Integrare una distribuzione di carica
Ciao a tutti, stavo leggendo l'esempio 3.9 pag 142 del Griffiths' Introduction to Electrodynamics terza edizione. Il testo dell'esercizio recita il seguente (a scanso di mie incomprensioni lo posto in lingua originale):
Nel libro viene risolto usando l'equazione di Laplace, ma ovviamente può essere risolto anche mediante integrazione diretta:
$$V(r, \theta) = \frac 1 {4\pi\epsilon_0} \int \frac {\sigma_0(\theta)} {d} da'$$
L'unico problema è che non riesco proprio a impostare l'integrale... lo so che dovrebbe essere banale, ma non capisco proprio come debba scrivere il $da'$. Potreste darmi qualche suggerimento per favore.
Grazie in anticipo.
A specified charge density $\sigma_0(\theta)$ is glued over the surface of a spherical shell of radius R. Find the resulting potential inside and outside the sphere.
[...]
For instance, if
$$\sigma_0(\theta) = kcos(\theta)$$
[...]
The potential inside the sphere is therefore
$$V(r, \theta) = \frac k {3\epsilon_0}rcos(\theta)$$
[...]
Nel libro viene risolto usando l'equazione di Laplace, ma ovviamente può essere risolto anche mediante integrazione diretta:
$$V(r, \theta) = \frac 1 {4\pi\epsilon_0} \int \frac {\sigma_0(\theta)} {d} da'$$
L'unico problema è che non riesco proprio a impostare l'integrale... lo so che dovrebbe essere banale, ma non capisco proprio come debba scrivere il $da'$. Potreste darmi qualche suggerimento per favore.
Grazie in anticipo.
Risposte
Suppongo che $theta$ sia la "latitudine?
In questo caso, il $da'$ (non capisco perchè l'apice) è l'area della fascia compresa fra $theta$ e $theta + d theta$, che è lunga $2piRcostheta$, se $R$ è il raggio, e larga $R*d theta$, da cui $da' = 2piR^2cos theta d theta$
In questo caso, il $da'$ (non capisco perchè l'apice) è l'area della fascia compresa fra $theta$ e $theta + d theta$, che è lunga $2piRcostheta$, se $R$ è il raggio, e larga $R*d theta$, da cui $da' = 2piR^2cos theta d theta$
Si, scusa se non ho precisato l'angolo.
L'apice è un abitudine che ho preso ogni tanto dal Griffiths' per non confondere le variabili di integrazione.
Eh, ok, ma allora come fa a salter fuori l'erre piccolo ($r$) dentro la soluzione? Per $r=0$ la soluzione dice che $V=0$, cosa che non salterebbe fuori se integro come proponi tu, a meno di miei errori di calcolo...
Inoltre la distanza come la dovrei scrivere in questo caso...?
Scusa se sembrano domande stupide, ma non riesco proprio a capire.
L'apice è un abitudine che ho preso ogni tanto dal Griffiths' per non confondere le variabili di integrazione.
Eh, ok, ma allora come fa a salter fuori l'erre piccolo ($r$) dentro la soluzione? Per $r=0$ la soluzione dice che $V=0$, cosa che non salterebbe fuori se integro come proponi tu, a meno di miei errori di calcolo...
Inoltre la distanza come la dovrei scrivere in questo caso...?
Scusa se sembrano domande stupide, ma non riesco proprio a capire.
Per la verità io volevo solo dire come di esprime $da $. Non mi pronuncio sul modo di calcolare il potenziale.
Ok grazie lo stesso. Per caso sai darmi un consiglio su come dovrei esprimere la distanza $d$ al denominatore ?
La cosa che non capisco bene è che se devo calcolare il potenziale che varia con il raggio, come mai prendo come elemento di superficie qualcosa a raggio "fisso"... Sarei più portato a fare un integrale di volume, ma ovviamente non ha senso visto che la carica è distribuita solo lungo la superficie.
La cosa che non capisco bene è che se devo calcolare il potenziale che varia con il raggio, come mai prendo come elemento di superficie qualcosa a raggio "fisso"... Sarei più portato a fare un integrale di volume, ma ovviamente non ha senso visto che la carica è distribuita solo lungo la superficie.
Il fatto è che non capisco mica tanto il problema. Cos'è $theta$? La latitudine? La longitudine? E cos'è $r$ nella soluzione? la distanza dal centro? o dall'asse? Il testo lo chiarisce?
Il testo è quello. A giudicare dalla notazione usata nel resto del libro $r$ è la distanza dal centro della sfera e $theta$ è la latitudine.
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