Integrale nascosto? Momento d'inerzia di una spira

[Vblasina]

problema risalente al test per la Galileiana del 2010
non mi pare molto ostico concettualmente: la spira è soggetta alla forza peso e a una forza dovuta al campo magnetico. Questa forza si traduce in momento angolare. A questo punto si tratta di uguagliare il momento della forza "magnetica" e quello della forza peso e badabim badabum hai risolto per l'angolo di deviazione theta.
Il mio problema è che nell'equazione risolutiva appare la massa: ma questa è solo la massa del segmento BC? Oppure devo integrare la densità lineare lungo la spira per trovare il momento d'inerzia?
Se avete capito il mio dubbio e avete dimestichezza gradirei avere conferma (e il valore dell'integrale... Sapete... Per confrontare!)
§phyr

[Faussone]

Perché parli di momento di inerzia?
E' giusto quando scrivi che devi eguagliare il momento della forza peso con il momento delle forze magnetiche (più a voler essere precisi il momento delle reazioni vincolari, a meno che non sia nullo....)

Detto questo il momento della forza peso può essere calcolato immaginando tutta la massa concentrata nel baricentro. Perché? Be' per le proprietà geometriche del baricentro, puoi provare a dimostrarlo, non è difficile.

[RenzoDF]

"sphyr":... Il mio problema è che nell'equazione risolutiva appare la massa: ma questa è solo la massa del segmento BC? Oppure devo integrare la densità lineare lungo la spira ...

Ovviamente dovrai tenere conto del peso di tutta la spira, ma non serve scomodare nessun integrale per ottenerlo.
Senza poi andare a determinare il baricentro della spira, puoi considerare separatemente il momento dovuto al peso dei tratti AB e CD da quello del lato BC, e andare ad uguagliare la somma dei due momenti "gravitazionali" a quella del momento elettromagnetico.

Il momento d'inerzia sarebbe stato necessario solo nel caso ti fosse stato chiesto di determinare il moto della spira, non solamente la posizione finale di equilibrio [nota]Che potrebbe essere raggiunta solo ipotizzando la presenza di una qualche forma di smorzamento.[/nota]

[Vblasina]

Chiarissimi. in effetti integrare quella cosa sarebbe stato come uccidere le zanzare con un martello.
Il problema dovrebbe diventare più interessante con campi/correnti variabili... Ma sempre elementare.
Grazie ancora!

[RenzoDF]

"sphyr": ... Ma sempre elementare.

Potresti postare la tua soluzione?
Grazie.

[Vblasina]

Non so usare LateX... Provo a scrivere una dimostrazione ordinata e posto

[RenzoDF]

Per LaTeX, prova a usare il seguente editor

https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

[Vblasina]

"RenzoDF":[quote="sphyr"] ... Ma sempre elementare.

Potresti postare la tua soluzione?
Grazie.[/quote]

Sulla spira agiscono campo gravitazionale e campo magnetico
La forza magnetica vale F=Bib, dovuta alla componente della corrente i perpendicolare al campo B[nota]le componenti lungo i lati AB e CD si annullano a vicenda[/nota];
x è l'angolo tra la verticale e la spira, incognita ultima del problema.
La forza peso vale m*g, ovvero λ(2a+b)g e ha come punto di applicazione il baricentro che si trova a una distanza 0,75a dall'asse AD
Adesso calcoliamo i momenti angolari delle rispettive forze e risolviamo per ottenere x
(non scriverò i calcoli senza LateX, se qualche anima pia troverà questo post e lo formatterà avrà tutto il mio rispetto)
si ha che
B*i*b*acosx=λ(2a+b)*g*0,75a*sinx
da cui
tgx=4B*i*b/3λ(2a+b)g

Scusate per questa orribile soluzione grafica (e per la dimostrazione frettolosa)