Intensità del campo gravitazionale
Ciao a tutti.
Oggi ho cercato di svolgere un esercizio sulla gravitazione universale, e l'esercizio mi chiedeva esplicitamente di calcolare l'intensità del campo gravitazionale in un punto nello spazio.
I miei dubbi sono venuti già nella visione della 'formula', in quanto vi sono parecchie discordanze.
Sul libro è indicato come: $G = G*m r/r^3$
dove indico al primo membro vettor $G$ e al secondo membro al numeratore il versore $r$, su altri appunti ho trovato invece che vale:
$gamma = -G m r/r^2$.....che mi portano in parecchia confusione.
l'esercizio è:
tre punti materiali con la stessa massa m si trovano nel piano $x,y$ nelle posizioni $P_1=(0,0)$, $P_2=(l,0)$, $P_3=(0,l)$, calcolare intensità del campo gravitazionale nel punto $P=(l,l)$
ho fatto parecchi ragionamenti( e credo anche stupidi), ma non riesco a vedere una possibile risoluzione.
quelle tre massae se messe nel sistema cartesiano, producono un triangolo rettangolo isoscele, dove $P=(l,l)$ è simmetrico a $P_1=(0,0)$
calcolo del versore $r =sqrt(l^2 +l^2)= l*sqrt(2)$
quindi sarebbe: $G = G m r/r^3 = G m (l/l^3)*sqrt(2)= G m*sqrt(2)/ l^2$
però il risultato non è questo! ci si aggiunge un termine $1/2$ cioè: $G = (G m/l^2)*(sqrt(2)+1/2)$
ho pensato davvero a cose bislacche per far uscire quel $1/2$, ma è meglio che non li scriva
spero in vostri suggerimenti, grazie.
Oggi ho cercato di svolgere un esercizio sulla gravitazione universale, e l'esercizio mi chiedeva esplicitamente di calcolare l'intensità del campo gravitazionale in un punto nello spazio.
I miei dubbi sono venuti già nella visione della 'formula', in quanto vi sono parecchie discordanze.
Sul libro è indicato come: $G = G*m r/r^3$
dove indico al primo membro vettor $G$ e al secondo membro al numeratore il versore $r$, su altri appunti ho trovato invece che vale:
$gamma = -G m r/r^2$.....che mi portano in parecchia confusione.
l'esercizio è:
tre punti materiali con la stessa massa m si trovano nel piano $x,y$ nelle posizioni $P_1=(0,0)$, $P_2=(l,0)$, $P_3=(0,l)$, calcolare intensità del campo gravitazionale nel punto $P=(l,l)$
ho fatto parecchi ragionamenti( e credo anche stupidi), ma non riesco a vedere una possibile risoluzione.
quelle tre massae se messe nel sistema cartesiano, producono un triangolo rettangolo isoscele, dove $P=(l,l)$ è simmetrico a $P_1=(0,0)$
calcolo del versore $r =sqrt(l^2 +l^2)= l*sqrt(2)$
quindi sarebbe: $G = G m r/r^3 = G m (l/l^3)*sqrt(2)= G m*sqrt(2)/ l^2$
però il risultato non è questo! ci si aggiunge un termine $1/2$ cioè: $G = (G m/l^2)*(sqrt(2)+1/2)$
ho pensato davvero a cose bislacche per far uscire quel $1/2$, ma è meglio che non li scriva
spero in vostri suggerimenti, grazie.
Risposte
Ti sei dimenticato di aggiungere l'effetto gravitazionale della massa posta nell'origine.
Cioè intendi che devo considerare le coppie di distanza $P_1P_2$ e $P_1P_3$
cosi da avere:
$|G|= -G*m*1/(l^2 +l^2)$
eppure ancora non mi è chiaro quale delle due formule da me riportate sia 'corretta formalmente'.
cosi da avere:
$|G|= -G*m*1/(l^2 +l^2)$
eppure ancora non mi è chiaro quale delle due formule da me riportate sia 'corretta formalmente'.
siano:
$P=(l,l,0)$
$hat(x)$ versore x
$hat(y)$ versore y
allora è evidente che
$ vec g_1= -Gm/l^2 hat(x) $ è il contributo al campo nel punto P da parte della particella che sta in $(0,l,0)$
$ vec g_2=-(sqrt(2)/2 )Gm/(sqrt(2) l)^2 hat(x)-(sqrt(2)/2 )Gm/(sqrt(2) l)^2 hat(y) $ è il contributo al campo nel punto P da parte della particella che sta in $(0,0,0)$
$ vec g_3= -Gm/l^2 hat(y) $ è il contributo al campo nel punto P da parte della particella che sta in $(l,0,0)$
ho tenuto conto che $ cos(pi/4)= sin (pi/4) $ nella determinazione delle componenti di $vec g_2$ .
Il valore del campo gravitazionale nel punto P è la somma vettoriale dei tre contributi
$ vec g =vec g_1+vec g_2+vec g_3=(g_x)hat(x) + ( g_y) hat(y) $
risulta essere
$g_x=g_y=-Gm/l^2 -(sqrt(2)/2 )Gm/(sqrt(2) l)^2 $
allora l'intensità è per definizione il modulo del campo
$ |vec g| =sqrt((g_x)^2+(g_y)^2)= sqrt(2)|g_x|=Gm/l^2(sqrt(2)+1/2) $
$P=(l,l,0)$
$hat(x)$ versore x
$hat(y)$ versore y
allora è evidente che
$ vec g_1= -Gm/l^2 hat(x) $ è il contributo al campo nel punto P da parte della particella che sta in $(0,l,0)$
$ vec g_2=-(sqrt(2)/2 )Gm/(sqrt(2) l)^2 hat(x)-(sqrt(2)/2 )Gm/(sqrt(2) l)^2 hat(y) $ è il contributo al campo nel punto P da parte della particella che sta in $(0,0,0)$
$ vec g_3= -Gm/l^2 hat(y) $ è il contributo al campo nel punto P da parte della particella che sta in $(l,0,0)$
ho tenuto conto che $ cos(pi/4)= sin (pi/4) $ nella determinazione delle componenti di $vec g_2$ .
Il valore del campo gravitazionale nel punto P è la somma vettoriale dei tre contributi
$ vec g =vec g_1+vec g_2+vec g_3=(g_x)hat(x) + ( g_y) hat(y) $
risulta essere
$g_x=g_y=-Gm/l^2 -(sqrt(2)/2 )Gm/(sqrt(2) l)^2 $
allora l'intensità è per definizione il modulo del campo
$ |vec g| =sqrt((g_x)^2+(g_y)^2)= sqrt(2)|g_x|=Gm/l^2(sqrt(2)+1/2) $
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