Integrali primi del moto

[fede161]

Ciao ragazzi,

Sto facendo un esercizio di meccanica analitica, e l'esercizio mi dice:

Si consideri un sistema costituito da due punti materiali di massa uguale "m" che si muovono un piano verticale x, y soggetti ad una attrazione di tipo elastico con costante " k " e ad un campo esterno costituito dalla forza peso.

Scrivere la corrispondente hamiltoniana nell coordinate relative x,y e del centro di massa X,Y ed indicare tutti i possibili integrali primi del moto.

Una volta determinata l'hamiltoniana, che risulta essere

$ H = P_x^2/(4m)+ P_y^2/(4m)+ p_x^2/(m)+ p_y^2/(m)+ k/4(x^2+y^2)+2mgY $

Una volta fatto questo devo trovare gli integrali primi. Nelle soluzioni, il libro mi dice che ce ne sono 4

$ I_1=P_x $
$ I_2=P_y/(4m)+mgY $
ecc...

Il mio dubbio è, come ha fatto a trovare I_2? che operazione ha fatto?
La quantità $ (partial H)/(partialY) $ è DIVERSA da ZERO, come fa il suo momento coniugato ad essere un integrale primo?

Grazie della risposta!

[fede161]

Nessuno?? :'(
Avrei un disperato bisogno di aiuto :'(

[mathbells]

Nell'espressione di $I_2$ ci deve essere un errore. Il primo ed il secondo termine sono dimensionalmente diversi. Suppongo che sia $P_y^2$ invece che $P_y$. Quella quantità è sicuramente un integrale primo: se cacoli la parentesi di Poisson con l'hamiltoniana ottieni zero.

[fede161]

Si hai ragione... quella quantità è elevata al quadrato.

Però è strano, se faccio la derivata dell'hamiltoniana rispetto alla variabile Y, non viene zero... come faccio allora a dire che è un integrale primo del moto? Non deve soddisfare quella condizione?

[mathbells]

Non vorrei dire una stupidaggine ma credo tu stia confondendo il formalismo hamiltoniano con quello lagrangiano. E' con la lagrangiana che il momento coniugato si conserva se quella derivata si annulla. Con la hamiltoniana, è la parentesi di poisson che ti dice se una grandezza è un ntegrale primo

[fede161]

allora quello che dice questo link è sbagliato?

http://it.wikipedia.org/wiki/Meccanica_hamiltoniana -----> NB: andare lla voce "integrali primi"

[mathbells]

Non è sbagliato. Il punto è che I2 non è il momento coniugato alla variabile Y, quindi non è la dervata rispetto a Y che deve essere nulla. Ora non ho fatto i conti ma non dovrebbe essere difficile trovare la coordinata di cui I2 è il momento coniugato