Integrali primi di moto
Salve ragazzi! Eccomi qui ad esporvi un altro mio dubbio sugli Integrali primi di moto in meccanica razionale!
Il mio libro per spiegarli parte col definire un sistema di equazioni differenziali di questo tipo:
[tex]$\left\{\begin{matrix}
\ddot{x}=\ddot{x}(x(t),y(t),z(t),\dot{x}(t),\dot{y}(t),\dot{z}(t),t)\\
\ddot{y}=\ddot{y}(x(t),y(t),z(t),\dot{x}(t),\dot{y}(t),\dot{z}(t),t)
\\ \ddot{z}=\ddot{z}(x(t),y(t),z(t),\dot{x}(t),\dot{y}(t),\dot{z}(t),t)
\end{matrix}\right.$[/tex]
Si tratta di un problema di Cauchy per un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine nelle funzioni incognite [tex]$(x(t),y(t),z(t))$[/tex]
Se imponiamo le condizioni iniziali, supponendo che siano verificate le condizioni per cui tale problema ammetta una ed una sola soluzione, avremo per l'appunto la soluzione del problema.
Ora, l'autore del libro, prosegue dicendo:
"Solo per sistemi di equazioni differenziali di questo tipo si pone la definizione di int. primo di moto."
Cioè la cosa che non mi è chiara è questa:
gli integrali primi di moto è possibile definirli solo per sistemi tipo quello di sopra? in cui abbiamo l'accelerazione espressa in funzione della posizione e della velocità.
E' giusto dire questo?
Se si, perché?
Spero di essere stato chiaro.
Grazie a chiunque vorrà dilettarsi a sciogliermi questo dubbio (sicuramente banael!).
Il mio libro per spiegarli parte col definire un sistema di equazioni differenziali di questo tipo:
[tex]$\left\{\begin{matrix}
\ddot{x}=\ddot{x}(x(t),y(t),z(t),\dot{x}(t),\dot{y}(t),\dot{z}(t),t)\\
\ddot{y}=\ddot{y}(x(t),y(t),z(t),\dot{x}(t),\dot{y}(t),\dot{z}(t),t)
\\ \ddot{z}=\ddot{z}(x(t),y(t),z(t),\dot{x}(t),\dot{y}(t),\dot{z}(t),t)
\end{matrix}\right.$[/tex]
Si tratta di un problema di Cauchy per un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine nelle funzioni incognite [tex]$(x(t),y(t),z(t))$[/tex]
Se imponiamo le condizioni iniziali, supponendo che siano verificate le condizioni per cui tale problema ammetta una ed una sola soluzione, avremo per l'appunto la soluzione del problema.
Ora, l'autore del libro, prosegue dicendo:
"Solo per sistemi di equazioni differenziali di questo tipo si pone la definizione di int. primo di moto."
Cioè la cosa che non mi è chiara è questa:
gli integrali primi di moto è possibile definirli solo per sistemi tipo quello di sopra? in cui abbiamo l'accelerazione espressa in funzione della posizione e della velocità.
E' giusto dire questo?
Se si, perché?
Spero di essere stato chiaro.
Grazie a chiunque vorrà dilettarsi a sciogliermi questo dubbio (sicuramente banael!).
Risposte
Veramente questa cosa mi giunge nuova. Per esempio, nel formalismo Hamiltoniano il moto di un sistema è descritto da un sistema di equazioni ciascuna del primo ordine:
[tex]$\begin{cases} \dot{q}_h=\frac{\partial H}{\partial p_h} \\ \dot{p}_h=-\frac{\partial H}{\partial q_h} \\ h=1 \ldots N \end{cases}[/tex]
e in questo caso si dice integrale primo una funzione delle variabili [tex]q_1 \ldots q_N, p_1 \ldots p_N[/tex] e del tempo che si mantiene costante durante il moto. L'unica differenza con il tuo caso è che, avendo a che fare con equazioni del primo ordine, la funzione non dipende dalle derivate prime di [tex]p_h, q_h[/tex], esattamente come nel tuo caso un integrale primo non dipende dall'accelerazione ma solo da posizione e velocità (ed, eventualmente, dal tempo).
[tex]$\begin{cases} \dot{q}_h=\frac{\partial H}{\partial p_h} \\ \dot{p}_h=-\frac{\partial H}{\partial q_h} \\ h=1 \ldots N \end{cases}[/tex]
e in questo caso si dice integrale primo una funzione delle variabili [tex]q_1 \ldots q_N, p_1 \ldots p_N[/tex] e del tempo che si mantiene costante durante il moto. L'unica differenza con il tuo caso è che, avendo a che fare con equazioni del primo ordine, la funzione non dipende dalle derivate prime di [tex]p_h, q_h[/tex], esattamente come nel tuo caso un integrale primo non dipende dall'accelerazione ma solo da posizione e velocità (ed, eventualmente, dal tempo).
grazie dissonance per la disponibilità e l'interesse che stai mostrando!!
Quindi se io ti chiedessi cosa è un integrale primo di moto, cosa mi risponderesti?
Io mi baso sulla seguente definizione:
Un int. primo di moto è una funzione della posizione, della velocità ed eventualmente del tempo che si mantiene costante su ogni soluzione [tex]$x=x(t)[/tex], [tex]$y=y(t)[/tex]; [tex]$z=z(t)[/tex]. La costante è determinata dalle condizioni iniziali del moto; cambiando queste condizioni,ovviamente,il valore costante cambia.
Per "condizioni iniziali" intendo posizione e velocità all'istante iniziale,sempre basandomi su quel sistema.
Ti pare giusto?Forse è troppo specifica la mia definizione, andrebbe generalizzata; vero?
Quindi se io ti chiedessi cosa è un integrale primo di moto, cosa mi risponderesti?
Io mi baso sulla seguente definizione:
Un int. primo di moto è una funzione della posizione, della velocità ed eventualmente del tempo che si mantiene costante su ogni soluzione [tex]$x=x(t)[/tex], [tex]$y=y(t)[/tex]; [tex]$z=z(t)[/tex]. La costante è determinata dalle condizioni iniziali del moto; cambiando queste condizioni,ovviamente,il valore costante cambia.
Per "condizioni iniziali" intendo posizione e velocità all'istante iniziale,sempre basandomi su quel sistema.
Ti pare giusto?Forse è troppo specifica la mia definizione, andrebbe generalizzata; vero?
Allora, Math, qui siamo in un contesto fisico e quindi occorre usare elasticità mentale e ogni tanto rinunciare alle definizioni precise tanto care ai matematici. Una definizione precisa di integrale primo conviene darla per sistemi differenziali del primo ordine:
dato il sistema differenziale [tex]\begin{cases} \dot{\bold{u}}=\bold{f}(t, \bold{u}) \end{cases}[/tex] dove [tex]\bold{f}\colon I \times\Omega \to \mathbb{R}^n[/tex], un integrale primo del sistema è una funzione [tex]\Phi \colon I \times \Omega \to \mathbb{R}[/tex] che si mantiene costante sulle curve integrali, ovvero tale che
[tex]$\Phi(t, \bold{u}(t))=\text{costante}[/tex]
per ogni curva [tex]t\mapsto\bold{u}(t)[/tex] soluzione del sistema.
(NOTA BENE: Queste "curve" non sono curve geometriche nello spazio euclideo, ma curve nello spazio [tex]\Omega[/tex] in cui vivono le [tex]\bold{u}[/tex]).
Intuitivamente un integrale primo è una funzione che assume un certo valore in corrispondenza della condizione iniziale e poi non lo molla più.
A livello matematico questa definizione è sufficiente, visto che come certamente sai ogni sistema di equazioni differenziali si riconduce ad un sistema del primo ordine con l'aggiunta di opportune variabili (vedi qui). Nel concreto dei sistemi fisici, però, occorre specializzare questa definizione anche per sistemi di ordine superiore al primo, e allora invece di perdere una giornata a formalizzare tutta la casistica andiamo un po' a senso: un integrale primo è una funzione scalare che si mantiene costante sulle soluzioni del sistema ed è completamente individuata dalle condizioni iniziali.
Tenendo questa "definizione" in mente, possiamo fabbricare una definizione rigorosa volta per volta quando richiesto: per il sistema differenziale del moto di un punto, quello che hai scritto tu, un integrale primo si definisce formalmente come hai fatto tu; per il sistema delle equazioni di Lagrange
[tex]$\begin{cases} \frac{d}{d t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_h}-\frac{\partial L}{\partial q_h}=0 \end{cases}[/tex]
andrà definito in funzione dei parametri Lagrangiani, delle relative derivate e del tempo; per il sistema delle equazioni di Hamilton andrà definito in funzione delle variabili canoniche e del tempo; e così via.
dato il sistema differenziale [tex]\begin{cases} \dot{\bold{u}}=\bold{f}(t, \bold{u}) \end{cases}[/tex] dove [tex]\bold{f}\colon I \times\Omega \to \mathbb{R}^n[/tex], un integrale primo del sistema è una funzione [tex]\Phi \colon I \times \Omega \to \mathbb{R}[/tex] che si mantiene costante sulle curve integrali, ovvero tale che
[tex]$\Phi(t, \bold{u}(t))=\text{costante}[/tex]
per ogni curva [tex]t\mapsto\bold{u}(t)[/tex] soluzione del sistema.
(NOTA BENE: Queste "curve" non sono curve geometriche nello spazio euclideo, ma curve nello spazio [tex]\Omega[/tex] in cui vivono le [tex]\bold{u}[/tex]).
Intuitivamente un integrale primo è una funzione che assume un certo valore in corrispondenza della condizione iniziale e poi non lo molla più.
A livello matematico questa definizione è sufficiente, visto che come certamente sai ogni sistema di equazioni differenziali si riconduce ad un sistema del primo ordine con l'aggiunta di opportune variabili (vedi qui). Nel concreto dei sistemi fisici, però, occorre specializzare questa definizione anche per sistemi di ordine superiore al primo, e allora invece di perdere una giornata a formalizzare tutta la casistica andiamo un po' a senso: un integrale primo è una funzione scalare che si mantiene costante sulle soluzioni del sistema ed è completamente individuata dalle condizioni iniziali.
Tenendo questa "definizione" in mente, possiamo fabbricare una definizione rigorosa volta per volta quando richiesto: per il sistema differenziale del moto di un punto, quello che hai scritto tu, un integrale primo si definisce formalmente come hai fatto tu; per il sistema delle equazioni di Lagrange
[tex]$\begin{cases} \frac{d}{d t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_h}-\frac{\partial L}{\partial q_h}=0 \end{cases}[/tex]
andrà definito in funzione dei parametri Lagrangiani, delle relative derivate e del tempo; per il sistema delle equazioni di Hamilton andrà definito in funzione delle variabili canoniche e del tempo; e così via.
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