INTEGRALI per ricavare il tensore di inerzia
Ciao a tutti ho una domanda da porvi.....
So che quando si deve scrivere la matrice del tensore di inerzia di un sistema i suoi elementi vengono definiti attraverso degli integrali...
Ecco il testo del problema: "Il lato AB di una lamina quadrata omogenea, di lato L e massa m, è vincolato a muoversi senza attrito lungo la retta z=y del piano verticale Oyz; la lamina è libera di ruotare attorno al lato AB. Sul lato opposto è collocata una sbarra omogenea di massa m e lunghezza L che mantiene i suoi estremi nei vertici C e D della lamina."
Mi sapreste spiegare come ricavarmi l'integrale che devo poi risolvere?
So che quando si deve scrivere la matrice del tensore di inerzia di un sistema i suoi elementi vengono definiti attraverso degli integrali...
Ecco il testo del problema: "Il lato AB di una lamina quadrata omogenea, di lato L e massa m, è vincolato a muoversi senza attrito lungo la retta z=y del piano verticale Oyz; la lamina è libera di ruotare attorno al lato AB. Sul lato opposto è collocata una sbarra omogenea di massa m e lunghezza L che mantiene i suoi estremi nei vertici C e D della lamina."
Mi sapreste spiegare come ricavarmi l'integrale che devo poi risolvere?
Risposte
Proprio nessuno sa aiutarmi? 
Ad esempio risulta che $I_1$, appartenente alla matrice del tensore di inerzia e posizionato sulla diagonale, risulta essere uguale a:
$I_1=m/(L^2)\int_(-(L^2)/2)^((L^2)/2)Y^2dXdY$
Io vorrei capire da dove partire e cosa devo fare per potermi ricavare questo integrale, per ogni valore presente sulla diagonale della matrice del tensore di inerzia...
Ad esempio risulta che $I_1$, appartenente alla matrice del tensore di inerzia e posizionato sulla diagonale, risulta essere uguale a:
$I_1=m/(L^2)\int_(-(L^2)/2)^((L^2)/2)Y^2dXdY$
Io vorrei capire da dove partire e cosa devo fare per potermi ricavare questo integrale, per ogni valore presente sulla diagonale della matrice del tensore di inerzia...
Innanzitutto non hai specificato rispetto a quale asse vuoi calcolare il tensore d'inerzia.
Ti segnalo questo sito dove viene spiegato come si ricavano le formule per le componenti del tensore d'inerzia (nella pagina considera il caso discreto, devi solo sostituire le sommatorie con integrali).
Poi si tratta semplicemente di scrivere le varie quantità rispetto al sistema scelto e fare un po' di integrali.
Ti segnalo questo sito dove viene spiegato come si ricavano le formule per le componenti del tensore d'inerzia (nella pagina considera il caso discreto, devi solo sostituire le sommatorie con integrali).
Poi si tratta semplicemente di scrivere le varie quantità rispetto al sistema scelto e fare un po' di integrali.
"Eredir":
Innanzitutto non hai specificato rispetto a quale asse vuoi calcolare il tensore d'inerzia.
Ti segnalo questo sito dove viene spiegato come si ricavano le formule per le componenti del tensore d'inerzia (nella pagina considera il caso discreto, devi solo sostituire le sommatorie con integrali).
Poi si tratta semplicemente di scrivere le varie quantità rispetto al sistema scelto e fare un po' di integrali.
Ciao grazie per avermi risposto e per avermi linkato il sito
Il tensore di inerzia lo si calcola scegliendo gli assi principali d'inerzia rispetto a G, centro di massa della lamina quadrata, in maniera tale da avere GX diretto come (A-B), GY diretto come (G-M) (dove M è il punto medio tra B ed A), e GZ uscente dal piano della lamina e perpendicolare ad essa.
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