Intensità onda polarizzata circolarmente
Buongiorno!
Avrei bisogno di aiuto per il calcolo dell'intensità di un'onda polarizzata circolarmente.
La funzione d'onda del campo elettrico è:
$bar E (x,t) = E_0 sin(kx-omegat)hat j + E_0 cos (kx-omegat) hat k$
Sapendo che l'intensità dell'onda è data da $ I = 1/T int_ {0}^{T} (1/(mu_0 c)) E^2 dt$, come posso procedere? Non so proprio come risolvere l'integrale
Grazie per l'aiuto!
Avrei bisogno di aiuto per il calcolo dell'intensità di un'onda polarizzata circolarmente.
La funzione d'onda del campo elettrico è:
$bar E (x,t) = E_0 sin(kx-omegat)hat j + E_0 cos (kx-omegat) hat k$
Sapendo che l'intensità dell'onda è data da $ I = 1/T int_ {0}^{T} (1/(mu_0 c)) E^2 dt$, come posso procedere? Non so proprio come risolvere l'integrale
Grazie per l'aiuto!
Risposte
Qual è il passaggio dell'integrale che ti dà problemi?
"Lele0012":
Qual è il passaggio dell'integrale che ti dà problemi?
Fin dal primo passaggio ho problemi con il cambio di variabili
$I=1/(mu_0c) 1/T int_0^T [E_0 sin (kx-omegat) hat j + E_0 cos(kx-omegat) hat k]^2 dt$
uptando per il cambio di variabile $ u = kx-omegat$ come cambiano gli estremi dell'integrale?
Grazie per l'aiuto
No, non serve nessun cambio di variabile, devi solo ricordare da dove arriva la media integrale del post iniziale.
BTW Quale risultato fornirebbe nel caso di una polarizzazione lineare?
BTW Quale risultato fornirebbe nel caso di una polarizzazione lineare?
Inizia a calcolare quel quadrato, che ti darà due "pezzi" in cui dividere l'integrale (i due quadrati), e, senza fare cambi di variabile, tratta la tua funzione integranda come del tipo $sin(a+bt)$ (o $cos$, al quadrato): avresti problemi con un'integrazione del genere?
Doppi prodotti ?
"RenzoDF":
Doppi prodotti ?
Pardon, abituato a dire "doppio prodotto" subito dopo la parola "quadrato" l'ho inserito lì senza pensarci: nessun doppio prodotto, modificato or ora, mi scuso per la svistona
La funzione integranda è il quadrato di due vettori ortogonali. Il doppio prodotto si annulla per questo. Resta Il modulo quadro del primo termine che contiene sen quadro che si somma al modulo quadro del secondo termine che contiene cos quadro. Perciò la funzione integranda non è altro che $E_0^2$.
"Vincenzo10":
La funzione integranda è il quadrato di due vettori ortogonali.
Forse vuoi dire il quadrato della somma fra due vettori, ma la somma di due vettori è un vettore (quello fra parentesi, con le sue due componenti) e io vedendone solo uno, ricordando che il "quadrato di un vettore" viene definito come prodotto scalare del vettore per se stesso (ovvero la somma delle sue componenti al quadrato ovvero il suo modulo al quadrato), non ho visto nessun doppio prodotto, ma mi chiedo: per parlare di doppio prodotto vuol dire che è possibile fare il prodotto algebrico fra due vettori? ... io ricordo solo quello scalare, vettoriale e tensoriale, sbaglio?
Caro Renzo è sufficiente solo applicare le regole del prodotto scalare. La mia conclusione è esatta. Resta comunque interessante risolvere separatamente i due integrali (in sen quadro e cos quadro) così come era stato richiesto da mate attraverso il calcolo diretto. La trasformazione della variabile di integrazione comporta che il differenziale dt si trasforma in $(-du)/omega$ e i due estremi diventano $u_0=kx$ e $u_1=kx-omegaT$. Nel fare questo sarebbe interessante generalizzare inserendo una differenza di fase tra le due componenti polarizzate linearmente e verificare come si comporta nel calcolo della media.
"Vincenzo10":
... è sufficiente solo applicare le regole del prodotto scalare . La mia conclusione è esatta. ...
Carissimo Vincenzo, non ho detto che non sia corretta, ma non avevo mai visto nessuno andare a fare il quadrato di un vettore via doppi prodotti delle sue componenti, ad ogni modo ognuno ha i suoi metodi.
"Vincenzo10":
... Resta comunque interessante risolvere separatamente i due integrali (in sen quadro e cos quadro) così come era stato richiesto da mate attraverso il calcolo diretto.
Certo e lo avevo chiesto anch'io nella mia prima risposta, ad ogni modo visto che qui abbiamo un campo di modulo costante che ruota sul fronte di propagazione dell'onda, quell'integrale non serviva nemmeno scriverlo per dare risposta al problema.
"Vincenzo10":
... La trasformazione della variabile di integrazione comporta che il differenziale dt si trasforma in $(-du)/omega$ e i due estremi diventano $u_0=kx$ e $u_1=kx-omegaT$.
Come ho già detto, a mio parere, non serve nessuna trasformazione di variabile, visto che stiamo andando a calcolare la media integrale del quadrato di una funzione sinusoidale sul suo periodo T, il risultato sarà in ogni caso 1/2.
"Vincenzo10":
... Nel fare questo sarebbe interessante generalizzare inserendo una differenza di fase tra le due componenti polarizzate linearmente e verificare come si comporta nel calcolo della media.
Visto che quella media temporale del campo al "quadrato" ha validità generale, sia per una diversa fase sia per una diversa ampiezza, direi che la risposta sia semplice.
Come ho già detto, forse sarebbe più interessante ricordare da dove arriva quella media integrale, ovvero il perché della sua generale validità.
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