Interessante esercizio di gravitazione universale: errore!!
Salve a tutti, avrei una domanda da proporvi riguardo un esercizio interessante di gravitazione universale:
"Un satellite artificiale della Terra si muove su una orbita ellittica che è caratterizzata da una distanza minima (perigeo) dal centro della Terra \(\displaystyle r_{p} \) e da una distanza massima apogeo dal centro della Terra \(\displaystyle r_{a} \). Sapendo che l'accelerazione di gravità sulla superficie della Terra è g e che il raggio terrestre è \(\displaystyle R_{T} \), ricavare l'espressioni delle velocità \(\displaystyle v_{p} \) e \(\displaystyle v_{a} \) al perigeo ed apogeo rispettivamente in funzione di \(\displaystyle r_{a} \) e \(\displaystyle r_{p} \)"
Questa è la soluzione che ho pensato:
durante il suo moto il satellite conserva la sua energia meccanica, in più la sua velocità areolare per la seconda legge di Keplero è costante.
\(\displaystyle K_{P}+U_{P}=K_{A}+U_{A} \)
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_{P}^{2}-\frac{GMm}{r_{P}}=\frac{1}{2}mv_{A}^{2}-\frac{GMm}{r_{A}} \)
L?equazione per la velocità areolare è:
\(\displaystyle A'=\frac{1}{2}|r\times v| \)
Che se sviluppata mi da:
\(\displaystyle A'_{P}=A'_{A}\Rightarrow r_{P}v_{P}=r_{A}v_{A} \)
Risolvo a questo punto il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}
r_{P}v_{P}=r_{A}v_{A}\\
\frac{1}{2}mv_{P}^{2}-\frac{GMm}{r_{P}}=\frac{1}{2}m\left(\frac{r_{P}v_{P}}{r_{A}}\right)^{2}-\frac{GMm}{r_{A}}\end{cases} \)
Risolvo separatamente per comodità:
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_{P}^{2}-\frac{GMm}{r_{P}}=\frac{1}{2}m\left(\frac{r_{P}v_{P}}{r_{A}}\right)^{2}-\frac{GMm}{r_{A}} \)
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_{P}^{2}-\frac{1}{2}m\left(\frac{r_{P}^{2}v_{p}^{2}}{r_{A}^{2}}\right)=\frac{GMm}{r_{P}}-\frac{GMm}{r_{A}}=GMm\left(\frac{1}{r_{P}}-\frac{1}{r_{A}}\right) \)
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_{P}^{2}\left(1-\frac{r_{P}^{2}}{r_{A}^{2}}\right)=GMm\left(\frac{1}{r_{P}}-\frac{1}{r_{A}}\right) \)
\(\displaystyle v_{P}^{2}=2GM\left(\frac{1}{r_{P}}-\frac{1}{r_{A}}\right)\left(\frac{r_{A}^{2}}{\left(r_{A}-r_{P}\right)\left(r_{A}+r_{P}\right)}\right) \)
\(\displaystyle v_{P}^{2}=GM\left(\frac{2r_{A}}{r_{P}(r_{A}+r_{P})}\right) \)
Io avrei finito qui, mentre il testo fa una considerazione non errata, ma secondo me non applicabile a questo caso:
Essendo la formula della forza peso:
\(\displaystyle F_{P}=mg=\frac{GMm}{R_{T}^{2}} \)
Si ottiene semplicemente:
\(\displaystyle GM=gR_{T}^{2} \)
Ora questo è valido nel caso il corpo si trovi ad una distanza dalla Terra pari, o per lo meno confrontabile, con \(\displaystyle R_{T} \), (il raggio terrestre). In questo caso, quindi, secondo me non è vera, visto che ci troviamo prima in Perielio e poi in Aferlio, deiscenza che non possono essere assolutamente ignorate rispetto al raggio terrestre stesso.
Secondo me, quindi, quest'ultimo passaggio non è del tutto corretto.
Voi cosa ne pensate??
Vi ringrazio anticipatamente.
Distinti saluti
Enrico Catanzani
"Un satellite artificiale della Terra si muove su una orbita ellittica che è caratterizzata da una distanza minima (perigeo) dal centro della Terra \(\displaystyle r_{p} \) e da una distanza massima apogeo dal centro della Terra \(\displaystyle r_{a} \). Sapendo che l'accelerazione di gravità sulla superficie della Terra è g e che il raggio terrestre è \(\displaystyle R_{T} \), ricavare l'espressioni delle velocità \(\displaystyle v_{p} \) e \(\displaystyle v_{a} \) al perigeo ed apogeo rispettivamente in funzione di \(\displaystyle r_{a} \) e \(\displaystyle r_{p} \)"
Questa è la soluzione che ho pensato:
durante il suo moto il satellite conserva la sua energia meccanica, in più la sua velocità areolare per la seconda legge di Keplero è costante.
\(\displaystyle K_{P}+U_{P}=K_{A}+U_{A} \)
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_{P}^{2}-\frac{GMm}{r_{P}}=\frac{1}{2}mv_{A}^{2}-\frac{GMm}{r_{A}} \)
L?equazione per la velocità areolare è:
\(\displaystyle A'=\frac{1}{2}|r\times v| \)
Che se sviluppata mi da:
\(\displaystyle A'_{P}=A'_{A}\Rightarrow r_{P}v_{P}=r_{A}v_{A} \)
Risolvo a questo punto il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}
r_{P}v_{P}=r_{A}v_{A}\\
\frac{1}{2}mv_{P}^{2}-\frac{GMm}{r_{P}}=\frac{1}{2}m\left(\frac{r_{P}v_{P}}{r_{A}}\right)^{2}-\frac{GMm}{r_{A}}\end{cases} \)
Risolvo separatamente per comodità:
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_{P}^{2}-\frac{GMm}{r_{P}}=\frac{1}{2}m\left(\frac{r_{P}v_{P}}{r_{A}}\right)^{2}-\frac{GMm}{r_{A}} \)
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_{P}^{2}-\frac{1}{2}m\left(\frac{r_{P}^{2}v_{p}^{2}}{r_{A}^{2}}\right)=\frac{GMm}{r_{P}}-\frac{GMm}{r_{A}}=GMm\left(\frac{1}{r_{P}}-\frac{1}{r_{A}}\right) \)
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_{P}^{2}\left(1-\frac{r_{P}^{2}}{r_{A}^{2}}\right)=GMm\left(\frac{1}{r_{P}}-\frac{1}{r_{A}}\right) \)
\(\displaystyle v_{P}^{2}=2GM\left(\frac{1}{r_{P}}-\frac{1}{r_{A}}\right)\left(\frac{r_{A}^{2}}{\left(r_{A}-r_{P}\right)\left(r_{A}+r_{P}\right)}\right) \)
\(\displaystyle v_{P}^{2}=GM\left(\frac{2r_{A}}{r_{P}(r_{A}+r_{P})}\right) \)
Io avrei finito qui, mentre il testo fa una considerazione non errata, ma secondo me non applicabile a questo caso:
Essendo la formula della forza peso:
\(\displaystyle F_{P}=mg=\frac{GMm}{R_{T}^{2}} \)
Si ottiene semplicemente:
\(\displaystyle GM=gR_{T}^{2} \)
Ora questo è valido nel caso il corpo si trovi ad una distanza dalla Terra pari, o per lo meno confrontabile, con \(\displaystyle R_{T} \), (il raggio terrestre). In questo caso, quindi, secondo me non è vera, visto che ci troviamo prima in Perielio e poi in Aferlio, deiscenza che non possono essere assolutamente ignorate rispetto al raggio terrestre stesso.
Secondo me, quindi, quest'ultimo passaggio non è del tutto corretto.
Voi cosa ne pensate??
Vi ringrazio anticipatamente.
Distinti saluti
Enrico Catanzani
Risposte
non ho seguito i tuoi passaggi, ma il ragionamento finale che fa il tuo libro è sicuramente corretto: $R_t$ è il raggio della terra quindi quella formula ti da l'accelerazione di gavità sulla superfice della terra... nulla di sbagliato quindi
Il problema a mio avviso è che la distanza a cui si trova il satellite rispetto alla Terra non è pari al raggio di quest'ultima, ma ad una distanza ben maggiore... non penso quindi che si possa usare quella formula. Al posto del raggio terrestre al quadrato ci andrebbe l'effettiva distanza.
Michele,
hai ragione, come ha ragione Baldo. LA formula finale del libro è quella che dà l'accelerazione di gravità sulla Terra, e va bene, non è sbagliata.
Ma non " c'azzecca" niente, nel ricavare le velocità al perigeo e all'apogeo. Il sistema che hai impostato è corretto : conservazione dell'energia ( che è negativa perchè il sistema è legato; l'orbita quindi è chiusa, cioè ellittica), costanza del momento angolare e quindi della velocità areolare.
I passaggi nenache io li ho controllati, penso siano corretti, ma in ogni caso è il ragionamento che conta.
Si può calcolare, trascurando l'altezza del corpo sulla superficie terrestre, la "prima velocità cosmica" , cioè la velocità che deve avere un grave, lanciato in volo radente "quasi a contatto" della superficie terrestre perchè faccia il giro della Terra senza cadere. Essa vale : $V = sqrt(gR) = 8(km)/s$
hai ragione, come ha ragione Baldo. LA formula finale del libro è quella che dà l'accelerazione di gravità sulla Terra, e va bene, non è sbagliata.
Ma non " c'azzecca" niente, nel ricavare le velocità al perigeo e all'apogeo. Il sistema che hai impostato è corretto : conservazione dell'energia ( che è negativa perchè il sistema è legato; l'orbita quindi è chiusa, cioè ellittica), costanza del momento angolare e quindi della velocità areolare.
I passaggi nenache io li ho controllati, penso siano corretti, ma in ogni caso è il ragionamento che conta.
Si può calcolare, trascurando l'altezza del corpo sulla superficie terrestre, la "prima velocità cosmica" , cioè la velocità che deve avere un grave, lanciato in volo radente "quasi a contatto" della superficie terrestre perchè faccia il giro della Terra senza cadere. Essa vale : $V = sqrt(gR) = 8(km)/s$
ragazzi si tratta semplicemmente di saper leggere il testo del problema!
il testo chiede la velocità al perigeo e all'apogeo in funzione di :$R_T , r_p , r_a , g $ non in funzione della massa della terra e non in funzione della costante di gravitazione universale , quindi il dato è fondamentale. infatti bisognerà fare la sostituzione
$GM=g (R_T)^2$
il testo chiede la velocità al perigeo e all'apogeo in funzione di :$R_T , r_p , r_a , g $ non in funzione della massa della terra e non in funzione della costante di gravitazione universale , quindi il dato è fondamentale. infatti bisognerà fare la sostituzione
$GM=g (R_T)^2$
Si, ma questa è una sostituzione che nel contesto dell'esercizio è sbagliata. Per applicare la legge di gravitazione universale occorre inserire il quadrato della distanza che in questo caso non combacia con il quadrato del raggio terrestre !!!
questo lo dici te! la sostituzione è corretta. Ti conviene rileggere il testo del problema e anche il libro di teoria.
Ma scusami, è noto che la formula della gravitazione universale sia:
\(\displaystyle F=-\frac{GMm}{r^{2}} \)
Dove con \(\displaystyle r \) si intende niente altro che la distanza, o se vuoi essere pignolo, il vettore posizione tra la fonte del campo gravitazionale e l'oggetto che ne subisce gli effetti.
A porto di \(\displaystyle r \) si mette il raggio terrestre quando, con le dovute approssimazioni, l'oggetto si trova ESATTAMENTE sulla superficie della terra al LIVELLO DEL MARE.
Ad esempio, se ti trovassi in montagna, la forza gravitazionale che subiresti sarebbe più piccola, anche se impercettibilmente, visto che aumenta la distanza dal centro della Terra. E questo è lo stesso ragionamento se consideri il satellite che si muove e si trova prima nella posizione di perielio e poi di afelio. La distanza NON E' QUELLA DEL RAGGIO TERRESTRE !!
Questa è la teoria....
Distinti saluti
\(\displaystyle F=-\frac{GMm}{r^{2}} \)
Dove con \(\displaystyle r \) si intende niente altro che la distanza, o se vuoi essere pignolo, il vettore posizione tra la fonte del campo gravitazionale e l'oggetto che ne subisce gli effetti.
A porto di \(\displaystyle r \) si mette il raggio terrestre quando, con le dovute approssimazioni, l'oggetto si trova ESATTAMENTE sulla superficie della terra al LIVELLO DEL MARE.
Ad esempio, se ti trovassi in montagna, la forza gravitazionale che subiresti sarebbe più piccola, anche se impercettibilmente, visto che aumenta la distanza dal centro della Terra. E questo è lo stesso ragionamento se consideri il satellite che si muove e si trova prima nella posizione di perielio e poi di afelio. La distanza NON E' QUELLA DEL RAGGIO TERRESTRE !!
Questa è la teoria....
Distinti saluti
Dove con r si intende niente altro che la distanza, o se vuoi essere pignolo, il vettore posizione tra la fonte del campo gravitazionale e l'oggetto che ne subisce gli effetti
sono pignolo: con $r$ si intende la distanza non il il vettore posizione e non dovresti nemmeno metterci il meno, oppure se vuoi metterci il meno metti il simbolo di vettore nella forza e aggiungi pure un versore nel membro di destra dell'equazione (questa è la teoria).
il problema definisce $g$ come l'accelerazione di gravità sulla superfice della terra, la distanza dal centro della terra alla superfice è appunto il raggio della terra quindi è ovvio che $GM=g(R_T)^2$
State dicendo cose giuste entrambi, comunque la soluzione di Michele è corretta, ed è l'unico modo per calcolare le velocità richieste al perigeo e all'apogeo.
Baldo sta dicendo in pratica di sostituire $GM$ , nella formula seguente:
\(\displaystyle v_{P}^{2}=GM\left(\frac{2r_{A}}{r_{P}(r_{A}+r_{P})}\right) \)
con la quantità : $gR_T^2$
visot che sussiste appunto l'uguaglianza : $GM = gR_T^2$
e questo è tutto.
Baldo sta dicendo in pratica di sostituire $GM$ , nella formula seguente:
\(\displaystyle v_{P}^{2}=GM\left(\frac{2r_{A}}{r_{P}(r_{A}+r_{P})}\right) \)
con la quantità : $gR_T^2$
visot che sussiste appunto l'uguaglianza : $GM = gR_T^2$
e questo è tutto.
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