Interpretazione geometrica Trasformata di Legendre

[Daniele Florian]

Ciao.
Vari libri di testo, tra cui il mio, riportano qualcosa del tipo:
"La lagrangiana può essere interpretata geometricamente come l opposto dell ordinata all origine della retta tangente al grafico dell hamiltoniana"
per esempio, come in figura: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... sform1.png

Ecco, io proprio non ci salto fuori. Non riesco proprio a capire da dove sbuchi questa interpretazione.
Allora, ho capito che per trasformare è necessario che la hamiltoniana sia convessa rispetto al momento, in altre parole è come definire una funzione $f(x)$ non più rispetto la x ma rispetto $f'(x)$, sotto certe condizioni, quindi da un lato capisco che la lagrangiana debba dipendere dall inclinazione della retta tangente, ma per esempio perchè interseca l' ordinata? Perchè l' opposto?

Dico bene se dico che nell lagrangiana la velocità è in funzione del momento?

Se volete darmi una dritta, a livello molto intuitivo, i calcoli li ho capiti... grazie mille

[dissonance]

Pure io ci ho lungamente battuto la testa contro. Non mi sono convinto finché non ho consultato il libro di Arnol'd:

http://books.google.it/books?id=Pd8-s6r ... &q&f=false

Dai un'occhiata e vedi se ti convinci pure tu.

[yoshiharu]

"Daniele Florian":Ciao.
Vari libri di testo, tra cui il mio, riportano qualcosa del tipo:
"La lagrangiana può essere interpretata geometricamente come l opposto dell ordinata all origine della retta tangente al grafico dell hamiltoniana"
per esempio, come in figura: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... sform1.png

Ecco, io proprio non ci salto fuori. Non riesco proprio a capire da dove sbuchi questa interpretazione.

E' solo una questione geometrica. Quando due funzioni sono una la trasformata di Legendre dell'altra hai questa relazione.
Non credo che sia piu' chiaro della definizione formale con tanto di derivate, ma in effetti e' una frase che trovi piu' o meno ovunque. Per esempio sull'Arnol'd "Metodi Matematici della Meccanica Classica" (a p. 65 nella mia edizione) trovi la trasformata di Legendre di una funzione convessa definita piu' o meno nel seguente modo:

Data la funzione convessa $f(x)$, $f''(x)>0$, sia data la retta $y = p(x)$ nel piano cartesiano $(x,y)$; sia detto $x(p)$ il punto sull'asse delle ascisse corrispondente al massimo della distanza sulla verticale della retta $y=px$ dalla curva $y=f(x)$. La funzione [tex]F(p,x) = p x - f(x)[/tex] ha un massimo, a $p$ fissato, per $x=x(p)$. Allora $F(p,x(p))$ e' la trasformata di Legendre di $f(x)$ calcolata nel dato $p$.

Se trasli la retta $y=px$ di Arnol'd in basso in modo da essere tangente alla curva $y=f(x)$ ottieni il disegno della figura che hai postato tu.

Dico bene se dico che nell lagrangiana la velocità è in funzione del momento?

Questa e' una frase controversa: dovresti precisare meglio che intendi.

[yoshiharu]

"dissonance":Pure io ci ho lungamente battuto la testa contro. Non mi sono convinto finché non ho consultato il libro di Arnol'd:

Mi hai fregato sul tempo

[5mrkv]

Tempo fa trovai questo: http://arxiv.org/pdf/0806.1147v2.pdf