Integrale nel Gasiorowicz
Come fa nel cap. 2 pag 26 terza edizione a passare da:
(con $q=k-k_{0}$)
$\int dk e^{-\alpha(k-k_{0})^2 \/ 2}e^{ikx}$
$\int dk e^{-\alpha(k-k_{0})^2 \/ 2}e^{i(q+k_{0})x}$
$e^{ik_{0}x}\int dq e^{-\alpha q^2 \/ 2}e^{iqx}$
a
$e^{ik_{0}x}e^{-x^2 \/ 2\alpha}\int dq e^{-\alpha q^2 \/ 2}$
(con $q=k-k_{0}$)
$\int dk e^{-\alpha(k-k_{0})^2 \/ 2}e^{ikx}$
$\int dk e^{-\alpha(k-k_{0})^2 \/ 2}e^{i(q+k_{0})x}$
$e^{ik_{0}x}\int dq e^{-\alpha q^2 \/ 2}e^{iqx}$
a
$e^{ik_{0}x}e^{-x^2 \/ 2\alpha}\int dq e^{-\alpha q^2 \/ 2}$
Risposte
"5mrkv":
Come fa nel cap. 2 pag 26 terza edizione a passare da:
(con $q=k-k_{0}$)
$\int dk e^{-\alpha(k-k_{0})^2 \/ 2}e^{ikx}$
$\int dk e^{-\alpha(k-k_{0})^2 \/ 2}e^{i(q+k_{0})x}$
$e^{ik_{0}x}\int dq e^{-\alpha q^2 \/ 2}e^{iqx}$
a
$e^{ik_{0}x}e^{-x^2 \/ 2\alpha}\int dq e^{-\alpha q^2 \/ 2}$
Si chiama "completare il quadrato", e' una tecnica standard in questo tipo di calcoli.
L'esponente e'
[tex]-\alpha \frac{q}{2}^2+iqx = (-\alpha \frac{q}{2}^2+iqx +\frac{x}{2\alpha}^2) - \frac{x}{2\alpha}^2[/tex]
dopodiche' riconosci che il primo termine tra parentesi e' un quadratodi un binomio lineare in $q$, e lo integri (sul piano complesso!), mentre il secondo termine non dipende da $q$ e quindi va fuori dall'integrale (anche se ci stava meglio una parola diversa da "integrale"
)
Non ho capito come integrarlo. Mi ritrovo con
$e^{ik_{0}x}e^{-\frac{x^{2}}{2 \alpha}}\int exp[iqx-\frac{\alpha q^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2 \alpha}]dk$
$e^{ik_{0}x}e^{-\frac{x^{2}}{2 \alpha}}\int exp[(\frac{x}{\sqrt{2\alpha}}+iq\frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{2}})^{2}]dk$
Se penso a trasformare
$\int e^{z^{2}}dz$
in un integrale reale con il cambiamento di variabile
$z=a+ib=\frac{x}{\sqrt{2\alpha}}+iq\frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{2}}$
non mi viene niente di buono. E' questo il procedimento e devo postare i calcoli o c'è qualcosa di differente?
Un attimo, do un'occhiata a questo: link
$e^{ik_{0}x}e^{-\frac{x^{2}}{2 \alpha}}\int exp[iqx-\frac{\alpha q^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2 \alpha}]dk$
$e^{ik_{0}x}e^{-\frac{x^{2}}{2 \alpha}}\int exp[(\frac{x}{\sqrt{2\alpha}}+iq\frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{2}})^{2}]dk$
Se penso a trasformare
$\int e^{z^{2}}dz$
in un integrale reale con il cambiamento di variabile
$z=a+ib=\frac{x}{\sqrt{2\alpha}}+iq\frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{2}}$
non mi viene niente di buono. E' questo il procedimento e devo postare i calcoli o c'è qualcosa di differente?
Un attimo, do un'occhiata a questo: link
Infatti c'è una piccola sottigliezza metodologica in questo procedimento per calcolare la trasformata di Fourier di una gaussiana che sui libri di fisica generalmente è taciuta: occorre tenere conto del fatto che \(e^{-z^2}\) decade esponenzialmente lungo segmenti verticali paralleli all'asse delle \(x\). Una spiegazione di questo procedimento c'è sul Reed & Simon Methods of modern mathematical physics vol. I, pag. 321 (so che non sono stato molto chiaro ma il libro lo è).
Difatti nei libri di matematica si usa più spesso un approccio diverso: si ricava prima una relazione differenziale ordinaria cui la trasformata deve sottostare e poi si integra. Vedi qui (a tuo rischio - l'autore del post sono sempre io Però c'è uno che dice di avere controllato e che gli sembra corretto)
http://math.stackexchange.com/a/34625/8157
Difatti nei libri di matematica si usa più spesso un approccio diverso: si ricava prima una relazione differenziale ordinaria cui la trasformata deve sottostare e poi si integra. Vedi qui (a tuo rischio - l'autore del post sono sempre io
Però c'è uno che dice di avere controllato e che gli sembra corretto) http://math.stackexchange.com/a/34625/8157
"dissonance":
Infatti c'è una piccola sottigliezza metodologica in questo procedimento per calcolare la trasformata di Fourier di una gaussiana che sui libri di fisica generalmente è taciuta: occorre tenere conto del fatto che \(e^{-z^2}\) decade esponenzialmente lungo segmenti verticali paralleli all'asse delle \(x\).
Beh, che nei libri di fisica si tacciano dettagli matematici non e' una novita'
Comunque in questo caso in particolare in realta' di tanto in tanto viene menzionata questa circostanza:
una cosa che a molti fisici piace sono gli integrali su un contorno complesso
Difatti nei libri di matematica si usa più spesso un approccio diverso: si ricava prima una relazione differenziale ordinaria cui la trasformata deve sottostare e poi si integra. Vedi qui
http://math.stackexchange.com/a/34625/8157
Interessante! Le derivate di questi integrali gaussiani spuntano come funghi sia nella meccanica statistica che nella teoria dei campi, pero' il loro utilizzo per questo calcolo specifico confesso che non lo conoscevo.
"5mrkv":
Se penso a trasformare
$\int e^{z^{2}}dz$
in un integrale reale con il cambiamento di variabile
$z=a+ib=\frac{x}{\sqrt{2\alpha}}+iq\frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{2}}$
non mi viene niente di buono. E' questo il procedimento e devo postare i calcoli o c'è qualcosa di differente?
Beh, io per la verita' terrei il segno $-$ esplicito, tenendo reale la parte lineare in $q$ del binomio
[tex]q\frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{2}} -i\frac{x}{\sqrt{2\alpha}}[/tex]
Cambiando variabili, ottieni un integrale su una retta orizzontale nel piano complesso. Per ricondurti al caso noto della gaussiana devi praticamente fare una traslazione ("in verticale", diciamo) del contorno di integrazione sul piano complesso. In realta' parti dall'integrale definito su un intervallo finito, quando fai la traslazione ottieni un secondo segmento (traslato)., che sta sull'asse reale del piano complesso. Per dimostrare che i due integrali sono uguali ti basta chiudere il contorno con due segmenti verticali, ottenendo un rettangolo. L'integrale su tutto il contorno chiuso e' nullo perche' non ci sono poli nel rettangolo. Come notava dissonance in altro post, nel passaggio al limite i segmenti orizzontali non contano, e ottieni che l'integrale e' invariante per questa traslazione del contorno di integrazione.
Spero che si capisca la spiegazione "a parole", qui ci stava bene un disegno...
Adesso vedo.
@5mrkv: Sul calcolo della trasformata di Fourier e di Laplace della gaussiana puoi consultare questi appuntini che avevo scritto tempo fa.
Oh oh guarda chi si vede!!! Allora passi anche da queste parti, ogni tanto!
Bravo, bravo.
Allora passi anche da queste parti, ogni tanto! Bravo, bravo.
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