Integrali primi di Jacobi e di Poisson

[Daniela011]

Salve, scrivo nuovamente per avere questa volta un chiarimento in merito a significato degli integrali primi. Ogni volta che ricavo le equazioni di Lagrange é immediato riconoscere quali siano gli integrali primi del moto. Tuttavia, nonostante io ne abbia un'idea, mi chiedevo se qualcuno potesse spiegarmi un po' piú chiaramente il significato meccanico sia dell'integrale di Jacobi sia di quello di Poisson.

[Sk_Anonymous]

Uhm ciò che conosco io come integrale di Poisson è una cosa che in questo contesto significa ben poco, mentre l'integrale di Jacobi è una è molto specifico ad un certo problema, sicuramente non applicabile ad un problema qualsiasi. Probabilmente avete dato questi nomi a quantità ben più banali, ma personalmente non capisco il riferimento. A meno che qualcun altro non sappia subito di che stai parlando e ti risponda ti conviene riportare un minimo di contesto e magari la formulazione matematica che ti hanno dato in classe, così capisco di cosa si tratta.

[Daniela011]

Questi sono gli integrali primi di cui parlo:
L é la funzione di Lagrange e $qk$ le coordinate libere del moto.
Se $(delL)/(delqk) =0$
allora
$(delL)/(del dot qk) =cost$ é integrale primo del moto.

Se $(delL)/(delt) =0$
allora
$H=cost$ é integrale primo del moto ove
se vincoli fissi
$H=T+V$
se vincoli mobili
$H=T2-T0+V$

In particolare di quest'ultimi due avrei bisogno dell'interpretazione meccanica, se H=T+V si conserva l'energia meccanica, ma se i vincoli sono mobili?

[Sk_Anonymous]

Ok direi quindi che stiamo parlando di un particolare integrale del moto, l'energia del sistema. Do per buono che tu sappia la differenza tra meccanica lagrangiana ed hamiltoniana, anche se a vedere come hai scritto forse non è proprio così. Avete fatto la formulazione hamiltoniana o ve l'hanno solo accennata? Anche per capire cosa dirti meglio magari. Detto questo cerchiamo di capire ancora un po' la situazione. Sicuramente $T+V$ è l'energia del sistema in somma cinetica e potenziale. Ma la conservazione dell'energia è semplicemente legata ad una certa quantità che si conserva nel tempo (detto alla Landau che nasce dall'omogeneità del tempo stesso) che chiamiamo appunto energia. Se introduco altre complicazioni rispetto ad un sistema isolato semplice può cambiare un po' in forma ma sempre energia resta. Questo ci porta alla seconda energia che hai scritto con "vincoli". Ora non so di preciso cosa tu intenda per vincoli mobili (forse che bloccano solo certi gradi di libertà?) ma in generale in un sistema isolato ci sono un certo numero di gradi di libertà (coordinate generalizzate) che chiaramente se sono vincolate non possono contribuire all'energia cinetica. Quindi quella differenza io la intenderei in questo modo come una formulazione dell'energia cinetica che avrebbe dovuto avere il sistema $T_2$ meno quella bloccata dai vincoli $T_0$. Però obiettivamente non ho mai visto scrivere una cosa del genere, anche i pedici mi sembrano un po' strani (non vedo perché 2 e non 1, visto che l'altro lo indica con 0) men che meno dandogli dei nomi così importanti. Ho anche provato a cercare in rete ma non ho trovato nessuno che li chiamasse integrali di Poisson e Jacobi. Insomma se capiamo un po' meglio cosa avete inteso con vincoli mobili magari si riesce a dire qualcosa in più, altrimenti più di questo non riuscirei ad estrarre senza rischiare di sbagliare e soprattutto confonderti.