Integrare un potenziale

[dRic]

Salve a tutti, mi rivolgo a voi perché sto impazzendo a fare questo integrale... Di solito capito più facili e quindi ho perso un po' l'abitudine a quelli "tosti" (che poi, alla fine, non penso sia difficilissimo).

Il problema è semplice: devo trovare la differenza di potenziale in un cono (vuoto) di altezza $H$ e raggio di base $H$ tra il vertice, chiamato a e il centro della base, chiamato b. So che il cono presenta una distribuzione superficiale di carica uniforme $\sigma$.

Formule d'interesse:
$$V(\mathbf r) = \frac 1 {4\pi \epsilon_0} \int_S \frac {\sigma} {r} da'$$

Solo che non sono proprio sicuro di come impostare l'integrale... Potete darmi dei suggerimenti per favore ?

Io avrei pensato a scrivere $da'=2*\pi*r(z)dz = 2\pi*zdz$ perchè il cono ha altezza $H$ e raggio $H$, ma poi non torna.

Grazie in anticipo.

[mgrau]

In che senso, non torna? Fai vedere i calcoli? E la distanza, l'hai messa giusta?

[dRic]

Per calcolare $V(\mathbf a)$, $\mathbf r = ( \mathbf r_a - \mathbf r')$. Se pongo il sistema di riferimento con centro nel vertice $a$, allora $\mathbf r_a = 0$ e quindi mi devo calcolare

$$V(\mathbf a) = V(0) = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \int_S \frac {\sigma} {r'} 2\pi z dz = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \int_S \frac {\sigma} {z\sqrt{2}} 2\pi z dz = \frac {\sigma} {2 \sqrt{2} \epsilon_0} \left[ z \right]_{0}^{H} = \frac {\sigma H} {2 \sqrt{2}\epsilon_0}$$

e già questo è sbagliato...