi giungere alla conclusione che:
$ P = m*g = vec(F)/vec(a) * g = (vec(L)/vec(delta d)) * 1/vec(a) * g = vec(L)/(vec(v)^(2)) * g $
Ringrazio in anticipo per le risposte!
Un suggerimento poi continua tu : se al posto della "massa m" sostituisci il rapporto tra forza e accelerazione e moltiplichi per "g" ( accelerazione di gravità nel sistema terrestre) l'accelerazione da te indicata genericamente con a è di nuovo "g"
Devi riguardare poi le definizioni relative alle grandezze fondamentali e derivate e vedrai che risolverai da solo il dilemma.
Ciao per ora.
Ok, ma generalizzando un corpo di massa m
$m=F/a = L/s * 1/a = L/s * t^(2)/s = L/v^(2)$
In questo caso il lavoro è quello applicato al corpo, mentre la velocità quella che il corpo acquista? O anche in questo caso il procedimento è errato?
Se io considero un sistema costituito da una bilancia, su cui cade un corpo di massa m da un'altezza h, per ottenere il peso misurato dalla bilancia è corretto il considerare, data la conservazione dell'energia, che tutta l'energia potenziale gravitazionale del corpo si trasferisce come lavoro applicato al piatto della bilancia? Ma a questo punto come ottengo la forza misurata dalla bilancia? Se $P=m*g$, è come se ci fosse una "massa aggiunta" da considerare o cosa?
$m=F/a = L/s * 1/a = L/s * t^(2)/s = L/v^(2)$
In questo caso il lavoro è quello applicato al corpo, mentre la velocità quella che il corpo acquista? O anche in questo caso il procedimento è errato?
Se io considero un sistema costituito da una bilancia, su cui cade un corpo di massa m da un'altezza h, per ottenere il peso misurato dalla bilancia è corretto il considerare, data la conservazione dell'energia, che tutta l'energia potenziale gravitazionale del corpo si trasferisce come lavoro applicato al piatto della bilancia? Ma a questo punto come ottengo la forza misurata dalla bilancia? Se $P=m*g$, è come se ci fosse una "massa aggiunta" da considerare o cosa?
Il problema, così come lo descrivi tu, è espresso male.
Penso si debba supporre che la bilancia sia una bilancia "a molla" quindi calcolare la massima compressione della molla dovuta all'energia cinetica (o potenziale iniziale) del corpo e eguagliare tale compressione a quella data dal peso incognito (statico) $P=kx$. Mancherebbe però un dato: la costante della molla, o un altro dato equivalente.
Non è possibile infatti eguagliare un peso, che è una forza, con un'energia in maniera generale.
Penso si debba supporre che la bilancia sia una bilancia "a molla" quindi calcolare la massima compressione della molla dovuta all'energia cinetica (o potenziale iniziale) del corpo e eguagliare tale compressione a quella data dal peso incognito (statico) $P=kx$. Mancherebbe però un dato: la costante della molla, o un altro dato equivalente.
Non è possibile infatti eguagliare un peso, che è una forza, con un'energia in maniera generale.
Posto per chiarezza l'intero problema (posto che comunque sarei curioso di sapere se la massa è relazionabile al lavoro e alla velocità come dalla formula espressa prima)
Una clessidra di altezza totale 2 h e massa a vuoto M con dentro una massa m di
sabbia viene messa su una bilancia. Inizialmente la sabbia è a riposo nella parte
superiore e al tempo t = 0 comincia a cadere.
Si calcoli cosa segna la bilancia dal tempo t = 0 al momento in cui l’ultimo granello
è sceso alla base della clessidra e se ne disegni un grafico.
Si supponga che ogni granello di sabbia faccia un salto di altezza h e si fermi
istantaneamente alla base della clessidra e che la massa di sabbia che cade per
unità di tempo sia costante e pari a l = dm/dt.
Una clessidra di altezza totale 2 h e massa a vuoto M con dentro una massa m di
sabbia viene messa su una bilancia. Inizialmente la sabbia è a riposo nella parte
superiore e al tempo t = 0 comincia a cadere.
Si calcoli cosa segna la bilancia dal tempo t = 0 al momento in cui l’ultimo granello
è sceso alla base della clessidra e se ne disegni un grafico.
Si supponga che ogni granello di sabbia faccia un salto di altezza h e si fermi
istantaneamente alla base della clessidra e che la massa di sabbia che cade per
unità di tempo sia costante e pari a l = dm/dt.
"Pdirac":
Posto per chiarezza l'intero problema (posto che comunque sarei curioso di sapere se la massa è relazionabile al lavoro e alla velocità come dalla formula espressa prima)
Una clessidra di altezza totale 2 h e massa a vuoto M con dentro una massa m di
sabbia viene messa su una bilancia. Inizialmente la sabbia è a riposo nella parte
superiore e al tempo t = 0 comincia a cadere.
Si calcoli cosa segna la bilancia dal tempo t = 0 al momento in cui l’ultimo granello
è sceso alla base della clessidra e se ne disegni un grafico.
Si supponga che ogni granello di sabbia faccia un salto di altezza h e si fermi
istantaneamente alla base della clessidra e che la massa di sabbia che cade per
unità di tempo sia costante e pari a l = dm/dt.
Infatti il problema è ben diverso da un peso che cade su una bilancia come avevi scritto. La sabbia infatti è da considerarsi come un flusso continuo che impatta sul fondo della clessidra quindi genera una forza costante.
Perché e come calcolare tale forza?
Sappiamo che la forza è pari alla derivata della quantità di moto rispetto al tempo.
La variazione della quantità di moto della massa nel tempo $Delta t$ è $dot m*Delta t*v$, per fare la derivata basta dividere per $Delta t$ e fare il limiite per $Delta t$ che tende a zero ottenendo $dot m*v$ dove $dot m$ è la portata di sabbia $(dm)/(dt)$.
Se hai un peso invece non puoi fare lo stesso, perché potresti solo calcolare l'impulso ma non ricondurlo ad una forza senza altri dati.
Le altre considerazioni e risposte al problema le lascio a te.
Grazie mille! Come al solito la risposta giusta è anche la più semplice.
Giusto un chiariment sulla questione della relazione che avevo postato precedentemente tra lavoro e massa... c'é qualche principio particolare per cui non si possono eguagliare misure di energia e di forza?
Riguardo il problema poi: Ho raggiunto dunque che
$vec(F)=(delta m)/(delta t) * vec(v) = I * vec(v)$ (sono giusti i segni di vettore?).
Con le leggi orarie so che $t=root(2)(((2*s)/g))$, da cui $vec(v) = vec(g)t = root(2)((2*s*vec(g)))$
Quindi la forza è:
$vec(F) = I * sqrt(2*s*vec(g))$
Tutto giusto fino a qui (segni di vettore &c)?
Ora l'ultima cosa è la rappresentazione grafica, e non sono sicuro al 100% su questo...
Nell'istante t=0 P=(M+m)g;
Cominciando a cadere, nell'intervallo di tempo in cui la caduta inizia al momento $t=sqrt(((2*s)/a))$ il peso dovrebbe essere inferiore di una quantità pari alla massa che si sta "liberando" nella parte superiore della clessidra, dunque dovrebbe esserci una relazione per cui in questo piccolo intervallo di tempo il peso diminuisce in modo regolare (la quantità liberata è sempre di più con lo scorrere del tempo), fino al momento sopra citato in cui il flusso di sabbia arriva a terra. Ora, da questo momento a quando la sabbia che sta sopra esaurisce il peso rimane costante, per poi tornare gradualmente al peso iniziale in un arco di tempo pari a quello impiegato dall'ultimo granello di sabbia della sezione superiore ad arrivare a terra (lo stesso intervallo di tempo iniziale).
E' corretto?
Giusto un chiariment sulla questione della relazione che avevo postato precedentemente tra lavoro e massa... c'é qualche principio particolare per cui non si possono eguagliare misure di energia e di forza?
Riguardo il problema poi: Ho raggiunto dunque che
$vec(F)=(delta m)/(delta t) * vec(v) = I * vec(v)$ (sono giusti i segni di vettore?).
Con le leggi orarie so che $t=root(2)(((2*s)/g))$, da cui $vec(v) = vec(g)t = root(2)((2*s*vec(g)))$
Quindi la forza è:
$vec(F) = I * sqrt(2*s*vec(g))$
Tutto giusto fino a qui (segni di vettore &c)?
Ora l'ultima cosa è la rappresentazione grafica, e non sono sicuro al 100% su questo...
Nell'istante t=0 P=(M+m)g;
Cominciando a cadere, nell'intervallo di tempo in cui la caduta inizia al momento $t=sqrt(((2*s)/a))$ il peso dovrebbe essere inferiore di una quantità pari alla massa che si sta "liberando" nella parte superiore della clessidra, dunque dovrebbe esserci una relazione per cui in questo piccolo intervallo di tempo il peso diminuisce in modo regolare (la quantità liberata è sempre di più con lo scorrere del tempo), fino al momento sopra citato in cui il flusso di sabbia arriva a terra. Ora, da questo momento a quando la sabbia che sta sopra esaurisce il peso rimane costante, per poi tornare gradualmente al peso iniziale in un arco di tempo pari a quello impiegato dall'ultimo granello di sabbia della sezione superiore ad arrivare a terra (lo stesso intervallo di tempo iniziale).
E' corretto?
"Pdirac":
[...]
E' corretto?
Tutto corretto mi pare.
Solo una precisazione: il peso durante lo svuotamento da quando la prima sabbia tocca il fondo della clessidra alla partenza dell'ultimo granello rimane costante ma pari al peso totale meno il peso della sabbia in aria più il peso dato dal flusso di sabbia che preme sul fondo della clessidra, quando poi inizia a cadere l'ultimo granello il peso inizia ad aumentare perché la sabbia che era in aria si deposita, ma appena l'ultimo granello tocca terra il peso torna pari al solo peso totale senza più il contributo della forza della sabbia che cade.
Per quanto riguarda la questione tra energia e forza non capisco quale sia il tuo dubbio... sono due entità differenti, è ovvio che esistono relazioni tra loro ma non esiste un'equivalenza.
Se con forza e energia ti pare strano pensa all'analogo tra velocità e energia : se hai un corpo di massa $m$ alla velocità $v$ la sua energia cinetica è $1/2 m v^2$ , ma questo non significa che puoi convertire un'energia in una velocità e viceversa....
Che non esiste un'equivalenza ok, ma essendo relazionabili perché non posso dire che dato che $vec(F)=vec(L) xx vec(s)^(-1)$ (come si fa l'inversa dei prodotti vettoriali? 
) e che $m = F/a$ (qui forza e accelerazione sono vettori... come mai ne deriva uno scalare??) allora $m = L/s * 1/a$ (a questo punto non so più come metterli i vettori :s) ?
) e che $m = F/a$ (qui forza e accelerazione sono vettori... come mai ne deriva uno scalare??) allora $m = L/s * 1/a$ (a questo punto non so più come metterli i vettori :s) ?
"Pdirac":
::::omissis:::::::::::::::::::::::::::: $vec(F)=vec(L) xx vec(s)^(-1)$ (come si fa l'inversa dei prodotti vettoriali?
......non si fa...in questo caso....anche perchè non si tratta di un prodotto vettoriale.Il lavoro ( e l'energia in genere), sebbene relazionabile alla forza non è un vettore........come già detto. Infatti si ricava dal prodotto scalare forza per spostamento ...la forza deve agire nella direzione dello spostamento...infatti se tu sollevi una valigia da terra e poi percorri un chilometro, dal punto di vista fisico compi lavoro solo nel sollevamento non nel trasporto (
ciò non impedisce ai muscoli di stancarsi ma questo è dovuto alla tensione muscolare necessaria per equilibrare la forza di gravità e mantenere la stessa quota alla valigia.... ).Ciao.
"Pdirac":
Che non esiste un'equivalenza ok, ma essendo relazionabili perché non posso dire che dato che $vec(F)=vec(L) xx vec(s)^(-1)$ (come si fa l'inversa dei prodotti vettoriali?
Tutto puoi dire e tutto puoi mettere in relazione, ma non devi giocare con le formule perdendo di vista il significato di quel che fai.
L'esempio che fai in formule (a parte l'errore nella definizione di lavoro che è un prodotto scalare non vettoriale) potrebbe tradursi così: se su una massa $m$ è compiuto un lavoro $L$ da un forza $vec(F)$ che agisce sul corpo spostandolo di $Delta vec s$ e sul corpo non agiscono altre forze oltre la $vec(F)$ allora la massa del corpo sarà pari a $L/(|Delta vec(s)|cos(alpha))*1/|vec a|$ ($alpha$ è l'angolo tra il vettore forza e spostamento e $vec a$ è l'accelerazione prodotta dalla forza. )
Ignorando la mia perseveranza nell'errore del considerare il lavoro un prodotto vettoriale (il mio cervello deve esserne convinto non so bene perché)... =P.
Hai ragione, infatti è proprio il significato che voglio comprendere bene =); quindi in quella formulazione non è semplicemente possibile unificare le due "componenti spaziali" (si può dire così?)... solo che, essendo riferite allo stesso corpo e al suo moto, non capisco perché: $Delta vec(s)$ è lo spostamento che è impresso al corpo dalla forza, mentre $vec(a)$ l'accelerazione che allo stesso corpo è impressa dalla stessa forza. E' forse perché questa accelerazione è riferita a un istante diverso rispetto a s?, intendo dire: in che momento il corpo risulta possedere un accelerazione $vec(a)$? Suppongo quando smette di agire sul corpo la forza F, dunque dopo che il corpo ha percorso uno spazio $Delta vec(s)$?
Interpretando la formula in questo modo, è come se avessimo raggruppato due momenti diversi insieme, in cui uno (lo spostamento provocato dalla forza) precede l'altro (l'accelerazione definitivamente impressa al corpo)?
Hai ragione, infatti è proprio il significato che voglio comprendere bene =); quindi in quella formulazione non è semplicemente possibile unificare le due "componenti spaziali" (si può dire così?)... solo che, essendo riferite allo stesso corpo e al suo moto, non capisco perché: $Delta vec(s)$ è lo spostamento che è impresso al corpo dalla forza, mentre $vec(a)$ l'accelerazione che allo stesso corpo è impressa dalla stessa forza. E' forse perché questa accelerazione è riferita a un istante diverso rispetto a s?, intendo dire: in che momento il corpo risulta possedere un accelerazione $vec(a)$? Suppongo quando smette di agire sul corpo la forza F, dunque dopo che il corpo ha percorso uno spazio $Delta vec(s)$?
Interpretando la formula in questo modo, è come se avessimo raggruppato due momenti diversi insieme, in cui uno (lo spostamento provocato dalla forza) precede l'altro (l'accelerazione definitivamente impressa al corpo)?
"Pdirac":
Ignorando la mia perseveranza nell'errore del considerare il lavoro un prodotto vettoriale (il mio cervello deve esserne convinto non so bene perché)... =P.
Hai ragione, infatti è proprio il significato che voglio comprendere bene =); quindi in quella formulazione non è semplicemente possibile unificare le due "componenti spaziali" (si può dire così?)... solo che, essendo riferite allo stesso corpo e al suo moto, non capisco perché: $Delta vec(s)$ è lo spostamento che è impresso al corpo dalla forza, mentre $vec(a)$ l'accelerazione che allo stesso corpo è impressa dalla stessa forza. E' forse perché questa accelerazione è riferita a un istante diverso rispetto a s?, intendo dire: in che momento il corpo risulta possedere un accelerazione $vec(a)$? Suppongo quando smette di agire sul corpo la forza F, dunque dopo che il corpo ha percorso uno spazio $Delta vec(s)$?
Interpretando la formula in questo modo, è come se avessimo raggruppato due momenti diversi insieme, in cui uno (lo spostamento provocato dalla forza) precede l'altro (l'accelerazione definitivamente impressa al corpo)?
Ho voluto fare un esempio in cui puoi applicare quella relazione.
Cerco di precisare meglio, ma nota che questa relazione è solo un banale esempio delle innumerevoli relazioni che possono esistere caso per caso tra forze, accelerazioni, lavori, spostamenti ecc ecc.
Hai un punto materiale di massa ignota fermo. Ad esso applichiamo una forza pure incognota che compie un lavoro $L$ noto, il corpo per effetto di quel a forza subisce un'accelerazione nota e uno spostamento noto. Quanto vale la massa del corpo? La formula scritta risponde a questa domanda, tutto qua. Ma non trarre chissà quali equivalenze o concetti fisici da questo esempietto e dalla formula finale.
ok, capito! grazie mille!
sempre sullo stesso argomento (credo) ho provato a risolvere il seguente problema:
Un oggetto cilindrico di massa M e sezione A si muove con velocità w parallela al
suo asse in un gas di particelle di polvere di massa m molto minore di M, e numero
per unità di volume n. Considerando la velocità v del moto delle particelle molto
minore di w, si determini la forza di attrito cilindro causata dagli urti contro le
particelle di polvere.
Come cambia il risultato se gli urti tra la polvere e il cilindro sono perfettamente
anelastici (la polvere si attacca al cilindro) o se sono invece perfettamente elastici?
Si stimi la dipendenza da w della forza di attrito se invece la velocità v delle
particelle di polvere è molto maggiore di w.
Io ho provato considerando che ci troviamo sempre in presenza di un attrito e dunque di una forza che contrasta il moto, data sempre dalla derivata prima nel tempo della variazione di quantità di moto: $F = d(w*A*n*m*Delta v)/dt$, ma mi ha bloccato soprattutto il seguito del problema quando mi chiede "come cambia il risultato se gli urti sono perfettamente anelastici o perfettamente elastici?", che presuppone che prima non bisogna considerarli in questo modo.. e allora che tipo di urti devo considerarli? e come so la differenza di velocità che è impressa a ogni particella (e di conseguenza quella impressa al cilindro) ?
Un oggetto cilindrico di massa M e sezione A si muove con velocità w parallela al
suo asse in un gas di particelle di polvere di massa m molto minore di M, e numero
per unità di volume n. Considerando la velocità v del moto delle particelle molto
minore di w, si determini la forza di attrito cilindro causata dagli urti contro le
particelle di polvere.
Come cambia il risultato se gli urti tra la polvere e il cilindro sono perfettamente
anelastici (la polvere si attacca al cilindro) o se sono invece perfettamente elastici?
Si stimi la dipendenza da w della forza di attrito se invece la velocità v delle
particelle di polvere è molto maggiore di w.
Io ho provato considerando che ci troviamo sempre in presenza di un attrito e dunque di una forza che contrasta il moto, data sempre dalla derivata prima nel tempo della variazione di quantità di moto: $F = d(w*A*n*m*Delta v)/dt$, ma mi ha bloccato soprattutto il seguito del problema quando mi chiede "come cambia il risultato se gli urti sono perfettamente anelastici o perfettamente elastici?", che presuppone che prima non bisogna considerarli in questo modo.. e allora che tipo di urti devo considerarli? e come so la differenza di velocità che è impressa a ogni particella (e di conseguenza quella impressa al cilindro) ?
Se la massa delle particelle è molto minore della massa del corpo puoi assumere che la velocità del cilindro non cambia in un tempo $Delta t $ "abbastanza piccolo" durante i vari urti della particelle.
La quantità di moto del sistema oggetto cilindrico più particelle infatti si può considerare data solo dal primo.
Per cui per il calcolo della forza puoi rifarti a quanto visto nel caso precedente, cioè calcoli la variazione della quantità di moto delle particelle che urtano il cilindro in un tempo $Delta t$ che sarà pari a:
$(m n S v Delta t) v$ dove tra parentesi hai la massa totale delle particelle che urtano il corpo nel tempo $Delta t$; a questo punto la forza la calcoli facilmente dividendo per $Delta t$.
Per il discorso dell'assumere urti perfettamente elastici, invece devi considerare che se l'urto fosse elastico (non anelastico completamente come supposto) dopo l'urto le particelle non avranno velocità uguale a quella della parete, ma diversa.
Per ragionare ti consiglio di metterti in un sistema di riferimento solidale con l'oggetto cilindrico e calcolare quanto vale la variazione di velocità di una particella di massa $m$ che va a urtare la massa grande: è la stessa cosa che accade quanto lanci una palla contro un muro.... quindi?
Per il discorso di considerare le particelle molto più pesanti dell'oggetto invece la risposta è banale (è come se l'oggetto si schiantasse contro un muro, altro che forza di attrito in quel caso ..)
La quantità di moto del sistema oggetto cilindrico più particelle infatti si può considerare data solo dal primo.
Per cui per il calcolo della forza puoi rifarti a quanto visto nel caso precedente, cioè calcoli la variazione della quantità di moto delle particelle che urtano il cilindro in un tempo $Delta t$ che sarà pari a:
$(m n S v Delta t) v$ dove tra parentesi hai la massa totale delle particelle che urtano il corpo nel tempo $Delta t$; a questo punto la forza la calcoli facilmente dividendo per $Delta t$.
Per il discorso dell'assumere urti perfettamente elastici, invece devi considerare che se l'urto fosse elastico (non anelastico completamente come supposto) dopo l'urto le particelle non avranno velocità uguale a quella della parete, ma diversa.
Per ragionare ti consiglio di metterti in un sistema di riferimento solidale con l'oggetto cilindrico e calcolare quanto vale la variazione di velocità di una particella di massa $m$ che va a urtare la massa grande: è la stessa cosa che accade quanto lanci una palla contro un muro.... quindi?
Per il discorso di considerare le particelle molto più pesanti dell'oggetto invece la risposta è banale (è come se l'oggetto si schiantasse contro un muro, altro che forza di attrito in quel caso
..)
grazie mille, è tutto abbastanza chiaro; alcune domande:
1)In pratica il punto è che essendo molto più grande e veloce il cilindro posso per approssimazione considerare gli urti completamente anelastici (come hai supposto)? Però da come è formulato il problema sembra che prima sia richiesta un qualche tipo di soluzione che poi va "aggiornata" nei casi di urti completamente elastici o anelastici, ho quindi interpretato male io le domande del problema?
2) Nella formula $(m*n*S*v*Delta t)*v$ è la variazione dela quantità di moto $m*Delta v$, ma dato che $Delta v = v - w$ e che w è molto minore di v posso per approssimazione scrivere che $Delta v = v$, ovvero considero le particelle come dapprima ferme e poi in movimento alla stessa velocità del cilindro.
3) Nel caso dell'urto perfettamente elastico, considero che le particelle rimbalzano acquisendo una velocità pari a quella del cilindro ma di verso opposto. Dunque la forza d'attrito è doppia, perché da ferme come le consideriamo per approssimazione le particelle acquistano non solo la velocità v ma un ulteriore velocità v, quindi in totale la velocità 2v... giusto?
4) L'ultima parte parla di una velocità molto maggiore non di una massa molto maggiore.. è la stessa cosa?
1)In pratica il punto è che essendo molto più grande e veloce il cilindro posso per approssimazione considerare gli urti completamente anelastici (come hai supposto)? Però da come è formulato il problema sembra che prima sia richiesta un qualche tipo di soluzione che poi va "aggiornata" nei casi di urti completamente elastici o anelastici, ho quindi interpretato male io le domande del problema?
2) Nella formula $(m*n*S*v*Delta t)*v$ è la variazione dela quantità di moto $m*Delta v$, ma dato che $Delta v = v - w$ e che w è molto minore di v posso per approssimazione scrivere che $Delta v = v$, ovvero considero le particelle come dapprima ferme e poi in movimento alla stessa velocità del cilindro.
3) Nel caso dell'urto perfettamente elastico, considero che le particelle rimbalzano acquisendo una velocità pari a quella del cilindro ma di verso opposto. Dunque la forza d'attrito è doppia, perché da ferme come le consideriamo per approssimazione le particelle acquistano non solo la velocità v ma un ulteriore velocità v, quindi in totale la velocità 2v... giusto?
4) L'ultima parte parla di una velocità molto maggiore non di una massa molto maggiore.. è la stessa cosa?
Per quanto riguarda le domande del problema, mi sembra che ci sono solo due strade immediate, quella di considerare urti anelatici e urti elastici. E non è la prima quella più naturale a cui pensare, nella teoria cinetica dei gas per esempio gli urti con la parete sono considerati perfettamente elastici.
Per le tue domande mi sembra tutto corretto quello che hai scritto. Comunque il considerare il cilindro molto più pesante delle particelle non ha niente a che fare con il tipo di urto supposto. Entra solo nel calcolo della variazione della quantità di moto, se non fosse così occorrerebbe tener conto della variazione della velocità del cilindro nel tempo $Delta t$ e quindi neanche nel caso di urto elastico sarebbe vero che la velocità della particelle andrebbe a $2v$.
Per l'ultimo punto avevo letto male, in effetti si parla di velocità non di massa. Non è la stessa cosa. Prova tu a fare qualche considerazione, in fondo i concetti sono sempre quelli...
Per le tue domande mi sembra tutto corretto quello che hai scritto. Comunque il considerare il cilindro molto più pesante delle particelle non ha niente a che fare con il tipo di urto supposto. Entra solo nel calcolo della variazione della quantità di moto, se non fosse così occorrerebbe tener conto della variazione della velocità del cilindro nel tempo $Delta t$ e quindi neanche nel caso di urto elastico sarebbe vero che la velocità della particelle andrebbe a $2v$.
Per l'ultimo punto avevo letto male, in effetti si parla di velocità non di massa. Non è la stessa cosa. Prova tu a fare qualche considerazione, in fondo i concetti sono sempre quelli...
Mi sono appena accorto che la velocità del cilindro è w >> v non viceversa, dunque nella formula dell'attrito scritta in precedenza va sostituito a v w, invertendo i due termini in generale nelle considerazioni..
Ora, l'ultima richiesta è come la forza d'attrito dipende dalla velocità del cilindro w, quando la velocità delle particelle è v >> w;
A questo punto però abbiamo che il cilindro ha una massa molto maggiore a quelle delle particelle e una velocità molto minore a esse; dato che la forza d'attrito dipende dalla quantità di moto, che è il prodotto di questi due fattori, posso distinguere 3 diversi scenari:
1)la quantità molto maggiore della massa e la molto minore della velocità si equilibriano, e quindi è come avere un urto tra due oggetti con simile massa e velocità, che rimbalzano con velocità simili, e in questo caso pari a 1/2 della velocità delle particelle suppongo... in questo caso basta d'altra parte l'urto con 1 particella per un simile effetto; considerando una moltitudine di particelle è come se il cilindro sbattesse addosso a un muro suppongo?
2) la maggiore quantità di massa del cilindro è comunque tanto maggiore da poter considerare la sua variazione di velocità infinitesima per l'urto contro una particella invariata come lo era prima; in questo caso la forza d'attrito dipende però non più dalla velocità w della formula precedente ma da quella v delle particelle, perché il cilindro è considerabile immobile rispetto ad esse nell'istante infinitesimo dell'urto. (strana situazione peraltro)
3) la velocità molto maggiore delle particelle prevale sulla molto maggiore massa del cilindro, per cui sarebbe bastante una singola particella per ottenere l'effetto globale della situazione 1.
Il fattore di confusione è per me le molto generiche affermazioni "molto maggiore" e "molto minore", che quando si presentano contemporaneamente e "in opposizione" non so come considerarle.... (non è come considerare matematicamente due infiniti di segno opposto e di ordine sconosciuto? ne risultano forme indeterminate!)
Ora, l'ultima richiesta è come la forza d'attrito dipende dalla velocità del cilindro w, quando la velocità delle particelle è v >> w;
A questo punto però abbiamo che il cilindro ha una massa molto maggiore a quelle delle particelle e una velocità molto minore a esse; dato che la forza d'attrito dipende dalla quantità di moto, che è il prodotto di questi due fattori, posso distinguere 3 diversi scenari:
1)la quantità molto maggiore della massa e la molto minore della velocità si equilibriano, e quindi è come avere un urto tra due oggetti con simile massa e velocità, che rimbalzano con velocità simili, e in questo caso pari a 1/2 della velocità delle particelle suppongo... in questo caso basta d'altra parte l'urto con 1 particella per un simile effetto; considerando una moltitudine di particelle è come se il cilindro sbattesse addosso a un muro suppongo?
2) la maggiore quantità di massa del cilindro è comunque tanto maggiore da poter considerare la sua variazione di velocità infinitesima per l'urto contro una particella invariata come lo era prima; in questo caso la forza d'attrito dipende però non più dalla velocità w della formula precedente ma da quella v delle particelle, perché il cilindro è considerabile immobile rispetto ad esse nell'istante infinitesimo dell'urto. (strana situazione peraltro)
3) la velocità molto maggiore delle particelle prevale sulla molto maggiore massa del cilindro, per cui sarebbe bastante una singola particella per ottenere l'effetto globale della situazione 1.
Il fattore di confusione è per me le molto generiche affermazioni "molto maggiore" e "molto minore", che quando si presentano contemporaneamente e "in opposizione" non so come considerarle.... (non è come considerare matematicamente due infiniti di segno opposto e di ordine sconosciuto? ne risultano forme indeterminate!)
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